Страница 128 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

489. Решите уравнение:

1) $21(18 + x) = 714;$

2) $16(4x - 34) = 608;$

3) $12(152 + 19x) = 2\,052;$

4) $(152x + 32) \cdot 6 = 192.$

1) $21(18 + x) = 714$

Для решения этого уравнения сначала разделим обе его части на $21$, чтобы избавиться от множителя перед скобками.

$18 + x = 714 : 21$

$18 + x = 34$

Теперь мы имеем простое уравнение, где $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти $x$, нужно из суммы $34$ вычесть известное слагаемое $18$.

$x = 34 - 18$

$x = 16$

Ответ: $16$

2) $16(4x - 34) = 608$

Разделим обе части уравнения на $16$.

$4x - 34 = 608 : 16$

$4x - 34 = 38$

Теперь $4x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы его найти, нужно к разности $38$ прибавить вычитаемое $34$.

$4x = 38 + 34$

$4x = 72$

Далее, чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение $72$ разделить на известный множитель $4$.

$x = 72 : 4$

$x = 18$

Ответ: $18$

3) $12(152 + 19x) = 2052$

Разделим обе части уравнения на $12$.

$152 + 19x = 2052 : 12$

$152 + 19x = 171$

Теперь $19x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, вычтем из суммы $171$ известное слагаемое $152$.

$19x = 171 - 152$

$19x = 19$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $19$.

$x = 19 : 19$

$x = 1$

Ответ: $1$

4) $(152x + 32) \cdot 6 = 192$

В этом уравнении выражение в скобках является неизвестным множителем. Чтобы его найти, разделим произведение $192$ на известный множитель $6$.

$152x + 32 = 192 : 6$

$152x + 32 = 32$

Теперь $152x$ — неизвестное слагаемое. Найдем его, вычтя из суммы $32$ известное слагаемое $32$.

$152x = 32 - 32$

$152x = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Так как $152 \neq 0$, то $x$ должен быть равен нулю.

$x = 0 : 152$

$x = 0$

Ответ: $0$

490. Решите уравнение:

1) $8(x - 14) = 56$;

2) $(46 - x) \cdot 19 = 418$;

3) $9(143 - 13x) = 234$;

4) $17(5x - 16) = 238$.

1) $8(x - 14) = 56$

В данном уравнении выражение $(x - 14)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение $56$ разделить на известный множитель $8$.

$x - 14 = 56 : 8$

$x - 14 = 7$

Теперь $x$ — это неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности $7$ прибавить вычитаемое $14$.

$x = 7 + 14$

$x = 21$

Ответ: $21$.

2) $(46 - x) \cdot 19 = 418$

В данном уравнении выражение $(46 - x)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение $418$ разделить на известный множитель $19$.

$46 - x = 418 : 19$

$46 - x = 22$

Теперь $x$ — это неизвестное вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого $46$ вычесть разность $22$.

$x = 46 - 22$

$x = 24$

Ответ: $24$.

3) $9(143 - 13x) = 234$

В данном уравнении выражение $(143 - 13x)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, разделим произведение $234$ на известный множитель $9$.

$143 - 13x = 234 : 9$

$143 - 13x = 26$

Теперь выражение $13x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого $143$ вычесть разность $26$.

$13x = 143 - 26$

$13x = 117$

Теперь $x$ — это неизвестный множитель. Чтобы его найти, нужно произведение $117$ разделить на известный множитель $13$.

$x = 117 : 13$

$x = 9$

Ответ: $9$.

4) $17(5x - 16) = 238$

В данном уравнении выражение $(5x - 16)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, разделим произведение $238$ на известный множитель $17$.

$5x - 16 = 238 : 17$

$5x - 16 = 14$

Теперь выражение $5x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности $14$ прибавить вычитаемое $16$.

$5x = 14 + 16$

$5x = 30$

Теперь $x$ — это неизвестный множитель. Чтобы его найти, нужно произведение $30$ разделить на известный множитель $5$.

$x = 30 : 5$

$x = 6$

Ответ: $6$.

491. Решите уравнение:

1) $14x + 4x - 48 = 240;$

2) $25b - 7b - 9 = 279;$

3) $16a - 7a + 96 = 222;$

4) $20y + 5y + y + 19 = 227.$

1) $14x + 4x - 48 = 240$

Сначала упростим левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые (члены с переменной $x$):

$(14 + 4)x - 48 = 240$

$18x - 48 = 240$

Теперь перенесем свободный член (-48) из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$18x = 240 + 48$

$18x = 288$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 18:

$x = \frac{288}{18}$

$x = 16$

Ответ: $16$.

2) $25b - 7b - 9 = 279$

Упростим левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые с переменной $b$:

$(25 - 7)b - 9 = 279$

$18b - 9 = 279$

Перенесем свободный член (-9) из левой части в правую с противоположным знаком:

$18b = 279 + 9$

$18b = 288$

Разделим обе части уравнения на 18:

$b = \frac{288}{18}$

$b = 16$

Ответ: $16$.

3) $16a - 7a + 96 = 222$

Приведем подобные слагаемые с переменной $a$ в левой части уравнения:

$(16 - 7)a + 96 = 222$

$9a + 96 = 222$

Перенесем свободный член (96) из левой части в правую, изменив его знак:

$9a = 222 - 96$

$9a = 126$

Разделим обе части уравнения на 9, чтобы найти $a$:

$a = \frac{126}{9}$

$a = 14$

Ответ: $14$.

4) $20y + 5y + y + 19 = 227$

Упростим левую часть, сложив все слагаемые с переменной $y$:

$(20 + 5 + 1)y + 19 = 227$

$26y + 19 = 227$

Перенесем свободный член (19) из левой части в правую с противоположным знаком:

$26y = 227 - 19$

$26y = 208$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 26:

$y = \frac{208}{26}$

$y = 8$

Ответ: $8$.

492. Решите уравнение:

1) $9b + 6b - 15 = 615$;

2) $2a + 123a + 97 = 472$;

3) $17x - x + 5x - 19 = 170$;

4) $73y - y - 22y + 40 = 190$.

1) $9b + 6b - 15 = 615$

Сначала упростим левую часть уравнения, сложив подобные слагаемые (члены с переменной $b$):

$(9 + 6)b - 15 = 615$

$15b - 15 = 615$

Теперь перенесем число $-15$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$15b = 615 + 15$

$15b = 630$

Чтобы найти $b$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 15:

$b = 630 / 15$

$b = 42$

Ответ: $42$

2) $2a + 123a + 97 = 472$

Упростим левую часть, сложив подобные слагаемые с переменной $a$:

$(2 + 123)a + 97 = 472$

$125a + 97 = 472$

Перенесем число $97$ из левой части в правую, изменив знак:

$125a = 472 - 97$

$125a = 375$

Теперь найдем $a$, разделив обе части уравнения на 125:

$a = 375 / 125$

$a = 3$

Ответ: $3$

3) $17x - x + 5x - 19 = 170$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения (помним, что $-x$ это $-1x$):

$(17 - 1 + 5)x - 19 = 170$

$21x - 19 = 170$

Перенесем свободный член $-19$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$21x = 170 + 19$

$21x = 189$

Разделим обе части уравнения на коэффициент $21$, чтобы найти $x$:

$x = 189 / 21$

$x = 9$

Ответ: $9$

4) $73y - y - 22y + 40 = 190$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые с переменной $y$ в левой части:

$(73 - 1 - 22)y + 40 = 190$

$(72 - 22)y + 40 = 190$

$50y + 40 = 190$

Перенесем число $40$ в правую часть, изменив его знак:

$50y = 190 - 40$

$50y = 150$

Найдем $y$, разделив обе части на 50:

$y = 150 / 50$

$y = 3$

Ответ: $3$

493. Решите уравнение:

1) $(x + 14) : 9 = 13;$

2) $966 : (x + 17) = 23;$

3) $x : 8 - 6 = 49;$

4) $52 + 72 : x = 56;$

5) $56 : (x - 6) = 8;$

6) $56 : x - 6 = 8.$

1) В уравнении $(x + 14) : 9 = 13$ неизвестное $x$ находится в делимом.

Чтобы найти неизвестное делимое $(x + 14)$, нужно частное умножить на делитель:

$x + 14 = 13 \cdot 9$

$x + 14 = 117$

Теперь $x$ – неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$x = 117 - 14$

$x = 103$

Ответ: 103

2) В уравнении $966 : (x + 17) = 23$ неизвестное $x$ находится в делителе.

Чтобы найти неизвестный делитель $(x + 17)$, нужно делимое разделить на частное:

$x + 17 = 966 : 23$

$x + 17 = 42$

Теперь $x$ – неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$x = 42 - 17$

$x = 25$

Ответ: 25

3) В уравнении $x : 8 - 6 = 49$ неизвестное $x$ находится в уменьшаемом.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $(x : 8)$, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$x : 8 = 49 + 6$

$x : 8 = 55$

Теперь $x$ – неизвестное делимое. Чтобы найти его, нужно частное умножить на делитель:

$x = 55 \cdot 8$

$x = 440$

Ответ: 440

4) В уравнении $52 + 72 : x = 56$ неизвестное $x$ находится в слагаемом.

Чтобы найти неизвестное слагаемое $(72 : x)$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$72 : x = 56 - 52$

$72 : x = 4$

Теперь $x$ – неизвестный делитель. Чтобы найти его, нужно делимое разделить на частное:

$x = 72 : 4$

$x = 18$

Ответ: 18

5) В уравнении $56 : (x - 6) = 8$ неизвестное $x$ находится в делителе.

Чтобы найти неизвестный делитель $(x - 6)$, нужно делимое разделить на частное:

$x - 6 = 56 : 8$

$x - 6 = 7$

Теперь $x$ – неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти его, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$x = 7 + 6$

$x = 13$

Ответ: 13

6) В уравнении $56 : x - 6 = 8$ неизвестное $x$ находится в уменьшаемом.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $(56 : x)$, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$56 : x = 8 + 6$

$56 : x = 14$

Теперь $x$ – неизвестный делитель. Чтобы найти его, нужно делимое разделить на частное:

$x = 56 : 14$

$x = 4$

Ответ: 4

494. Решите уравнение:

1) $(x - 23) : 26 = 8;$

2) $1728 : (56 - x) = 36.$

1) $(x - 23) : 26 = 8$

В этом уравнении выражение $(x - 23)$ является делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель.

$x - 23 = 8 \cdot 26$

$x - 23 = 208$

Теперь переменная $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x = 208 + 23$

$x = 231$

Проверим результат, подставив значение $x$ в исходное уравнение:

$(231 - 23) : 26 = 208 : 26 = 8$

$8 = 8$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: 231

2) $1728 : (56 - x) = 36$

В данном уравнении выражение $(56 - x)$ является делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

$56 - x = 1728 : 36$

$56 - x = 48$

Теперь переменная $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 56 - 48$

$x = 8$

Проверим результат, подставив значение $x$ в исходное уравнение:

$1728 : (56 - 8) = 1728 : 48 = 36$

$36 = 36$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: 8

495. Отец с сыном посадили 108 кустов помидоров, причём отец посадил в 2 раза больше, чем сын. Сколько кустов помидоров посадил сын?

Для решения этой задачи можно использовать метод составления уравнения.

1. Определим неизвестное.
Пусть $x$ — это количество кустов помидоров, которое посадил сын.

2. Выразим количество кустов, посаженных отцом.
По условию задачи, отец посадил в 2 раза больше кустов, чем сын. Значит, количество кустов, посаженных отцом, равно $2 \cdot x$ или $2x$.

3. Составим уравнение.
Отец и сын вместе посадили 108 кустов. Следовательно, сумма кустов, посаженных сыном ($x$), и кустов, посаженных отцом ($2x$), равна 108.Получаем уравнение:$x + 2x = 108$

4. Решим уравнение.
Сначала сложим слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения:$3x = 108$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:$x = \frac{108}{3}$
$x = 36$

5. Сделаем вывод.
Мы определили, что $x = 36$. Так как за $x$ мы принимали количество кустов, посаженных сыном, то сын посадил 36 кустов помидоров.

Проверка:
Если сын посадил 36 кустов, то отец посадил в 2 раза больше: $36 \cdot 2 = 72$ куста.
Вместе они посадили: $36 + 72 = 108$ кустов.
Результат совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: 36

496. В два магазина завезли 268 кг шампиньонов, причём в первый магазин завезли шампиньонов в 3 раза меньше, чем во второй. Сколько килограммов шампиньонов завезли в каждый магазин?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — количество килограммов шампиньонов, которое завезли в первый магазин. По условию, это в 3 раза меньше, чем во второй магазин. Следовательно, во второй магазин завезли в 3 раза больше, то есть $3x$ кг.

Всего в два магазина завезли 268 кг шампиньонов. Можем составить уравнение, сложив количество шампиньонов в обоих магазинах:

$x + 3x = 268$

Решим это уравнение:

$4x = 268$

$x = 268 \div 4$

$x = 67$

Итак, в первый магазин завезли 67 кг шампиньонов.

Теперь найдем, сколько килограммов шампиньонов завезли во второй магазин, умножив количество первого магазина на 3:

$3 \cdot 67 = 201$ кг

Выполним проверку: сложим количество шампиньонов в двух магазинах, чтобы убедиться, что общая масса равна 268 кг.

$67 + 201 = 268$ кг

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: в первый магазин завезли 67 кг шампиньонов, во второй — 201 кг.

497. В двух залах кинотеатра демонстрировались два кинофильма. В первом зале зрителей было в 7 раз больше, чем во втором. Сколько зрителей находилось во втором зале, если известно, что их было на 156 меньше, чем в первом?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество зрителей во втором зале.

Из условия известно, что в первом зале зрителей было в 7 раз больше. Следовательно, количество зрителей в первом зале можно выразить как $7x$.

Также по условию, зрителей во втором зале было на 156 меньше, чем в первом. Это означает, что если из количества зрителей в первом зале вычесть количество зрителей во втором, получится 156.

Составим и решим уравнение:

$7x - x = 156$

$6x = 156$

$x = 156 \div 6$

$x = 26$

Таким образом, во втором зале было 26 зрителей.

Проверка:
Количество зрителей во втором зале: 26.
Количество зрителей в первом зале: $26 \cdot 7 = 182$.
Разница: $182 - 26 = 156$.
Условия задачи выполняются.

Ответ: 26

498. Валентин подарил Виктории розы и орхидеи, причём орхидей было в 4 раза меньше, чем роз. Сколько роз подарил Валентин, если известно, что их было на 51 больше, чем орхидей?

Для решения задачи составим уравнение. Давайте обозначим количество орхидей за $x$.

Согласно условию, орхидей было в 4 раза меньше, чем роз. Это то же самое, что роз было в 4 раза больше, чем орхидей. Следовательно, количество роз можно выразить как $4x$.

Также известно, что роз было на 51 больше, чем орхидей. Это значит, что если из количества роз вычесть количество орхидей, получится 51. Составим уравнение:

$4x - x = 51$

Решим полученное уравнение:

$3x = 51$

$x = 51 \div 3$

$x = 17$

Таким образом, количество орхидей равно 17.

Теперь найдем количество роз, которое в 4 раза больше:

$4 \cdot x = 4 \cdot 17 = 68$

Итак, Валентин подарил 68 роз.

Проверим себя: разница между розами и орхидеями составляет $68 - 17 = 51$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 68.

499. Из вершины прямого угла проведён луч так, что он делит прямой угол на два угла, один из которых больше второго на $20^\circ$. Найдите величину каждого из образовавшихся углов.

Величина прямого угла составляет $90^\circ$. Согласно условию задачи, этот угол разделен лучом на два меньших угла.

Обозначим величину одного из этих углов за $x$. Тогда величина второго угла, который на $20^\circ$ больше первого, будет равна $x + 20^\circ$.

Сумма двух образовавшихся углов равна исходному прямому углу. На основе этого составим уравнение:

$x + (x + 20^\circ) = 90^\circ$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$2x + 20^\circ = 90^\circ$

$2x = 90^\circ - 20^\circ$

$2x = 70^\circ$

$x = \frac{70^\circ}{2}$

$x = 35^\circ$

Мы нашли величину меньшего угла, она составляет $35^\circ$.

Теперь найдем величину большего угла:

$x + 20^\circ = 35^\circ + 20^\circ = 55^\circ$

Проверка: сумма углов $35^\circ + 55^\circ = 90^\circ$, разность углов $55^\circ - 35^\circ = 20^\circ$. Условия задачи выполнены.

Ответ: величины образовавшихся углов равны $35^\circ$ и $55^\circ$.

500. Из вершины развёрнутого угла проведён луч так, что он делит развёрнутый угол на два угла, один из которых меньше второго на $50^{\circ}$.

Найдите величину каждого из образовавшихся углов.

Развёрнутый угол равен $180^\circ$. По условию, проведённый луч делит этот угол на два новых угла. Пусть величина меньшего из этих углов равна $x$.

Так как один угол меньше второго на $50^\circ$, то величина большего угла будет равна $x + 50^\circ$.

Сумма этих двух углов равна величине развёрнутого угла, то есть $180^\circ$. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 50^\circ) = 180^\circ$

Сначала раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$2x + 50^\circ = 180^\circ$

Теперь перенесём $50^\circ$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$2x = 180^\circ - 50^\circ$

$2x = 130^\circ$

Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{130^\circ}{2}$

$x = 65^\circ$

Таким образом, величина меньшего угла равна $65^\circ$.

Теперь найдём величину большего угла, подставив значение $x$:

$x + 50^\circ = 65^\circ + 50^\circ = 115^\circ$

Проверим правильность решения: сумма углов должна быть $180^\circ$ ($65^\circ + 115^\circ = 180^\circ$), а их разница должна быть $50^\circ$ ($115^\circ - 65^\circ = 50^\circ$). Оба условия выполняются.

Ответ: величины образовавшихся углов равны $65^\circ$ и $115^\circ$.

501. В три магазина завезли 264 кг яблок. В первый магазин завезли в 3 раза больше яблок, чем в третий, а во второй — в 2 раза больше, чем в третий. Сколько килограммов яблок завезли в каждый магазин?

Для решения задачи обозначим количество яблок, завезенных в третий магазин, через переменную. Пусть это будет $x$ кг.

Исходя из условий задачи:

• В первый магазин завезли в 3 раза больше яблок, чем в третий, то есть $3 \cdot x = 3x$ кг.
• Во второй магазин завезли в 2 раза больше яблок, чем в третий, то есть $2 \cdot x = 2x$ кг.

Общее количество яблок, завезенных во все три магазина, равно 264 кг. Мы можем составить уравнение, сложив количество яблок в каждом магазине:

$x + 3x + 2x = 264$

Теперь решим это уравнение:

1. Сложим все слагаемые с переменной $x$:

$6x = 264$

2. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 6:

$x = 264 \div 6$

$x = 44$

Таким образом, в третий магазин завезли 44 кг яблок.

3. Теперь рассчитаем количество яблок для первого и второго магазинов:

• Количество яблок в первом магазине: $3x = 3 \cdot 44 = 132$ кг.
• Количество яблок во втором магазине: $2x = 2 \cdot 44 = 88$ кг.

Проверим результат: $44 + 132 + 88 = 264$ кг. Сумма сходится с условием задачи.

Ответ: в первый магазин завезли 132 кг яблок, во второй магазин — 88 кг, в третий магазин — 44 кг.