Страница 134 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

531. Найдите делимое, если делитель равен 12, неполное частное — 7, а остаток — 9.

Чтобы найти делимое, используется формула деления с остатком. Согласно этой формуле, делимое равно произведению делителя на неполное частное, сложенному с остатком.

Формула выглядит следующим образом:

$a = b \cdot q + r$

где:

• $a$ — искомое делимое;
• $b$ — делитель;
• $q$ — неполное частное;
• $r$ — остаток.

Из условия задачи нам известны следующие значения:

• Делитель $b = 12$;
• Неполное частное $q = 7$;
• Остаток $r = 9$.

Теперь подставим эти значения в формулу:

$a = 12 \cdot 7 + 9$

Выполним вычисления по порядку:

1. Сначала выполним умножение:

$12 \cdot 7 = 84$

2. Затем к полученному результату прибавим остаток:

$84 + 9 = 93$

Таким образом, делимое равно 93. Также следует проверить, что остаток (9) меньше делителя (12), что является обязательным условием для деления с остатком. Условие $9 < 12$ выполняется.

Ответ: 93

532. Найдите делимое, если делитель равен 18, неполное частное — 4, а остаток — 11.

Для нахождения делимого при известном делителе, неполном частном и остатке используется формула деления с остатком:

$a = b \cdot q + r$

где:

• $a$ — делимое (то, что мы ищем)
• $b$ — делитель
• $q$ — неполное частное
• $r$ — остаток

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

• Делитель ($b$) = 18
• Неполное частное ($q$) = 4
• Остаток ($r$) = 11

Теперь подставим эти значения в формулу:

$a = 18 \cdot 4 + 11$

Выполним вычисления по порядку действий. Сначала умножение, затем сложение.

1. Умножим делитель на неполное частное:

$18 \cdot 4 = 72$

2. К полученному произведению прибавим остаток:

$72 + 11 = 83$

Таким образом, искомое делимое равно 83.

Ответ: 83

533. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства $a = bq + r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, $r$ — остаток, если $a = 82, b = 8$.

По условию задачи требуется выразить делимое через неполное частное, делитель и остаток, используя формулу деления с остатком: $a = bq + r$.

В данном случае нам даны:

• Делимое $a = 82$
• Делитель $b = 8$

Наша задача — найти неполное частное $q$ и остаток $r$.

Для этого разделим 82 на 8 столбиком или в уме. Ближайшее к 82 число, которое делится на 8 без остатка, — это 80.

$80 \div 8 = 10$

Таким образом, неполное частное $q$ равно 10.

Теперь найдем остаток $r$, вычтя из делимого произведение делителя на неполное частное:

$r = a - b \cdot q$

$r = 82 - 8 \cdot 10 = 82 - 80 = 2$

Остаток $r = 2$. Отметим, что остаток должен быть меньше делителя ($r < b$), что в нашем случае верно: $2 < 8$.

Теперь подставим все значения ($a=82$, $b=8$, $q=10$, $r=2$) в исходную формулу:

$a = bq + r$

$82 = 8 \cdot 10 + 2$

Ответ: $82 = 8 \cdot 10 + 2$.

534. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства $a = bq + r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, $r$ — остаток, если $a = 45, b = 7$.

Чтобы выразить делимое через неполное частное, делитель и остаток, необходимо найти неполное частное ($q$) и остаток ($r$) от деления делимого ($a$) на делитель ($b$).

По условию дано:

• Делимое $a = 45$
• Делитель $b = 7$

Используем формулу деления с остатком: $a = bq + r$, где $r$ — остаток и должно выполняться условие $0 \le r < b$.

1. Найдем неполное частное $q$, разделив 45 на 7. Ближайшее к 45 число, которое делится на 7 без остатка и не превышает 45, это 42.

$42 \div 7 = 6$

Следовательно, неполное частное $q = 6$.

2. Найдем остаток $r$. Для этого вычтем из делимого произведение делителя и неполного частного:

$r = a - b \cdot q$

$r = 45 - 7 \cdot 6 = 45 - 42 = 3$

Остаток $r = 3$. Проверим условие: $0 \le 3 < 7$. Условие выполняется.

3. Теперь подставим найденные значения $q=6$ и $r=3$ в исходную формулу:

$a = bq + r$

$45 = 7 \cdot 6 + 3$

Ответ: $45 = 7 \cdot 6 + 3$.

535. При каком наименьшем натуральном $a$ значение выражения:

1) $48 + a$ делится нацело на 6;

2) $65 - a$ делится нацело на 8;

3) $96 - a$ при делении на 9 даёт остаток 4?

1) Чтобы значение выражения $48 + a$ делилось нацело на 6, необходимо, чтобы сумма $48 + a$ была кратна 6. Число 48 делится на 6 без остатка, так как $48 = 6 \cdot 8$. Следовательно, чтобы вся сумма делилась на 6, слагаемое $a$ также должно делиться на 6. Мы ищем наименьшее натуральное число $a$. Натуральные числа, кратные 6, это 6, 12, 18 и так далее. Наименьшее из них — 6. Проверим: $48 + 6 = 54$, а $54 : 6 = 9$. Условие выполняется.
Ответ: 6.

2) Значение выражения $65 - a$ должно делиться нацело на 8. Это значит, что $65 - a$ является кратным 8. Найдём остаток от деления 65 на 8: $65 = 8 \cdot 8 + 1$. То есть, $65$ при делении на 8 даёт остаток 1. Чтобы разность $65 - a$ делилась на 8, число $a$ при делении на 8 также должно давать остаток 1. Мы ищем наименьшее натуральное число $a$, которое удовлетворяет этому условию. Перебирая натуральные числа, находим, что наименьшее число, дающее остаток 1 при делении на 8, это 1. Проверим: $65 - 1 = 64$, а $64 : 8 = 8$. Условие выполняется.
Ответ: 1.

3) Значение выражения $96 - a$ при делении на 9 должно давать остаток 4. Это можно записать в виде сравнения по модулю: $96 - a \equiv 4 \pmod{9}$. Сначала найдём остаток от деления 96 на 9. Сумма цифр числа 96 равна $9 + 6 = 15$, а остаток от деления 15 на 9 равен 6. Значит, $96 \equiv 6 \pmod{9}$. Подставим это в наше сравнение: $6 - a \equiv 4 \pmod{9}$. Перенесём 4 в левую часть: $6 - 4 - a \equiv 0 \pmod{9}$, что упрощается до $2 - a \equiv 0 \pmod{9}$. Это означает, что $a \equiv 2 \pmod{9}$. Иными словами, число $a$ при делении на 9 должно давать остаток 2. Мы ищем наименьшее натуральное число $a$, удовлетворяющее этому условию. Наименьшим таким натуральным числом является 2. Проверим: $96 - 2 = 94$. При делении 94 на 9 получаем $94 = 9 \cdot 10 + 4$. Остаток равен 4, условие выполняется.
Ответ: 2.

536. При каком наименьшем натуральном $a$ значение выражения:

1) $53 + a$ делится нацело на 7;

2) $a + 24$ при делении на 5 даёт остаток 2?

1)

По условию, значение выражения $53 + a$ должно делиться нацело на 7. Это означает, что сумма $53 + a$ должна быть кратна 7. Для начала найдём остаток от деления числа 53 на 7:
$53 \div 7 = 7$ (остаток 4).
То есть, $53 = 7 \times 7 + 4$.
Чтобы сумма $53 + a$ делилась на 7, нужно, чтобы сумма остатков от деления каждого слагаемого на 7 также делилась на 7. Сумма остатков равна $4 + a$. Значит, $4 + a$ должно быть кратно 7. Нам нужно найти наименьшее натуральное значение $a$, то есть $a \geq 1$. Будем перебирать числа, кратные 7, и находить соответствующее значение $a$:
Если $4 + a = 7$, то $a = 7 - 4 = 3$.
Число 3 является натуральным и наименьшим из возможных.
Проверим: $53 + 3 = 56$. $56$ делится на 7 ($56 \div 7 = 8$).

Ответ: 3

2)

По условию, значение выражения $a + 24$ при делении на 5 даёт остаток 2. Это можно записать в виде сравнения по модулю: $a + 24 \equiv 2 \pmod{5}$.
Сначала найдём остаток от деления числа 24 на 5:
$24 \div 5 = 4$ (остаток 4).
То есть, $24 \equiv 4 \pmod{5}$.
Подставим это в наше сравнение:
$a + 4 \equiv 2 \pmod{5}$.
Вычтем 4 из обеих частей сравнения:
$a \equiv 2 - 4 \pmod{5}$
$a \equiv -2 \pmod{5}$.
Остаток -2 эквивалентен остатку $-2 + 5 = 3$.
Таким образом, $a \equiv 3 \pmod{5}$.
Это означает, что при делении на 5 число $a$ даёт в остатке 3. Нам нужно найти наименьшее натуральное число $a$, удовлетворяющее этому условию. Наименьшим таким натуральным числом является 3.
Проверим: если $a=3$, то $a + 24 = 3 + 24 = 27$. При делении 27 на 5 получаем $27 = 5 \times 5 + 2$. Остаток равен 2, что соответствует условию задачи.

Ответ: 3

537. Катя разделила число 211 на некоторое число и получила в остатке 26. На какое число делила Катя?

Пусть искомое число, на которое делила Катя, — это $x$. При делении с остатком, делимое можно выразить через делитель, неполное частное и остаток по формуле:
Делимое = (Делитель × Неполное частное) + Остаток

В нашей задаче:

• Делимое = 211
• Делитель = $x$
• Остаток = 26

Пусть неполное частное будет $q$. Тогда мы можем записать уравнение:
$211 = x \cdot q + 26$

Одно из главных правил деления с остатком гласит, что остаток всегда должен быть меньше делителя. В нашем случае:
$26 < x$

Теперь вернемся к нашему уравнению. Выразим из него произведение $x \cdot q$:
$x \cdot q = 211 - 26$
$x \cdot q = 185$

Из этого уравнения следует, что искомое число $x$ (делитель) должно быть одним из натуральных делителей числа 185. Найдем все делители числа 185. Для этого разложим его на простые множители:
$185 = 5 \cdot 37$
Следовательно, все делители числа 185 — это 1, 5, 37, 185.

Теперь нам нужно выбрать те делители, которые удовлетворяют условию $x > 26$. Сравним каждый делитель с числом 26:

• 1 < 26 (не подходит)
• 5 < 26 (не подходит)
• 37 > 26 (подходит)
• 185 > 26 (подходит)

Таким образом, число, на которое делила Катя, может быть либо 37, либо 185.

Ответ: 37 или 185.

538. Миша разделил число 111 на некоторое число и получил в остатке 7. На какое число делил Миша?

Пусть $x$ — это неизвестное число (делитель), на которое Миша разделил число 111. Пусть $q$ — это неполное частное. По условию задачи, остаток от деления равен 7.Формула деления с остатком выглядит так:Делимое = (Делитель × Неполное частное) + Остаток.Подставим известные значения в формулу:

$111 = x \cdot q + 7$

Важное правило деления с остатком гласит, что делитель всегда должен быть строго больше остатка. В нашем случае это означает, что:

$x > 7$

Теперь вернемся к основному уравнению. Чтобы найти произведение $x \cdot q$, вычтем остаток из делимого:

$x \cdot q = 111 - 7$

$x \cdot q = 104$

Из этого уравнения следует, что искомое число $x$ является делителем числа 104. Найдем все натуральные делители числа 104:

• $104 : 1 = 104$
• $104 : 2 = 52$
• $104 : 4 = 26$
• $104 : 8 = 13$

Таким образом, делителями числа 104 являются: 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104.

Теперь нам нужно выбрать из этого списка только те числа, которые удовлетворяют условию $x > 7$. Сравнив каждый делитель с числом 7, получаем следующие возможные значения для $x$:

8, 13, 26, 52, 104.

Миша мог разделить число 111 на любое из этих чисел.

Ответ: 8, 13, 26, 52, 104.

539. Павел разделил число 70 на некоторое число и получил в остатке 4.
На какое число делил Павел?

Пусть искомое число (делитель) равно $d$. По условию, Павел разделил число 70 (делимое) на $d$ и получил в остатке 4.

Это можно записать с помощью формулы деления с остатком: $a = b \cdot q + r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток.

В нашем случае формула выглядит так:$70 = d \cdot q + 4$

Из этого равенства следует, что если из делимого вычесть остаток, то результат будет делиться на делитель нацело.$d \cdot q = 70 - 4$$d \cdot q = 66$

Таким образом, искомое число $d$ является одним из делителей числа 66.

Также существует важное правило деления с остатком: остаток всегда должен быть меньше делителя ($r < b$). В нашем случае остаток равен 4, поэтому делитель $d$ должен быть строго больше 4.$d > 4$

Теперь найдем все натуральные делители числа 66 и выберем из них те, которые больше 4.Делителями числа 66 являются: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66.

Среди этих делителей выберем те, что удовлетворяют условию $d > 4$:6, 11, 22, 33, 66.

Любое из этих чисел могло быть числом, на которое делил Павел.

Ответ: 6, 11, 22, 33 или 66.

540. Какое наибольшее количество понедельников может быть в году?

Чтобы определить наибольшее возможное количество понедельников в году, необходимо рассмотреть два случая: обычный год, в котором 365 дней, и високосный год, в котором 366 дней.

В неделе 7 дней. Количество полных недель в году можно найти, разделив общее количество дней на 7.

1. Обычный год (365 дней)

Выполним деление с остатком:

$365 \div 7 = 52$ (остаток 1)

Это означает, что в обычном году 52 полные недели и еще 1 дополнительный день. За 52 полные недели каждый день недели, включая понедельник, встречается ровно 52 раза. Чтобы количество понедельников было максимальным, этот дополнительный день должен быть понедельником. Такое возможно, если год начинается в понедельник (1 января — понедельник). В этом случае к 52 понедельникам прибавится еще один.

Максимальное количество понедельников в обычном году: $52 + 1 = 53$.

2. Високосный год (366 дней)

Выполним деление с остатком для високосного года:

$366 \div 7 = 52$ (остаток 2)

В високосном году 52 полные недели и 2 дополнительных дня. За 52 недели понедельник встретится 52 раза. Чтобы увеличить это число, один из двух дополнительных дней должен быть понедельником. Это произойдет, если год начинается в воскресенье (дополнительные дни — воскресенье и понедельник) или в понедельник (дополнительные дни — понедельник и вторник). В обоих этих вариантах мы получаем еще один, 53-й понедельник.

Максимальное количество понедельников в високосном году: $52 + 1 = 53$.

Сравнивая оба результата, мы видим, что наибольшее количество понедельников, которое может быть в году, — это 53.

Ответ: 53

541. В одном осеннем месяце суббот и понедельников оказалось больше, чем пятниц. Каким днём недели было девятнадцатое число этого месяца? Какой это был месяц?

Для решения задачи проанализируем, сколько дней может быть в осеннем месяце и как это влияет на количество дней недели.

Осенние месяцы — это сентябрь (30 дней), октябрь (31 день) и ноябрь (30 дней).

Количество каждого дня недели в месяце зависит от общего числа дней:

• В месяце из 30 дней ($30 = 4 \times 7 + 2$) два дня недели встречаются 5 раз, а остальные — 4 раза. Эти два дня должны идти подряд.
• В месяце из 31 дня ($31 = 4 \times 7 + 3$) три дня недели встречаются 5 раз, а остальные — 4 раза. Эти три дня также должны идти подряд.

По условию, в месяце суббот и понедельников было больше, чем пятниц. Это означает, что и суббот, и понедельников было по 5, а пятниц — 4.

Какой это был месяц?

Рассмотрим, при какой продолжительности месяца возможно, чтобы и суббот, и понедельников было по 5.В 30-дневном месяце 5 раз встречаются только два соседних дня недели. Суббота и понедельник не являются соседними днями (между ними воскресенье), поэтому месяц не может состоять из 30 дней.В 31-дневном месяце 5 раз встречаются три дня недели, идущие подряд. Чтобы в эту тройку вошли и суббота, и понедельник, это должны быть: суббота, воскресенье и понедельник. Этот случай удовлетворяет условию, так как пятница не входит в эту тройку и будет встречаться 4 раза.

Единственный осенний месяц, в котором 31 день, — это октябрь.

Ответ: октябрь.

Каким днём недели было девятнадцатое число этого месяца?

Мы выяснили, что в этом месяце 5 раз встречаются суббота, воскресенье и понедельник. Это возможно только в том случае, если месяц начинается с первого из этих дней, то есть 1-е число — это суббота.

Теперь найдём день недели для 19-го числа, зная, что 1-е число — суббота. Можно посчитать по неделям: 1, 8, 15, 22, 29 числа — это субботы.Если 15-е число — суббота, то:

• 16-е — воскресенье
• 17-е — понедельник
• 18-е — вторник
• 19-е — среда

Другой способ — через вычисление. Найдём, сколько полных недель и дней прошло с 1-го по 19-е число. Разница составляет $19 - 1 = 18$ дней. Разделим 18 на 7:

$18 = 2 \times 7 + 4$

Это означает, что с 1-го числа прошло 2 полные недели и еще 4 дня. Следовательно, 19-е число будет на 4 дня недели позже, чем 1-е. Отсчитываем 4 дня от субботы: воскресенье, понедельник, вторник, среда.

Ответ: среда.

542. Известно, что число $a$ — делимое, число $b$ — делитель, причём $a < b$. Найдите неполное частное и остаток при делении числа $a$ на число $b$.

По определению деления с остатком, для любого целого неотрицательного числа $a$ (делимое) и натурального числа $b$ (делитель) существуют единственные целые неотрицательные числа $q$ (неполное частное) и $r$ (остаток), такие, что выполняется равенство:
$a = b \cdot q + r$, где $0 \le r < b$.

В условии задачи нам дано, что делимое $a$ меньше делителя $b$, то есть $a < b$.

Рассмотрим, каким может быть неполное частное $q$.
Предположим, что $q$ равно 1 или больше ($q \ge 1$).
Поскольку делитель $b$ — натуральное число ($b \ge 1$), то произведение $b \cdot q$ будет не меньше, чем $b$:
$b \cdot q \ge b \cdot 1 = b$.
Остаток $r$ по определению является неотрицательным числом, то есть $r \ge 0$.
Тогда, исходя из формулы деления, получаем:
$a = b \cdot q + r \ge b + 0 = b$.
Это означает, что $a \ge b$. Но это прямо противоречит условию задачи, где сказано, что $a < b$.

Следовательно, наше предположение ($q \ge 1$) было неверным. Единственная оставшаяся возможность для неотрицательного целого числа $q$ — это $q=0$.

Теперь найдем остаток $r$, подставив $q=0$ в основное равенство:
$a = b \cdot 0 + r$
$a = 0 + r$
$a = r$

Итак, остаток от деления равен самому делимому. Проверим, выполняется ли для этого остатка $r = a$ основное условие $0 \le r < b$.
Это условие принимает вид $0 \le a < b$.
Неравенство $a < b$ дано в условии. Неравенство $a \ge 0$ обычно подразумевается в таких задачах (деление натуральных чисел или целых неотрицательных). Таким образом, условие для остатка выполняется.

Ответ: неполное частное равно 0, остаток равен $a$.

543. Докажите, что последняя цифра числа $a$ равна остатку при делении этого числа на 10.

Любое целое неотрицательное число $a$ можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых в десятичной системе счисления.

Пусть $a = d_n d_{n-1} \ldots d_1 d_0$ — это десятичная запись числа $a$, где $d_i$ — это цифры от 0 до 9. Последняя цифра числа — это $d_0$.

По определению десятичной системы счисления, число $a$ можно записать как:
$a = d_n \cdot 10^n + d_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \ldots + d_2 \cdot 10^2 + d_1 \cdot 10^1 + d_0 \cdot 10^0$

Заметим, что все слагаемые в этой сумме, кроме последнего, содержат множитель 10. Вынесем 10 за скобки для этих слагаемых:
$a = (d_n \cdot 10^{n-1} + d_{n-1} \cdot 10^{n-2} + \ldots + d_2 \cdot 10^1 + d_1) \cdot 10 + d_0 \cdot 10^0$

Так как $10^0 = 1$, выражение можно упростить:
$a = (d_n \cdot 10^{n-1} + d_{n-1} \cdot 10^{n-2} + \ldots + d_1) \cdot 10 + d_0$

Выражение в скобках является целым числом. Обозначим его через $k$:
$k = d_n \cdot 10^{n-1} + d_{n-1} \cdot 10^{n-2} + \ldots + d_1$

Тогда равенство примет вид:
$a = 10k + d_0$

Это равенство по определению является записью деления числа $a$ на 10 с остатком. Здесь $k$ — это неполное частное, а $d_0$ — остаток. По определению, остаток от деления на 10 должен быть целым числом в диапазоне от 0 до 9 включительно ($0 \le d_0 < 10$). Поскольку $d_0$ является цифрой, это условие всегда выполняется.

Таким образом, мы показали, что остаток от деления числа $a$ на 10 равен его последней цифре $d_0$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Любое число $a$ можно представить в виде $a = 10k + d_0$, где $d_0$ — его последняя цифра ($0 \le d_0 \le 9$), а $k$ — целое число, представляющее собой все цифры числа $a$, кроме последней. Эта форма записи является определением деления $a$ на 10 с остатком $d_0$.

544. Придумайте буквенное выражение, при подстановке в которое вместо буквы любого натурального числа получится числовое выражение, значение которого:

1) при делении на 3 даёт в остатке 1;

2) при делении на 8 даёт в остатке 3;

3) при делении на 11 даёт в остатке 7.

1) при делении на 3 даёт в остатке 1;

Задача состоит в том, чтобы найти буквенное выражение, которое при подстановке любого натурального числа $n$ ($n=1, 2, 3, ...$) давало бы результат, имеющий остаток 1 при делении на 3.

Число, которое делится на 3 без остатка, можно записать в виде $3k$, где $k$ — натуральное число. Чтобы получить число, дающее в остатке 1 при делении на 3, нужно к числу, делящемуся на 3, прибавить 1. Таким образом, искомое число имеет вид $3k+1$.

Возьмём в качестве $k$ нашу переменную $n$. Тогда получим выражение $3n+1$.

Проверим, подходит ли это выражение. Пусть $n$ — любое натуральное число. Слагаемое $3n$ всегда делится на 3 нацело (по определению). Если к числу, которое делится на 3, прибавить 1, то при делении нового числа на 3 в остатке всегда будет 1.

Примеры:
- если $n=1$, значение выражения равно $3 \cdot 1 + 1 = 4$. При делении 4 на 3 получаем 1 и остаток 1.
- если $n=5$, значение выражения равно $3 \cdot 5 + 1 = 16$. При делении 16 на 3 получаем 5 и остаток 1.
- если $n=100$, значение выражения равно $3 \cdot 100 + 1 = 301$. При делении 301 на 3 получаем 100 и остаток 1.

Выражение $3n+1$ удовлетворяет условию задачи. Вместо $n$ можно использовать любую другую букву.

Ответ: $3n+1$.

2) при делении на 8 даёт в остатке 3;

Аналогично предыдущему пункту, нам нужно найти выражение, значение которого при делении на 8 всегда даёт остаток 3.

Общий вид таких чисел — $8k+3$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Построим выражение по тому же принципу. Возьмем выражение $8n$, которое всегда делится на 8 нацело для любого натурального $n$. Прибавив к нему 3, мы получим выражение $8n+3$.

При делении значения выражения $8n+3$ на 8, слагаемое $8n$ разделится без остатка, а слагаемое 3 даст остаток 3. Следовательно, остаток от деления всего выражения на 8 всегда будет равен 3.

Примеры:
- если $n=1$, значение выражения равно $8 \cdot 1 + 3 = 11$. При делении 11 на 8 получаем 1 и остаток 3.
- если $n=2$, значение выражения равно $8 \cdot 2 + 3 = 19$. При делении 19 на 8 получаем 2 и остаток 3.

Выражение $8n+3$ удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $8n+3$.

3) при делении на 11 даёт в остатке 7.

Требуется составить выражение, значение которого при делении на 11 всегда даёт в остатке 7.

Числа, которые при делении на 11 дают остаток 7, можно представить в виде $11k+7$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Возьмём букву $n$ для обозначения любого натурального числа. Выражение $11n$ всегда кратно 11. Если мы добавим 7, то получим выражение $11n+7$.

При делении значения выражения $11n+7$ на 11, слагаемое $11n$ разделится нацело, а остаток будет равен 7. Это справедливо для любого натурального $n$.

Примеры:
- если $n=1$, значение выражения равно $11 \cdot 1 + 7 = 18$. При делении 18 на 11 получаем 1 и остаток 7.
- если $n=10$, значение выражения равно $11 \cdot 10 + 7 = 117$. При делении 117 на 11 получаем 10 и остаток 7.

Выражение $11n+7$ удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $11n+7$.