Номер 541, страница 134 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

541. В одном осеннем месяце суббот и понедельников оказалось больше, чем пятниц. Каким днём недели было девятнадцатое число этого месяца? Какой это был месяц?

Для решения задачи проанализируем, сколько дней может быть в осеннем месяце и как это влияет на количество дней недели.

Осенние месяцы — это сентябрь (30 дней), октябрь (31 день) и ноябрь (30 дней).

Количество каждого дня недели в месяце зависит от общего числа дней:

• В месяце из 30 дней ($30 = 4 \times 7 + 2$) два дня недели встречаются 5 раз, а остальные — 4 раза. Эти два дня должны идти подряд.
• В месяце из 31 дня ($31 = 4 \times 7 + 3$) три дня недели встречаются 5 раз, а остальные — 4 раза. Эти три дня также должны идти подряд.

По условию, в месяце суббот и понедельников было больше, чем пятниц. Это означает, что и суббот, и понедельников было по 5, а пятниц — 4.

Какой это был месяц?

Рассмотрим, при какой продолжительности месяца возможно, чтобы и суббот, и понедельников было по 5.В 30-дневном месяце 5 раз встречаются только два соседних дня недели. Суббота и понедельник не являются соседними днями (между ними воскресенье), поэтому месяц не может состоять из 30 дней.В 31-дневном месяце 5 раз встречаются три дня недели, идущие подряд. Чтобы в эту тройку вошли и суббота, и понедельник, это должны быть: суббота, воскресенье и понедельник. Этот случай удовлетворяет условию, так как пятница не входит в эту тройку и будет встречаться 4 раза.

Единственный осенний месяц, в котором 31 день, — это октябрь.

Ответ: октябрь.

Каким днём недели было девятнадцатое число этого месяца?

Мы выяснили, что в этом месяце 5 раз встречаются суббота, воскресенье и понедельник. Это возможно только в том случае, если месяц начинается с первого из этих дней, то есть 1-е число — это суббота.

Теперь найдём день недели для 19-го числа, зная, что 1-е число — суббота. Можно посчитать по неделям: 1, 8, 15, 22, 29 числа — это субботы.Если 15-е число — суббота, то:

• 16-е — воскресенье
• 17-е — понедельник
• 18-е — вторник
• 19-е — среда

Другой способ — через вычисление. Найдём, сколько полных недель и дней прошло с 1-го по 19-е число. Разница составляет $19 - 1 = 18$ дней. Разделим 18 на 7:

$18 = 2 \times 7 + 4$

Это означает, что с 1-го числа прошло 2 полные недели и еще 4 дня. Следовательно, 19-е число будет на 4 дня недели позже, чем 1-е. Отсчитываем 4 дня от субботы: воскресенье, понедельник, вторник, среда.

Ответ: среда.