Номер 544, страница 134 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

544. Придумайте буквенное выражение, при подстановке в которое вместо буквы любого натурального числа получится числовое выражение, значение которого:

1) при делении на 3 даёт в остатке 1;

2) при делении на 8 даёт в остатке 3;

3) при делении на 11 даёт в остатке 7.

1) при делении на 3 даёт в остатке 1;

Задача состоит в том, чтобы найти буквенное выражение, которое при подстановке любого натурального числа $n$ ($n=1, 2, 3, ...$) давало бы результат, имеющий остаток 1 при делении на 3.

Число, которое делится на 3 без остатка, можно записать в виде $3k$, где $k$ — натуральное число. Чтобы получить число, дающее в остатке 1 при делении на 3, нужно к числу, делящемуся на 3, прибавить 1. Таким образом, искомое число имеет вид $3k+1$.

Возьмём в качестве $k$ нашу переменную $n$. Тогда получим выражение $3n+1$.

Проверим, подходит ли это выражение. Пусть $n$ — любое натуральное число. Слагаемое $3n$ всегда делится на 3 нацело (по определению). Если к числу, которое делится на 3, прибавить 1, то при делении нового числа на 3 в остатке всегда будет 1.

Примеры:
- если $n=1$, значение выражения равно $3 \cdot 1 + 1 = 4$. При делении 4 на 3 получаем 1 и остаток 1.
- если $n=5$, значение выражения равно $3 \cdot 5 + 1 = 16$. При делении 16 на 3 получаем 5 и остаток 1.
- если $n=100$, значение выражения равно $3 \cdot 100 + 1 = 301$. При делении 301 на 3 получаем 100 и остаток 1.

Выражение $3n+1$ удовлетворяет условию задачи. Вместо $n$ можно использовать любую другую букву.

Ответ: $3n+1$.

2) при делении на 8 даёт в остатке 3;

Аналогично предыдущему пункту, нам нужно найти выражение, значение которого при делении на 8 всегда даёт остаток 3.

Общий вид таких чисел — $8k+3$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Построим выражение по тому же принципу. Возьмем выражение $8n$, которое всегда делится на 8 нацело для любого натурального $n$. Прибавив к нему 3, мы получим выражение $8n+3$.

При делении значения выражения $8n+3$ на 8, слагаемое $8n$ разделится без остатка, а слагаемое 3 даст остаток 3. Следовательно, остаток от деления всего выражения на 8 всегда будет равен 3.

Примеры:
- если $n=1$, значение выражения равно $8 \cdot 1 + 3 = 11$. При делении 11 на 8 получаем 1 и остаток 3.
- если $n=2$, значение выражения равно $8 \cdot 2 + 3 = 19$. При делении 19 на 8 получаем 2 и остаток 3.

Выражение $8n+3$ удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $8n+3$.

3) при делении на 11 даёт в остатке 7.

Требуется составить выражение, значение которого при делении на 11 всегда даёт в остатке 7.

Числа, которые при делении на 11 дают остаток 7, можно представить в виде $11k+7$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Возьмём букву $n$ для обозначения любого натурального числа. Выражение $11n$ всегда кратно 11. Если мы добавим 7, то получим выражение $11n+7$.

При делении значения выражения $11n+7$ на 11, слагаемое $11n$ разделится нацело, а остаток будет равен 7. Это справедливо для любого натурального $n$.

Примеры:
- если $n=1$, значение выражения равно $11 \cdot 1 + 7 = 18$. При делении 18 на 11 получаем 1 и остаток 7.
- если $n=10$, значение выражения равно $11 \cdot 10 + 7 = 117$. При делении 117 на 11 получаем 10 и остаток 7.

Выражение $11n+7$ удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $11n+7$.