Номер 535, страница 134 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

535. При каком наименьшем натуральном $a$ значение выражения:

1) $48 + a$ делится нацело на 6;

2) $65 - a$ делится нацело на 8;

3) $96 - a$ при делении на 9 даёт остаток 4?

1) Чтобы значение выражения $48 + a$ делилось нацело на 6, необходимо, чтобы сумма $48 + a$ была кратна 6. Число 48 делится на 6 без остатка, так как $48 = 6 \cdot 8$. Следовательно, чтобы вся сумма делилась на 6, слагаемое $a$ также должно делиться на 6. Мы ищем наименьшее натуральное число $a$. Натуральные числа, кратные 6, это 6, 12, 18 и так далее. Наименьшее из них — 6. Проверим: $48 + 6 = 54$, а $54 : 6 = 9$. Условие выполняется.
Ответ: 6.

2) Значение выражения $65 - a$ должно делиться нацело на 8. Это значит, что $65 - a$ является кратным 8. Найдём остаток от деления 65 на 8: $65 = 8 \cdot 8 + 1$. То есть, $65$ при делении на 8 даёт остаток 1. Чтобы разность $65 - a$ делилась на 8, число $a$ при делении на 8 также должно давать остаток 1. Мы ищем наименьшее натуральное число $a$, которое удовлетворяет этому условию. Перебирая натуральные числа, находим, что наименьшее число, дающее остаток 1 при делении на 8, это 1. Проверим: $65 - 1 = 64$, а $64 : 8 = 8$. Условие выполняется.
Ответ: 1.

3) Значение выражения $96 - a$ при делении на 9 должно давать остаток 4. Это можно записать в виде сравнения по модулю: $96 - a \equiv 4 \pmod{9}$. Сначала найдём остаток от деления 96 на 9. Сумма цифр числа 96 равна $9 + 6 = 15$, а остаток от деления 15 на 9 равен 6. Значит, $96 \equiv 6 \pmod{9}$. Подставим это в наше сравнение: $6 - a \equiv 4 \pmod{9}$. Перенесём 4 в левую часть: $6 - 4 - a \equiv 0 \pmod{9}$, что упрощается до $2 - a \equiv 0 \pmod{9}$. Это означает, что $a \equiv 2 \pmod{9}$. Иными словами, число $a$ при делении на 9 должно давать остаток 2. Мы ищем наименьшее натуральное число $a$, удовлетворяющее этому условию. Наименьшим таким натуральным числом является 2. Проверим: $96 - 2 = 94$. При делении 94 на 9 получаем $94 = 9 \cdot 10 + 4$. Остаток равен 4, условие выполняется.
Ответ: 2.