Страница 132 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Каким свойством обладает неполное частное при делении с остатком?

Деление с остатком для целого числа $a$ (делимое) и натурального числа $b$ (делитель) записывается формулой: $a = b \cdot q + r$, где $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток. При этом остаток всегда должен быть неотрицательным и строго меньше делителя: $0 \le r < b$.

Основное свойство неполного частного $q$ заключается в том, что оно является наибольшим целым числом, произведение которого на делитель $b$ не превышает делимое $a$.

Это можно выразить с помощью двух неравенств:

1. $b \cdot q \le a$
2. $b \cdot (q+1) > a$

Иными словами, если умножить неполное частное на делитель, получится число, максимально близкое к делимому, но не превосходящее его. Если же взять следующее целое число $(q+1)$, то его произведение на делитель уже будет больше делимого.

Например, при делении 47 на 6:

$47 = 6 \cdot 7 + 5$

Здесь неполное частное $q=7$. Проверим его свойство:

$6 \cdot 7 = 42$, что меньше или равно 47 ($42 \le 47$).

$6 \cdot (7+1) = 6 \cdot 8 = 48$, что больше 47 ($48 > 47$).

Таким образом, 7 — это действительно наибольшее целое число, которое при умножении на 6 дает результат, не превышающий 47. Для любого заданного делимого и делителя такое число (неполное частное) всегда существует и оно единственно.

Ответ: Неполное частное — это наибольшее целое число, произведение которого на делитель не превышает делимое.

2. Сравните остаток и делитель.

При делении с остатком одного натурального числа на другое мы имеем четыре компонента: делимое, делитель, неполное частное и остаток. Связь между ними выражается формулой:

$a = b \cdot q + r$

где $a$ – делимое (число, которое делят), $b$ – делитель (число, на которое делят), $q$ – неполное частное, и $r$ – остаток.

Основное правило деления с остатком гласит, что остаток от деления всегда должен быть меньше делителя. Кроме того, остаток является неотрицательным числом (то есть больше или равен нулю).

Это правило можно записать в виде неравенства: $0 \le r < b$.

Почему это так? Если бы остаток был равен делителю или больше него ($r \ge b$), это означало бы, что мы можем разделить остаток на делитель еще как минимум один раз. Следовательно, неполное частное было бы вычислено неверно, так как его можно было бы увеличить.

Пример:

Разделим 23 на 5.

$23 : 5 = 4$ (ост. $3$)

Проверка: $23 = 5 \cdot 4 + 3$.

В этом примере делитель – это 5, а остаток – это 3.

Сравниваем остаток и делитель: $3 < 5$. Как мы видим, остаток меньше делителя.

Таким образом, при любом делении с остатком, остаток всегда строго меньше делителя.

Ответ: Остаток всегда меньше делителя.

3. Сформулируйте правило нахождения делимого при делении с остатком.

Чтобы найти делимое при делении с остатком, нужно делитель умножить на неполное частное и к полученному произведению прибавить остаток.

Это правило можно выразить с помощью следующей математической формулы:

$a = b \cdot q + r$

где:
$a$ — искомое делимое,
$b$ — делитель (число, на которое делят),
$q$ — неполное частное (целая часть результата деления),
$r$ — остаток от деления.

Ключевым условием при делении с остатком является то, что остаток всегда должен быть меньше делителя: $0 \le r < b$.

Пример:
Найдем делимое, если делитель равен 8, неполное частное — 9, а остаток — 5.
Подставим значения в формулу:
$a = 8 \cdot 9 + 5 = 72 + 5 = 77$.
Таким образом, искомое делимое — это число 77.

Ответ: Чтобы найти делимое при делении с остатком, нужно умножить делитель на неполное частное и к полученному произведению прибавить остаток.

4. Как записывают в буквенном виде правило нахождения делимого?

Для того чтобы записать правило нахождения делимого в буквенном виде, необходимо сначала определить переменные, которые будут обозначать компоненты деления.
Пусть:
$a$ — делимое (число, которое мы делим);
$b$ — делитель (число, на которое мы делим, $b \ne 0$);
$c$ — частное (результат деления, в случае деления с остатком — неполное частное);
$r$ — остаток от деления.

Правило зависит от того, выполняется ли деление нацело или с остатком.

Деление без остатка
Если одно число делится на другое без остатка (нацело), то чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное.
В буквенном виде это правило записывается так:
$a = b \cdot c$

Деление с остатком
Это более общий случай. Чтобы найти делимое, нужно умножить делитель на неполное частное и к полученному произведению прибавить остаток. Важно помнить, что остаток всегда должен быть меньше делителя.
В буквенном виде это правило записывается так:
$a = b \cdot c + r$, при этом $0 \le r < b$.

Формула для деления с остатком является универсальной, так как деление без остатка — это частный случай, когда остаток равен нулю ($r = 0$).
Ответ: $a = b \cdot c + r$, где $r$ — остаток и выполняется условие $0 \le r < b$.

5. В каких случаях говорят, что одно натуральное число делится нацело на другое?

Говорят, что одно натуральное число $a$ (делимое) делится нацело на другое натуральное число $b$ (делитель), если в результате их деления получается третье натуральное число $c$ (частное), а остаток от деления равен нулю.

Это условие можно выразить и по-другому: натуральное число $a$ делится нацело на натуральное число $b$, если существует такое натуральное число $c$, что выполняется равенство:

$a = b \cdot c$

В такой ситуации число $a$ называют кратным числу $b$, а число $b$ — делителем числа $a$.

Примеры:

• Число 35 делится нацело на 7, так как существует натуральное число 5, для которого верно равенство $35 = 7 \cdot 5$. Остаток от деления равен 0.
• Число 36 не делится нацело на 7, так как не существует натурального числа $c$, которое удовлетворяло бы равенству $36 = 7 \cdot c$. При делении 36 на 7 получается частное 5 и остаток 1 ($36 = 7 \cdot 5 + 1$).

Ответ: Говорят, что одно натуральное число делится нацело на другое, если остаток от их деления равен нулю.

1. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:

$ \boxed{\phantom{X}} \xrightarrow{\cdot 6} \text{\textcircled{78}} \xrightarrow{- \Box} \text{\textcircled{42}} \xrightarrow{: \Box} \text{\textcircled{\phantom{X}}} \xrightarrow{+ 19} \boxed{33} $

Чтобы найти недостающие числа в цепочке вычислений, необходимо выполнять действия последовательно, а в некоторых случаях — в обратном порядке.

Нахождение первого числа

Первое неизвестное число (в квадрате) при умножении на 6 даёт в результате 78. Обозначим это число как $x$.

$x \cdot 6 = 78$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение 78 разделить на известный множитель 6.

$x = 78 \div 6 = 13$

Таким образом, первое число в цепочке — это 13.

Ответ: 13.

Нахождение вычитаемого

Следующим шагом из числа 78 вычитают неизвестное число и получают 42. Обозначим вычитаемое как $y$.

$78 - y = 42$

Чтобы найти вычитаемое $y$, нужно из уменьшаемого 78 вычесть разность 42.

$y = 78 - 42 = 36$

Следовательно, пропущенное действие — вычитание числа 36.

Ответ: 36.

Нахождение числа в круге

Для нахождения двух последних пропущенных чисел удобнее начать с конца цепочки. Неизвестное число (в круге) складывают с 19 и получают 33. Обозначим это число как $z$.

$z + 19 = 33$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $z$, нужно из суммы 33 вычесть известное слагаемое 19.

$z = 33 - 19 = 14$

Таким образом, число в круге — это 14.

Ответ: 14.

Нахождение делителя

Теперь мы знаем, что число 42 делят на неизвестное число и получают 14 (число, найденное на предыдущем шаге). Обозначим делитель как $w$.

$42 \div w = 14$

Чтобы найти делитель $w$, нужно делимое 42 разделить на частное 14.

$w = 42 \div 14 = 3$

Следовательно, пропущенное действие — деление на 3.

Ответ: 3.

Проверка

Восстановим всю цепочку вычислений с найденными числами:

$13 \cdot 6 = 78$

$78 - 36 = 42$

$42 \div 3 = 14$

$14 + 19 = 33$

Все вычисления верны, следовательно, задача решена правильно.

2. В числе 72 560 000 зачеркнули три последних нуля. Как изменилось, увеличилось или уменьшилось, это число и во сколько раз?

Первоначальное число: 72 560 000.

Когда мы зачеркиваем три последних нуля, мы фактически удаляем их из числа. Новое число будет 72 560.

Чтобы понять, как изменилось число, сравним исходное и полученное значения:

$72 560 000 > 72 560$

Так как исходное число больше нового, значит, число уменьшилось.

Теперь найдем, во сколько раз оно уменьшилось. Для этого разделим большее число на меньшее:

$72 560 000 / 72 560$

Представим число 72 560 000 в виде произведения:

$72 560 000 = 72 560 \cdot 1000$

Тогда частное будет равно:

$(72 560 \cdot 1000) / 72 560 = 1000$

Ответ: число уменьшилось в 1000 раз.

3. Один насос за $1$ мин перекачивает $120$ л воды, а второй — $180$ л. За какое время они вместе могут наполнить водой цистерну, ёмкость которой равна $6000$ л?

Для того чтобы определить, за какое время два насоса вместе наполнят цистерну, необходимо сначала найти их общую производительность (сколько литров воды они перекачивают вместе за одну минуту), а затем разделить общий объем цистерны на эту производительность.

1. Найдем общую производительность двух насосов.
Производительность первого насоса составляет 120 л/мин, а второго — 180 л/мин. Чтобы найти их совместную производительность, сложим эти значения:
$120 + 180 = 300$ (л/мин)
Таким образом, работая вместе, два насоса перекачивают 300 литров воды за одну минуту.

2. Рассчитаем время, необходимое для заполнения цистерны.
Ёмкость цистерны равна 6 000 л. Чтобы найти время заполнения, разделим ёмкость цистерны на общую производительность насосов:
$6000 \div 300 = 20$ (мин)

Ответ: 20 минут.

4. $Уменьшаемое = Вычитаемое + 129$. Чему равна разность?

Для решения этой задачи необходимо понять, что такое "разность". Разность — это результат вычитания одного числа (вычитаемого) из другого (уменьшаемого).

Запишем это в виде формулы. Пусть:

• $a$ — уменьшаемое;
• $b$ — вычитаемое;
• $c$ — разность.

Тогда формула вычитания выглядит так: $a - b = c$.

Из условия задачи мы знаем, что уменьшаемое на 129 больше вычитаемого. Это можно записать в виде уравнения: $a = b + 129$.

Если мы преобразуем это уравнение, перенеся $b$ в левую часть, мы получим: $a - b = 129$.

Сравнивая это уравнение с основной формулой вычитания ($a - b = c$), мы видим, что разность $c$ как раз и равна 129. По сути, вопрос "на сколько одно число больше другого" эквивалентен нахождению их разности.

Ответ: 129

5. Делитель в 48 раз меньше делимого. Чему равно частное?

Пусть делимое равно $a$, а делитель равен $b$. Частное от деления $a$ на $b$ обозначим как $c$.

Основная формула деления выглядит так:

$c = a \div b$ или $c = \frac{a}{b}$

По условию задачи, делитель в 48 раз меньше делимого. Это можно выразить математически двумя эквивалентными способами:

1. Делитель равен делимому, разделенному на 48:

$b = \frac{a}{48}$

2. Делимое равно делителю, умноженному на 48:

$a = 48 \cdot b$

Для нахождения частного $c$ подставим второе выражение ($a = 48 \cdot b$) в основную формулу деления:

$c = \frac{a}{b} = \frac{48 \cdot b}{b}$

Сокращая $b$ в числителе и знаменателе, получаем:

$c = 48$

Таким образом, если делитель в 48 раз меньше делимого, то их частное всегда будет равно 48.

Ответ: 48