Страница 135 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

545. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $14a \cdot 6b$, если $a = 2$, $b = 3$;

2) $25m \cdot 3n$, если $m = 8$, $n = 1$;

3) $5x + 8x - 3x$, если $x = 17$;

4) $16y - y + 5y$, если $y = 23$.

1) Сначала упростим выражение $14a \cdot 6b$. Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, мы можем перемножить числовые коэффициенты и буквенные части отдельно:

$14a \cdot 6b = (14 \cdot 6) \cdot (a \cdot b) = 84ab$

Теперь подставим в упрощенное выражение значения $a = 2$ и $b = 3$:

$84 \cdot 2 \cdot 3 = 168 \cdot 3 = 504$

Ответ: 504.

2) Упростим выражение $25m \cdot 3n$. Перемножим числовые коэффициенты и буквенные части отдельно:

$25m \cdot 3n = (25 \cdot 3) \cdot (m \cdot n) = 75mn$

Теперь подставим значения $m = 8$ и $n = 1$:

$75 \cdot 8 \cdot 1 = 600 \cdot 1 = 600$

Ответ: 600.

3) Упростим выражение $5x + 8x - 3x$. Все слагаемые являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть. Выполним действия с коэффициентами:

$5x + 8x - 3x = (5 + 8 - 3)x = (13 - 3)x = 10x$

Теперь подставим значение $x = 17$:

$10 \cdot 17 = 170$

Ответ: 170.

4) Упростим выражение $16y - y + 5y$. Приведем подобные слагаемые, выполнив действия с их коэффициентами (коэффициент при $-y$ равен $-1$):

$16y - y + 5y = (16 - 1 + 5)y = (15 + 5)y = 20y$

Теперь подставим значение $y = 23$:

$20 \cdot 23 = 460$

Ответ: 460.

546. Периметр прямоугольника равен 54 см, а его ширина на 3 см меньше длины. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть длина прямоугольника равна $x$ см.

Согласно условию, ширина на 3 см меньше длины, следовательно, ширина прямоугольника составляет $(x - 3)$ см.

Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон, которая вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ — длина, а $b$ — ширина.

По условию задачи, периметр равен 54 см. Можем составить уравнение:

$2(x + (x - 3)) = 54$

Решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$2(2x - 3) = 54$

Разделим обе части уравнения на 2:

$2x - 3 = 27$

Прибавим 3 к обеим частям уравнения:

$2x = 27 + 3$

$2x = 30$

Разделим обе части на 2:

$x = 15$

Таким образом, длина прямоугольника равна 15 см.

Теперь найдем ширину:

$x - 3 = 15 - 3 = 12$ см.

Проверим наше решение, подставив найденные значения в формулу периметра:

$P = 2(15 + 12) = 2 \cdot 27 = 54$ см.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: стороны прямоугольника равны 15 см и 12 см.

547. Известно, что верёвка сгорает за 4 мин и горит при этом неравномерно. Как с помощью:

1) одной верёвки отмерить 2 мин;

2) двух таких верёвок отмерить 3 мин?

1) Ключевая особенность задачи в том, что веревка горит неравномерно, поэтому нельзя просто отмерить половину ее длины. Однако, если поджечь веревку одновременно с двух концов, два фронта пламени движутся навстречу друг другу, и вся веревка сгорит ровно за половину общего времени горения, независимо от неравномерности. Таким образом, чтобы отмерить 2 минуты, нужно поджечь веревку с обоих концов. Время ее полного сгорания составит $4 \text{ мин} / 2 = 2 \text{ мин}$.
Ответ: Нужно поджечь веревку с двух концов одновременно. Когда она полностью сгорит, пройдет ровно 2 минуты.

2) Для того чтобы отмерить 3 минуты, понадобятся две веревки. Алгоритм действий следующий:
1. Взять две веревки, назовем их Веревка 1 и Веревка 2.
2. Одновременно поджечь Веревку 1 с двух концов, а Веревку 2 — только с одного конца.
3. Веревка 1, подожженная с двух сторон, полностью сгорит ровно через 2 минуты.
4. В тот момент, когда Веревка 1 догорела, у Веревки 2 осталась несгоревшая часть. Так как она горела 2 минуты, то оставшейся части потребовалось бы еще 2 минуты, чтобы догореть ($4 \text{ мин} - 2 \text{ мин} = 2 \text{ мин}$).
5. Сразу после того, как Веревка 1 догорела, поджигаем второй, свободный, конец Веревки 2.
6. Теперь оставшаяся часть Веревки 2 горит с двух концов, и она сгорит вдвое быстрее, то есть за $2 \text{ мин} / 2 = 1 \text{ мин}$.
7. Общее время, отмеряемое с самого начала, составит сумму времени горения Веревки 1 и времени догорания Веревки 2: $2 \text{ мин} + 1 \text{ мин} = 3 \text{ мин}$.
Ответ: Одновременно поджечь первую веревку с двух концов, а вторую – с одного. Когда первая веревка догорит (через 2 минуты), поджечь второй конец второй веревки. Момент, когда догорит вторая веревка, будет соответствовать истечению 3 минут с начального момента.