Номер 523, страница 133 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

523. 1) Найдите остаток при делении на 10 числа: 31; 47; 53; 148; 1 596; 67 389; 240 750.

2) Найдите остаток при делении на 5 числа: 14; 61; 86; 235; 2 658; 54 769; 687 903.

1) Найдите остаток при делении на 10 числа: 31; 47; 53; 148; 1 596; 67 389; 240 750.

Чтобы найти остаток от деления натурального числа на 10, достаточно посмотреть на последнюю цифру этого числа (цифру в разряде единиц). Эта цифра и будет остатком. Это следует из того, что любое число $N$ можно представить в виде $N = 10 \cdot q + r$, где $q$ — это число, состоящее из всех цифр, кроме последней, а $r$ — это последняя цифра (остаток), $0 \le r < 10$.

• 31: последняя цифра 1, значит остаток равен 1. $31 = 10 \cdot 3 + 1$.
• 47: последняя цифра 7, значит остаток равен 7. $47 = 10 \cdot 4 + 7$.
• 53: последняя цифра 3, значит остаток равен 3. $53 = 10 \cdot 5 + 3$.
• 148: последняя цифра 8, значит остаток равен 8. $148 = 10 \cdot 14 + 8$.
• 1 596: последняя цифра 6, значит остаток равен 6. $1\ 596 = 10 \cdot 159 + 6$.
• 67 389: последняя цифра 9, значит остаток равен 9. $67\ 389 = 10 \cdot 6738 + 9$.
• 240 750: последняя цифра 0, значит остаток равен 0. $240\ 750 = 10 \cdot 24075 + 0$.

Ответ: 1; 7; 3; 8; 6; 9; 0.

2) Найдите остаток при делении на 5 числа: 14; 61; 86; 235; 2 658; 54 769; 687 903.

Остаток от деления натурального числа на 5 совпадает с остатком от деления на 5 его последней цифры. Это происходит потому, что любое число можно представить в виде $N = 10a + b$, где $b$ — последняя цифра. Так как слагаемое $10a$ всегда делится на 5 без остатка (поскольку $10$ делится на $5$), остаток от деления всего числа $N$ на 5 зависит только от остатка от деления его последней цифры $b$ на 5.

• 14: последняя цифра 4. Остаток от деления 4 на 5 равен 4. $14 = 5 \cdot 2 + 4$.
• 61: последняя цифра 1. Остаток от деления 1 на 5 равен 1. $61 = 5 \cdot 12 + 1$.
• 86: последняя цифра 6. Остаток от деления 6 на 5 равен 1. $86 = 5 \cdot 17 + 1$.
• 235: последняя цифра 5. Остаток от деления 5 на 5 равен 0. $235 = 5 \cdot 47 + 0$.
• 2 658: последняя цифра 8. Остаток от деления 8 на 5 равен 3. $2\ 658 = 5 \cdot 531 + 3$.
• 54 769: последняя цифра 9. Остаток от деления 9 на 5 равен 4. $54\ 769 = 5 \cdot 10953 + 4$.
• 687 903: последняя цифра 3. Остаток от деления 3 на 5 равен 3. $687\ 903 = 5 \cdot 137580 + 3$.

Ответ: 4; 1; 1; 0; 3; 4; 3.