Страница 133 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. В первый день турист был в дороге 7 ч, а во второй — 4 ч, двигаясь с такой же скоростью, как и в первый день. Во второй день турист прошёл на 12 км меньше, чем в первый. С какой скоростью двигался турист?

Пусть $v$ (в км/ч) — это искомая скорость туриста. Согласно условию задачи, эта скорость была одинаковой в первый и во второй день.

Обозначим данные из условия:
Время в пути в первый день: $t_1 = 7$ ч.
Время в пути во второй день: $t_2 = 4$ ч.

Расстояние, пройденное туристом, вычисляется по формуле $S = v \cdot t$.

Расстояние, пройденное в первый день:
$S_1 = v \cdot t_1 = v \cdot 7 = 7v$ (км).

Расстояние, пройденное во второй день:
$S_2 = v \cdot t_2 = v \cdot 4 = 4v$ (км).

В условии сказано, что во второй день турист прошёл на 12 км меньше, чем в первый. Это означает, что разница между расстояниями $S_1$ и $S_2$ составляет 12 км. На основе этого можно составить уравнение:
$S_1 - S_2 = 12$

Подставим в это уравнение выражения для $S_1$ и $S_2$:
$7v - 4v = 12$

Теперь решим полученное уравнение относительно $v$:
$3v = 12$
$v = \frac{12}{3}$
$v = 4$

Таким образом, скорость, с которой двигался турист, составляла 4 км/ч.

Проверка:
1. Расстояние за первый день: $4 \text{ км/ч} \cdot 7 \text{ ч} = 28$ км.
2. Расстояние за второй день: $4 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 16$ км.
3. Разница в расстоянии: $28 \text{ км} - 16 \text{ км} = 12$ км.
Результат проверки полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 4 км/ч.

521. Выполните деление с остатком:

1) $42 : 5$;

2) $592 : 24$;

3) $428 : 37$;

4) $684 : 30$;

5) $1372 : 13$;

6) $5721 : 28$;

7) $3196 : 74$;

8) $6516 : 204$;

9) $12387 : 185$.

1) Чтобы разделить $42$ на $5$ с остатком, найдем наибольшее число до $42$, которое делится на $5$ без остатка. Это число $40$.

Найдем неполное частное: $40 : 5 = 8$.

Найдем остаток: $42 - 40 = 2$.

Проверим, что остаток ($2$) меньше делителя ($5$). Условие выполняется.

Таким образом, $42 = 5 \times 8 + 2$.

Ответ: 8 (ост. 2).

2) Выполним деление $592$ на $24$ с остатком (в столбик).

1. Делим первые две цифры делимого, $59$, на $24$. Получаем $2$ (так как $2 \times 24 = 48$).

2. Находим остаток: $59 - 48 = 11$.

3. Сносим следующую цифру делимого, $2$, и получаем число $112$.

4. Делим $112$ на $24$. Получаем $4$ (так как $4 \times 24 = 96$).

5. Находим остаток: $112 - 96 = 16$.

Неполное частное равно $24$, остаток равен $16$. Проверим, что остаток ($16$) меньше делителя ($24$). Условие выполняется.

Проверка: $24 \times 24 + 16 = 576 + 16 = 592$.

Ответ: 24 (ост. 16).

3) Выполним деление $428$ на $37$ с остатком.

1. Делим $42$ на $37$. Получаем $1$. Остаток: $42 - 37 = 5$.

2. Сносим $8$, получаем $58$.

3. Делим $58$ на $37$. Получаем $1$. Остаток: $58 - 37 = 21$.

Неполное частное равно $11$, остаток равен $21$. Проверим, что остаток ($21$) меньше делителя ($37$). Условие выполняется.

Проверка: $37 \times 11 + 21 = 407 + 21 = 428$.

Ответ: 11 (ост. 21).

4) Выполним деление $684$ на $30$ с остатком.

1. Делим $68$ на $30$. Получаем $2$. Остаток: $68 - 2 \times 30 = 68 - 60 = 8$.

2. Сносим $4$, получаем $84$.

3. Делим $84$ на $30$. Получаем $2$. Остаток: $84 - 2 \times 30 = 84 - 60 = 24$.

Неполное частное равно $22$, остаток равен $24$. Проверим, что остаток ($24$) меньше делителя ($30$). Условие выполняется.

Проверка: $30 \times 22 + 24 = 660 + 24 = 684$.

Ответ: 22 (ост. 24).

5) Выполним деление $1372$ на $13$ с остатком.

1. Делим $13$ на $13$. Получаем $1$. Остаток: $13 - 13 = 0$.

2. Сносим $7$. Так как $7 < 13$, в частное пишем $0$.

3. Сносим $2$, получаем $72$.

4. Делим $72$ на $13$. Получаем $5$. Остаток: $72 - 5 \times 13 = 72 - 65 = 7$.

Неполное частное равно $105$, остаток равен $7$. Проверим, что остаток ($7$) меньше делителя ($13$). Условие выполняется.

Проверка: $13 \times 105 + 7 = 1365 + 7 = 1372$.

Ответ: 105 (ост. 7).

6) Выполним деление $5721$ на $28$ с остатком.

1. Делим $57$ на $28$. Получаем $2$. Остаток: $57 - 2 \times 28 = 57 - 56 = 1$.

2. Сносим $2$, получаем $12$. Так как $12 < 28$, в частное пишем $0$.

3. Сносим $1$, получаем $121$.

4. Делим $121$ на $28$. Получаем $4$. Остаток: $121 - 4 \times 28 = 121 - 112 = 9$.

Неполное частное равно $204$, остаток равен $9$. Проверим, что остаток ($9$) меньше делителя ($28$). Условие выполняется.

Проверка: $28 \times 204 + 9 = 5712 + 9 = 5721$.

Ответ: 204 (ост. 9).

7) Выполним деление $3196$ на $74$ с остатком.

1. Делим $319$ на $74$. Получаем $4$. Остаток: $319 - 4 \times 74 = 319 - 296 = 23$.

2. Сносим $6$, получаем $236$.

3. Делим $236$ на $74$. Получаем $3$. Остаток: $236 - 3 \times 74 = 236 - 222 = 14$.

Неполное частное равно $43$, остаток равен $14$. Проверим, что остаток ($14$) меньше делителя ($74$). Условие выполняется.

Проверка: $74 \times 43 + 14 = 3182 + 14 = 3196$.

Ответ: 43 (ост. 14).

8) Выполним деление $6516$ на $204$ с остатком.

1. Делим $651$ на $204$. Получаем $3$. Остаток: $651 - 3 \times 204 = 651 - 612 = 39$.

2. Сносим $6$, получаем $396$.

3. Делим $396$ на $204$. Получаем $1$. Остаток: $396 - 1 \times 204 = 396 - 204 = 192$.

Неполное частное равно $31$, остаток равен $192$. Проверим, что остаток ($192$) меньше делителя ($204$). Условие выполняется.

Проверка: $204 \times 31 + 192 = 6324 + 192 = 6516$.

Ответ: 31 (ост. 192).

9) Выполним деление $12387$ на $185$ с остатком.

1. Делим $1238$ на $185$. Получаем $6$. Остаток: $1238 - 6 \times 185 = 1238 - 1110 = 128$.

2. Сносим $7$, получаем $1287$.

3. Делим $1287$ на $185$. Получаем $6$. Остаток: $1287 - 6 \times 185 = 1287 - 1110 = 177$.

Неполное частное равно $66$, остаток равен $177$. Проверим, что остаток ($177$) меньше делителя ($185$). Условие выполняется.

Проверка: $185 \times 66 + 177 = 12210 + 177 = 12387$.

Ответ: 66 (ост. 177).

522. Выполните деление с остатком:

1) $54 : 7$;

2) $212 : 6$;

3) $158 : 12$;

4) $534 : 15$;

5) $2964 : 18$;

6) $4848 : 106$.

1) Чтобы разделить 54 на 7 с остатком, найдем наибольшее число до 54, которое делится на 7 без остатка. Это число 49, так как $49 : 7 = 7$.
Теперь найдем остаток: $54 - 49 = 5$.
Таким образом, неполное частное равно 7, а остаток равен 5.
Проверка: $7 \cdot 7 + 5 = 49 + 5 = 54$.
Ответ: 7 (ост. 5).

2) Разделим 212 на 6. Сначала делим 21 на 6. Ближайшее меньшее число, кратное 6, это 18 ($6 \cdot 3 = 18$). $21 - 18 = 3$. Сносим 2, получаем 32.
Делим 32 на 6. Ближайшее меньшее число, кратное 6, это 30 ($6 \cdot 5 = 30$). $32 - 30 = 2$.
Таким образом, неполное частное равно 35, а остаток равен 2.
Проверка: $35 \cdot 6 + 2 = 210 + 2 = 212$.
Ответ: 35 (ост. 2).

3) Разделим 158 на 12. Сначала делим 15 на 12. Получаем 1 в частном и $15 - 12 = 3$ в остатке. Сносим 8, получаем 38.
Делим 38 на 12. Ближайшее меньшее число, кратное 12, это 36 ($12 \cdot 3 = 36$). $38 - 36 = 2$.
Таким образом, неполное частное равно 13, а остаток равен 2.
Проверка: $13 \cdot 12 + 2 = 156 + 2 = 158$.
Ответ: 13 (ост. 2).

4) Разделим 534 на 15. Сначала делим 53 на 15. Ближайшее меньшее число, кратное 15, это 45 ($15 \cdot 3 = 45$). $53 - 45 = 8$. Сносим 4, получаем 84.
Делим 84 на 15. Ближайшее меньшее число, кратное 15, это 75 ($15 \cdot 5 = 75$). $84 - 75 = 9$.
Таким образом, неполное частное равно 35, а остаток равен 9.
Проверка: $35 \cdot 15 + 9 = 525 + 9 = 534$.
Ответ: 35 (ост. 9).

5) Разделим 2964 на 18. Сначала делим 29 на 18. Получаем 1 в частном и $29 - 18 = 11$ в остатке. Сносим 6, получаем 116.
Делим 116 на 18. Ближайшее меньшее число, кратное 18, это 108 ($18 \cdot 6 = 108$). $116 - 108 = 8$. Сносим 4, получаем 84.
Делим 84 на 18. Ближайшее меньшее число, кратное 18, это 72 ($18 \cdot 4 = 72$). $84 - 72 = 12$.
Таким образом, неполное частное равно 164, а остаток равен 12.
Проверка: $164 \cdot 18 + 12 = 2952 + 12 = 2964$.
Ответ: 164 (ост. 12).

6) Разделим 4848 на 106. Сначала делим 484 на 106. Ближайшее меньшее число, кратное 106, это 424 ($106 \cdot 4 = 424$). $484 - 424 = 60$. Сносим 8, получаем 608.
Делим 608 на 106. Ближайшее меньшее число, кратное 106, это 530 ($106 \cdot 5 = 530$). $608 - 530 = 78$.
Таким образом, неполное частное равно 45, а остаток равен 78.
Проверка: $45 \cdot 106 + 78 = 4770 + 78 = 4848$.
Ответ: 45 (ост. 78).

523. 1) Найдите остаток при делении на 10 числа: 31; 47; 53; 148; 1 596; 67 389; 240 750.

2) Найдите остаток при делении на 5 числа: 14; 61; 86; 235; 2 658; 54 769; 687 903.

1) Найдите остаток при делении на 10 числа: 31; 47; 53; 148; 1 596; 67 389; 240 750.

Чтобы найти остаток от деления натурального числа на 10, достаточно посмотреть на последнюю цифру этого числа (цифру в разряде единиц). Эта цифра и будет остатком. Это следует из того, что любое число $N$ можно представить в виде $N = 10 \cdot q + r$, где $q$ — это число, состоящее из всех цифр, кроме последней, а $r$ — это последняя цифра (остаток), $0 \le r < 10$.

• 31: последняя цифра 1, значит остаток равен 1. $31 = 10 \cdot 3 + 1$.
• 47: последняя цифра 7, значит остаток равен 7. $47 = 10 \cdot 4 + 7$.
• 53: последняя цифра 3, значит остаток равен 3. $53 = 10 \cdot 5 + 3$.
• 148: последняя цифра 8, значит остаток равен 8. $148 = 10 \cdot 14 + 8$.
• 1 596: последняя цифра 6, значит остаток равен 6. $1\ 596 = 10 \cdot 159 + 6$.
• 67 389: последняя цифра 9, значит остаток равен 9. $67\ 389 = 10 \cdot 6738 + 9$.
• 240 750: последняя цифра 0, значит остаток равен 0. $240\ 750 = 10 \cdot 24075 + 0$.

Ответ: 1; 7; 3; 8; 6; 9; 0.

2) Найдите остаток при делении на 5 числа: 14; 61; 86; 235; 2 658; 54 769; 687 903.

Остаток от деления натурального числа на 5 совпадает с остатком от деления на 5 его последней цифры. Это происходит потому, что любое число можно представить в виде $N = 10a + b$, где $b$ — последняя цифра. Так как слагаемое $10a$ всегда делится на 5 без остатка (поскольку $10$ делится на $5$), остаток от деления всего числа $N$ на 5 зависит только от остатка от деления его последней цифры $b$ на 5.

• 14: последняя цифра 4. Остаток от деления 4 на 5 равен 4. $14 = 5 \cdot 2 + 4$.
• 61: последняя цифра 1. Остаток от деления 1 на 5 равен 1. $61 = 5 \cdot 12 + 1$.
• 86: последняя цифра 6. Остаток от деления 6 на 5 равен 1. $86 = 5 \cdot 17 + 1$.
• 235: последняя цифра 5. Остаток от деления 5 на 5 равен 0. $235 = 5 \cdot 47 + 0$.
• 2 658: последняя цифра 8. Остаток от деления 8 на 5 равен 3. $2\ 658 = 5 \cdot 531 + 3$.
• 54 769: последняя цифра 9. Остаток от деления 9 на 5 равен 4. $54\ 769 = 5 \cdot 10953 + 4$.
• 687 903: последняя цифра 3. Остаток от деления 3 на 5 равен 3. $687\ 903 = 5 \cdot 137580 + 3$.

Ответ: 4; 1; 1; 0; 3; 4; 3.

524. Найдите остаток при делении на 100 числа: 106; 202; 421; 836; 2 764; 100 098; 672 305; 1 306 579; 562 400.

Для нахождения остатка от деления целого числа на 100 необходимо рассмотреть число, образованное двумя последними цифрами данного числа. Это число и будет являться остатком. Любое целое число $N$ можно представить в виде $N = 100 \cdot q + r$, где $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток от деления ($0 \le r < 100$). Остаток $r$ как раз и равен числу, составленному из двух последних цифр числа $N$.

106

Две последние цифры числа 106 образуют число 6. Следовательно, остаток от деления 106 на 100 равен 6. Математически это можно записать так: $106 = 1 \cdot 100 + 6$.

Ответ: 6

202

Две последние цифры числа 202 образуют число 2. Следовательно, остаток от деления 202 на 100 равен 2. Математически это можно записать так: $202 = 2 \cdot 100 + 2$.

Ответ: 2

421

Две последние цифры числа 421 образуют число 21. Следовательно, остаток от деления 421 на 100 равен 21. Математически это можно записать так: $421 = 4 \cdot 100 + 21$.

Ответ: 21

836

Две последние цифры числа 836 образуют число 36. Следовательно, остаток от деления 836 на 100 равен 36. Математически это можно записать так: $836 = 8 \cdot 100 + 36$.

Ответ: 36

2 764

Две последние цифры числа 2 764 образуют число 64. Следовательно, остаток от деления 2 764 на 100 равен 64. Математически это можно записать так: $2764 = 27 \cdot 100 + 64$.

Ответ: 64

100 098

Две последние цифры числа 100 098 образуют число 98. Следовательно, остаток от деления 100 098 на 100 равен 98. Математически это можно записать так: $100098 = 1000 \cdot 100 + 98$.

Ответ: 98

672 305

Две последние цифры числа 672 305 образуют число 5. Следовательно, остаток от деления 672 305 на 100 равен 5. Математически это можно записать так: $672305 = 6723 \cdot 100 + 5$.

Ответ: 5

1 306 579

Две последние цифры числа 1 306 579 образуют число 79. Следовательно, остаток от деления 1 306 579 на 100 равен 79. Математически это можно записать так: $1306579 = 13065 \cdot 100 + 79$.

Ответ: 79

562 400

Две последние цифры числа 562 400 образуют число 00, то есть 0. Следовательно, остаток от деления 562 400 на 100 равен 0, так как число делится на 100 без остатка. Математически это можно записать так: $562400 = 5624 \cdot 100 + 0$.

Ответ: 0

525. Запишите остатки, которые можно получить при делении на:

1) 7;

2) 13;

3) 24.

1) 7

При делении любого целого числа на 7 остаток должен быть неотрицательным и строго меньше самого делителя, то есть 7. Формально, если a — делимое, 7 — делитель, q — неполное частное, а r — остаток, то $a = 7q + r$, где $0 \le r < 7$.

Следовательно, возможными остатками являются все целые числа от 0 до 6.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2) 13

Аналогично предыдущему пункту, при делении на 13 остаток r должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 13$. Это означает, что остаток может быть любым целым числом, начиная с 0 и заканчивая 12.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

3) 24

При делении на 24 остаток r должен быть в пределах $0 \le r < 24$. Таким образом, возможные остатки — это все целые числа от 0 до 23 включительно.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23.

526. Запишите остатки, которые можно получить при делении на:

1) 5;

2) 19.

1) При делении любого целого числа $a$ на натуральное число $n$ (делитель), результат можно представить в виде:
$a = q \cdot n + r$
где $q$ — это неполное частное, а $r$ — это остаток.
По определению деления с остатком, остаток $r$ всегда является целым неотрицательным числом, которое строго меньше делителя $n$. Это можно записать в виде неравенства:
$0 \le r < n$
В данном случае деление производится на число 5, то есть $n = 5$.
Следовательно, возможные остатки $r$ должны удовлетворять условию $0 \le r < 5$.
Целыми числами, удовлетворяющими этому условию, являются 0, 1, 2, 3 и 4.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

2) Используя то же правило, что и в предыдущем пункте, при делении на число 19, делителем является $n = 19$.
Возможные остатки $r$ должны удовлетворять неравенству:
$0 \le r < 19$
Следовательно, возможными остатками являются все целые числа от 0 до 18 включительно.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

527. Блокнот стоит 130 р. Сколько блокнотов можно купить на 700 р.?

Чтобы узнать, сколько блокнотов можно купить на 700 рублей, необходимо общую сумму денег разделить на цену одного блокнота. Поскольку количество блокнотов может быть только целым числом, нам нужно найти целую часть от деления.

Дано:

• Общая сумма денег: 700 р.
• Цена одного блокнота: 130 р.

Выполним деление:

$700 \div 130$

Для удобства можно сократить дробь на 10:

$70 \div 13 = 5$ с остатком.

Проверим, сколько стоят 5 блокнотов:

$5 \times 130 = 650$ р.

Эта сумма меньше, чем 700 р., значит, 5 блокнотов купить можно. Найдем сдачу:

$700 - 650 = 50$ р.

На оставшиеся 50 рублей купить еще один блокнот за 130 рублей невозможно. Таким образом, максимальное количество блокнотов, которое можно купить, – 5.

Ответ: 5.

528. На один грузовик можно нагрузить 5 т песка. Какое наименьшее количество требуется таких грузовиков, чтобы перевезти 42 т песка?

Чтобы определить наименьшее количество грузовиков, необходимое для перевозки всего песка, нужно разделить общую массу песка на грузоподъемность одного грузовика.

Общая масса песка, которую нужно перевезти, составляет 42 тонны.

Один грузовик может перевезти 5 тонн песка.

Найдем количество грузовиков, разделив общую массу на грузоподъемность одного:

$42 \div 5 = 8.4$

Поскольку количество грузовиков должно быть целым числом, мы не можем использовать 8.4 грузовика. Если мы возьмем 8 грузовиков, они смогут перевезти только:

$8 \times 5 = 40$ тонн

При этом останется еще $42 - 40 = 2$ тонны песка, которые также необходимо перевезти. Для этих оставшихся 2 тонн потребуется еще один, девятый, грузовик.

Следовательно, для перевозки 42 тонн песка потребуется 9 грузовиков.

Ответ: 9.

529. В один ящик помещается 20 кг яблок. Какое наименьшее количество надо таких ящиков, чтобы разложить в них 176 кг яблок?

Чтобы найти наименьшее количество ящиков, необходимое для того, чтобы разложить 176 кг яблок, нужно общую массу яблок разделить на вместимость одного ящика.

Выполним деление:
$176 \div 20 = 8.8$

Поскольку количество ящиков может быть только целым числом, и нам нужно упаковать все яблоки, полученный результат необходимо округлить в большую сторону до ближайшего целого числа.

Восемь ящиков вместят $8 \times 20 = 160$ кг яблок.
Останется еще $176 - 160 = 16$ кг яблок.
Для этих 16 кг потребуется еще один, девятый, ящик.

Следовательно, всего необходимо 9 ящиков.

Ответ: 9.

530. Заполните таблицу.

Первая строка
В этой строке дано делимое 22 и делитель 6. Необходимо найти неполное частное и остаток. Для этого выполним деление с остатком.
Найдем наибольшее целое число, которое при умножении на 6 даст результат, не превышающий 22. Это число 3, так как $3 \cdot 6 = 18$, а $4 \cdot 6 = 24$ (что уже больше 22). Таким образом, неполное частное равно 3.
Теперь вычислим остаток. Остаток — это разность между делимым и произведением делителя на неполное частное.
Остаток = $22 - (6 \cdot 3) = 22 - 18 = 4$.
Проверим условие: остаток должен быть меньше делителя ($4 < 6$). Условие выполняется.
Ответ: Неполное частное = 3, Остаток = 4.

Вторая строка
Здесь дано делимое 45 и делитель 7. Найдем неполное частное и остаток.
Найдем наибольшее целое число, которое при умножении на 7 не превысит 45. Это число 6, так как $6 \cdot 7 = 42$, а $7 \cdot 7 = 49$ (что больше 45). Неполное частное равно 6.
Вычислим остаток:
Остаток = $45 - (7 \cdot 6) = 45 - 42 = 3$.
Проверим условие: $3 < 7$. Условие выполняется.
Ответ: Неполное частное = 6, Остаток = 3.

Третья строка
В этой строке известны делитель 5, неполное частное 2 и остаток 3. Необходимо найти делимое.
Воспользуемся формулой для нахождения делимого: Делимое = (Делитель $\cdot$ Неполное частное) + Остаток.
Подставим известные значения в формулу:
Делимое = $(5 \cdot 2) + 3 = 10 + 3 = 13$.
Ответ: Делимое = 13.

Четвертая строка
Здесь известны делитель 8, неполное частное 3 и остаток 5. Найдем делимое по той же формуле.
Делимое = (Делитель $\cdot$ Неполное частное) + Остаток.
Подставим известные значения:
Делимое = $(8 \cdot 3) + 5 = 24 + 5 = 29$.
Ответ: Делимое = 29.