Страница 129 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

502. За четыре дня путешествия капитан Врунгель проплыл 546 миль. Во второй день он проплыл в 4 раза больше, чем в первый, в третий — в 3 раза больше, чем в первый, а в четвертый — в 5 раз больше, чем в первый. Сколько миль проплывал капитан Врунгель ежедневно?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ миль — это расстояние, которое капитан Врунгель проплыл в первый день путешествия.

Исходя из условий задачи, выразим расстояния, пройденные в последующие дни, через $x$:

• Расстояние за второй день: в 4 раза больше, чем в первый, то есть $4x$ миль.
• Расстояние за третий день: в 3 раза больше, чем в первый, то есть $3x$ миль.
• Расстояние за четвертый день: в 5 раз больше, чем в первый, то есть $5x$ миль.

Общее расстояние, которое капитан проплыл за четыре дня, составляет 546 миль. Мы можем составить уравнение, сложив расстояния за все четыре дня:

$x + 4x + 3x + 5x = 546$

Теперь решим это уравнение. Сначала сложим все коэффициенты при $x$ в левой части:

$(1 + 4 + 3 + 5)x = 546$

$13x = 546$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 13:

$x = 546 / 13$

$x = 42$

Таким образом, в первый день капитан Врунгель проплыл 42 мили.

Теперь, зная расстояние за первый день, найдем расстояния для остальных дней:

Второй день: $4x = 4 \times 42 = 168$ миль.

Третий день: $3x = 3 \times 42 = 126$ миль.

Четвёртый день: $5x = 5 \times 42 = 210$ миль.

Проверим, что сумма всех расстояний равна 546:

$42 + 168 + 126 + 210 = 546$ миль.

Ответ: в первый день капитан проплыл 42 мили, во второй — 168 миль, в третий — 126 миль, а в четвёртый — 210 миль.

503. Егор, Саша и Алёша поймали 256 окуней. Егор поймал в 3 раза больше рыб, чем Саша, а Алёша — столько, сколько Егор и Саша вместе. Сколько окуней поймал лучший рыбак?

Для решения задачи обозначим количество окуней, которое поймал Саша, через переменную $x$.

Из условия известно, что Егор поймал в 3 раза больше рыб, чем Саша. Значит, улов Егора составляет $3x$ окуней.

Алёша поймал столько, сколько Егор и Саша вместе. Следовательно, улов Алёши равен $x + 3x = 4x$ окуней.

Суммарный улов всех троих составляет 256 окуней. Мы можем составить уравнение, сложив улов каждого:
$x + 3x + 4x = 256$

Решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:
$8x = 256$
$x = 256 \div 8$
$x = 32$

Теперь мы знаем, что Саша поймал 32 окуня. Найдем, сколько поймали остальные:
Егор: $3x = 3 \cdot 32 = 96$ окуней.
Алёша: $4x = 4 \cdot 32 = 128$ окуней.

Чтобы определить лучшего рыбака, сравним их уловы:
Саша — 32 окуня.
Егор — 96 окуней.
Алёша — 128 окуней.
Так как $128 > 96 > 32$, лучшим рыбаком является Алёша.

Ответ: лучший рыбак поймал 128 окуней.

504. Красная Шапочка, Мальвина, Золушка и Дюймовочка слепили 500 пельменей. Красная Шапочка слепила в 2 раза больше пельменей, чем Дюймовочка, Мальвина — столько, сколько Красная Шапочка и Дюймовочка вместе, а Золушка — столько, сколько Мальвина и Дюймовочка вместе. Сколько пельменей слепила каждая девочка?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество пельменей, которое слепила Дюймовочка.

Исходя из условий задачи, выразим количество пельменей, слепленных остальными девочками, через $x$:

• Красная Шапочка слепила в 2 раза больше, чем Дюймовочка, то есть: $2x$.
• Мальвина слепила столько, сколько Красная Шапочка и Дюймовочка вместе: $2x + x = 3x$.
• Золушка слепила столько, сколько Мальвина и Дюймовочка вместе: $3x + x = 4x$.

Всего девочки слепили 500 пельменей. Составим уравнение, сложив количество пельменей каждой девочки:

$x$ (Дюймовочка) + $2x$ (Красная Шапочка) + $3x$ (Мальвина) + $4x$ (Золушка) = $500$

Теперь решим это уравнение:

$10x = 500$

$x = \frac{500}{10}$

$x = 50$

Итак, мы нашли, что Дюймовочка слепила 50 пельменей. Теперь найдем, сколько слепили остальные:

Красная Шапочка: $2x = 2 \cdot 50 = 100$ пельменей.

Мальвина: $3x = 3 \cdot 50 = 150$ пельменей.

Золушка: $4x = 4 \cdot 50 = 200$ пельменей.

Проверим, сходится ли общая сумма: $50 + 100 + 150 + 200 = 500$. Все верно.

Ответ: Дюймовочка слепила 50 пельменей, Красная Шапочка — 100 пельменей, Мальвина — 150 пельменей, Золушка — 200 пельменей.

505. В трёх вагонах электропоезда ехало 246 пассажиров. В первом вагоне было в 2 раза больше пассажиров, чем во втором, а в третьем — на 78 пассажиров больше, чем во втором. Сколько пассажиров ехало в каждом вагоне?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — количество пассажиров во втором вагоне.

Согласно условию задачи, количество пассажиров в других вагонах можно выразить через $x$:

• В первом вагоне было в 2 раза больше пассажиров, чем во втором, следовательно, там было $2x$ пассажиров.
• В третьем вагоне было на 78 пассажиров больше, чем во втором, следовательно, там было $x + 78$ пассажиров.

Общее количество пассажиров в трех вагонах равно 246. Составим уравнение, сложив количество пассажиров во всех вагонах:

$2x + x + (x + 78) = 246$

Теперь решим полученное уравнение:

1. Скомбинируем подобные члены (слагаемые с $x$):

$4x + 78 = 246$

2. Перенесем 78 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$4x = 246 - 78$

$4x = 168$

3. Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{168}{4}$

$x = 42$

Таким образом, во втором вагоне было 42 пассажира.

Теперь можем найти количество пассажиров в первом и третьем вагонах:

• В первом вагоне: $2x = 2 \cdot 42 = 84$ пассажира.
• В третьем вагоне: $x + 78 = 42 + 78 = 120$ пассажиров.

Для проверки сложим количество пассажиров во всех трех вагонах: $84 + 42 + 120 = 246$. Сумма совпадает с данными в условии, следовательно, задача решена верно.

Ответ: в первом вагоне ехало 84 пассажира, во втором — 42 пассажира, а в третьем — 120 пассажиров.

506. В три школы отправили 552 кг апельсинов, причём в одну школу отправили в 6 раз меньше апельсинов, чем во вторую, и на 136 кг меньше, чем в третью. Сколько килограммов апельсинов отправили в каждую школу?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ кг — это количество апельсинов, которое отправили в первую школу.

Из условия известно, что в первую школу отправили в 6 раз меньше апельсинов, чем во вторую. Следовательно, во вторую школу отправили в 6 раз больше, чем в первую. Количество апельсинов для второй школы составляет $6x$ кг.

Также в условии сказано, что в первую школу отправили на 136 кг меньше апельсинов, чем в третью. Это значит, что в третью школу отправили на 136 кг больше, чем в первую. Количество апельсинов для третьей школы составляет $(x + 136)$ кг.

Общее количество апельсинов, отправленных в три школы, равно 552 кг. Мы можем составить уравнение, сложив количество апельсинов для каждой школы:

$x + 6x + (x + 136) = 552$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть, сложив все слагаемые с переменной $x$:

$(1 + 6 + 1)x + 136 = 552$

$8x + 136 = 552$

Перенесем 136 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$8x = 552 - 136$

$8x = 416$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 8:

$x = \frac{416}{8}$

$x = 52$

Итак, в первую школу отправили 52 кг апельсинов.

Теперь найдем, сколько килограммов апельсинов отправили во вторую и третью школы:

• Во вторую школу: $6x = 6 \cdot 52 = 312$ кг.
• В третью школу: $x + 136 = 52 + 136 = 188$ кг.

Проверим, соответствует ли общая масса апельсинов условию задачи:

$52 + 312 + 188 = 364 + 188 = 552$ кг.

Все верно.

Ответ: в первую школу отправили 52 кг апельсинов, во вторую — 312 кг, а в третью — 188 кг.

507. Одна из сторон треугольника в 5 раз меньше второй и на 25 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 74 см.

Пусть длина первой, самой меньшей, стороны треугольника равна $x$ см.

Из условия задачи следует, что эта сторона в 5 раз меньше второй. Следовательно, вторая сторона в 5 раз больше первой, и ее длина составляет $5x$ см.

Также известно, что первая сторона на 25 см меньше третьей. Это означает, что третья сторона на 25 см больше первой, и ее длина равна $(x + 25)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 74 см. Можем составить уравнение:

$x + 5x + (x + 25) = 74$

Теперь решим это уравнение:

1. Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$:

$7x + 25 = 74$

2. Перенесем число 25 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$7x = 74 - 25$

$7x = 49$

3. Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 7:

$x = 49 / 7$

$x = 7$

Мы нашли, что длина первой стороны равна 7 см.

Теперь найдем длины остальных сторон:

• Длина второй стороны: $5x = 5 \cdot 7 = 35$ см.
• Длина третьей стороны: $x + 25 = 7 + 25 = 32$ см.

Проверим, что сумма длин найденных сторон равна заданному периметру:

$7 + 35 + 32 = 42 + 32 = 74$ см. Условие выполняется.

Ответ: стороны треугольника равны 7 см, 35 см и 32 см.

508. Одна из сторон треугольника в 2 раза больше второй стороны, а вторая — на 7 дм меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 99 дм.

Для решения задачи обозначим длину второй стороны треугольника через $x$ дм.

Согласно условию, одна из сторон (первая) в 2 раза больше второй. Следовательно, ее длина составляет $2x$ дм.

Также по условию, вторая сторона на 7 дм меньше третьей. Это значит, что третья сторона на 7 дм больше второй, и ее длина равна $(x + 7)$ дм.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Известно, что периметр равен 99 дм. Мы можем составить уравнение, приравняв сумму длин сторон к периметру:

$2x + x + (x + 7) = 99$

Теперь решим это уравнение:

Сначала сложим все слагаемые с $x$:

$4x + 7 = 99$

Перенесем число 7 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$4x = 99 - 7$

$4x = 92$

Найдем $x$, разделив 92 на 4:

$x = \frac{92}{4}$

$x = 23$

Таким образом, длина второй стороны треугольника равна 23 дм.

Теперь найдем длины остальных сторон:

Длина первой стороны: $2x = 2 \cdot 23 = 46$ дм.

Длина третьей стороны: $x + 7 = 23 + 7 = 30$ дм.

Проверим правильность решения, сложив длины найденных сторон: $46 + 23 + 30 = 99$ дм. Периметр совпадает с заданным в условии.

Ответ: стороны треугольника равны 46 дм, 23 дм и 30 дм.

509. 1) Верно ли, что если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма этих слагаемых делится на это число? Проиллюстрируйте свой ответ примерами.

2) Может ли сумма нескольких слагаемых делиться на некоторое число, если каждое слагаемое не делится на это число? Проиллюстрируйте свой ответ примерами.

1) Да, это утверждение верно. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма будет делиться на это число. Это является одним из основных свойств делимости.

Объясним это математически. Пусть есть несколько слагаемых $a_1, a_2, \dots, a_n$, и каждое из них делится на число $d$. Это значит, что для каждого слагаемого можно записать $a_i = k_i \cdot d$, где $k_i$ — некоторое целое число.

Сумма этих слагаемых будет равна:

$S = a_1 + a_2 + \dots + a_n = k_1 \cdot d + k_2 \cdot d + \dots + k_n \cdot d$

Используя распределительный закон, можно вынести общий множитель $d$ за скобки:

$S = d \cdot (k_1 + k_2 + \dots + k_n)$

Так как сумма целых чисел $(k_1 + k_2 + \dots + k_n)$ также является целым числом, то и вся сумма $S$ является произведением числа $d$ на целое число. По определению, это означает, что сумма $S$ делится на $d$.

Примеры:

• Пусть число, на которое делятся слагаемые, равно 5. Возьмем слагаемые 10 и 25. Каждое из них делится на 5 ($10:5=2$, $25:5=5$). Их сумма $10 + 25 = 35$. Число 35 также делится на 5 ($35:5=7$).
• Пусть число равно 3. Возьмем слагаемые 9, 15 и 21. Все они делятся на 3. Их сумма $9 + 15 + 21 = 45$. Число 45 также делится на 3 ($45:3=15$).

Ответ: Да, верно.

2) Да, сумма нескольких слагаемых может делиться на некоторое число, даже если каждое из слагаемых в отдельности не делится на это число.

Это возможно в том случае, когда сумма остатков от деления каждого слагаемого на это число будет делиться на это число.

Примеры:

• Пусть число, на которое должна делиться сумма, равно 10. Возьмем слагаемые 3 и 7. Ни 3, ни 7 не делятся на 10. Их сумма $3 + 7 = 10$. Число 10 делится на 10.
• Пусть число равно 6. Возьмем слагаемые 4, 5 и 9. Ни одно из этих чисел не делится на 6. Их сумма $4 + 5 + 9 = 18$. Число 18 делится на 6 ($18:6=3$).
• Пусть число равно 4. Возьмем слагаемые 1, 1, 1 и 1. Ни одно из слагаемых не делится на 4. Их сумма $1 + 1 + 1 + 1 = 4$. Число 4 делится на 4.

Ответ: Да, может.

510. Как изменится частное, если:

1) делимое увеличить в 7 раз;

2) делитель увеличить в 4 раза;

3) делимое увеличить в 8 раз, а делитель — в 2 раза;

4) делимое уменьшить в 9 раз, а делитель — в 3 раза;

5) делимое увеличить в 6 раз, а делитель уменьшить в 2 раза;

6) делимое уменьшить в 6 раз, а делитель увеличить в 2 раза?

Для решения этой задачи обозначим исходные компоненты деления переменными. Пусть $a$ — делимое, $b$ — делитель, а $c$ — частное. Таким образом, у нас есть исходное равенство: $c = a / b$.

1) делимое увеличить в 7 раз;
Новое делимое будет равно $7a$. Делитель $b$ не изменится. Найдем новое частное:
$c_{new} = (7a) / b = 7 \cdot (a / b) = 7c$
Частное увеличится в 7 раз.
Ответ: увеличится в 7 раз.

2) делитель увеличить в 4 раза;
Новый делитель будет равен $4b$. Делимое $a$ не изменится. Найдем новое частное:
$c_{new} = a / (4b) = (1/4) \cdot (a / b) = c/4$
Частное уменьшится в 4 раза.
Ответ: уменьшится в 4 раза.

3) делимое увеличить в 8 раз, а делитель — в 2 раза;
Новое делимое — $8a$, новый делитель — $2b$. Найдем новое частное:
$c_{new} = (8a) / (2b) = (8/2) \cdot (a / b) = 4c$
Частное увеличится в 4 раза.
Ответ: увеличится в 4 раза.

4) делимое уменьшить в 9 раз, а делитель — в 3 раза;
Новое делимое — $a/9$, новый делитель — $b/3$. Найдем новое частное:
$c_{new} = (a/9) / (b/3) = (a/9) \cdot (3/b) = (3/9) \cdot (a/b) = (1/3) \cdot c = c/3$
Частное уменьшится в 3 раза.
Ответ: уменьшится в 3 раза.

5) делимое увеличить в 6 раз, а делитель уменьшить в 2 раза;
Новое делимое — $6a$, новый делитель — $b/2$. Найдем новое частное:
$c_{new} = (6a) / (b/2) = 6a \cdot (2/b) = (6 \cdot 2) \cdot (a/b) = 12c$
Частное увеличится в 12 раз.
Ответ: увеличится в 12 раз.

6) делимое уменьшить в 6 раз, а делитель увеличить в 2 раза?
Новое делимое — $a/6$, новый делитель — $2b$. Найдем новое частное:
$c_{new} = (a/6) / (2b) = a / (6 \cdot 2b) = (1/12) \cdot (a/b) = c/12$
Частное уменьшится в 12 раз.
Ответ: уменьшится в 12 раз.