Номер 509, страница 129 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

509. 1) Верно ли, что если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма этих слагаемых делится на это число? Проиллюстрируйте свой ответ примерами.

2) Может ли сумма нескольких слагаемых делиться на некоторое число, если каждое слагаемое не делится на это число? Проиллюстрируйте свой ответ примерами.

1) Да, это утверждение верно. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма будет делиться на это число. Это является одним из основных свойств делимости.

Объясним это математически. Пусть есть несколько слагаемых $a_1, a_2, \dots, a_n$, и каждое из них делится на число $d$. Это значит, что для каждого слагаемого можно записать $a_i = k_i \cdot d$, где $k_i$ — некоторое целое число.

Сумма этих слагаемых будет равна:

$S = a_1 + a_2 + \dots + a_n = k_1 \cdot d + k_2 \cdot d + \dots + k_n \cdot d$

Используя распределительный закон, можно вынести общий множитель $d$ за скобки:

$S = d \cdot (k_1 + k_2 + \dots + k_n)$

Так как сумма целых чисел $(k_1 + k_2 + \dots + k_n)$ также является целым числом, то и вся сумма $S$ является произведением числа $d$ на целое число. По определению, это означает, что сумма $S$ делится на $d$.

Примеры:

• Пусть число, на которое делятся слагаемые, равно 5. Возьмем слагаемые 10 и 25. Каждое из них делится на 5 ($10:5=2$, $25:5=5$). Их сумма $10 + 25 = 35$. Число 35 также делится на 5 ($35:5=7$).
• Пусть число равно 3. Возьмем слагаемые 9, 15 и 21. Все они делятся на 3. Их сумма $9 + 15 + 21 = 45$. Число 45 также делится на 3 ($45:3=15$).

Ответ: Да, верно.

2) Да, сумма нескольких слагаемых может делиться на некоторое число, даже если каждое из слагаемых в отдельности не делится на это число.

Это возможно в том случае, когда сумма остатков от деления каждого слагаемого на это число будет делиться на это число.

Примеры:

• Пусть число, на которое должна делиться сумма, равно 10. Возьмем слагаемые 3 и 7. Ни 3, ни 7 не делятся на 10. Их сумма $3 + 7 = 10$. Число 10 делится на 10.
• Пусть число равно 6. Возьмем слагаемые 4, 5 и 9. Ни одно из этих чисел не делится на 6. Их сумма $4 + 5 + 9 = 18$. Число 18 делится на 6 ($18:6=3$).
• Пусть число равно 4. Возьмем слагаемые 1, 1, 1 и 1. Ни одно из слагаемых не делится на 4. Их сумма $1 + 1 + 1 + 1 = 4$. Число 4 делится на 4.

Ответ: Да, может.