Страница 138 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

558. Составьте числовое выражение и найдите его значение:

1) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8;

$5^3 + 8^2$

2) разность квадратов чисел 6 и 2;

$6^2 - 2^2$

3) квадрат разности чисел 6 и 2;

$(6 - 2)^2$

4) разность куба числа 3 и квадрата числа 5.

$3^3 - 5^2$

1) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8;

Сначала составим числовое выражение. Куб числа 5 – это число 5, возведенное в третью степень, то есть $5^3$. Квадрат числа 8 – это число 8, возведенное во вторую степень, то есть $8^2$. Сумма этих двух значений записывается как $5^3 + 8^2$.

Теперь найдем значение этого выражения, выполнив действия по порядку:
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
$8^2 = 8 \cdot 8 = 64$
$125 + 64 = 189$

Таким образом, $5^3 + 8^2 = 189$.

Ответ: 189.

2) разность квадратов чисел 6 и 2;

Квадрат числа 6 – это $6^2$. Квадрат числа 2 – это $2^2$. Разность квадратов этих чисел означает, что нужно из квадрата первого числа вычесть квадрат второго. Получаем выражение: $6^2 - 2^2$.

Найдем его значение:
$6^2 - 2^2 = 36 - 4 = 32$.

Ответ: 32.

3) квадрат разности чисел 6 и 2;

Сначала находим разность чисел 6 и 2: $(6 - 2)$. Затем результат этой разности нужно возвести в квадрат. Получаем выражение: $(6 - 2)^2$.

Найдем его значение:
$(6 - 2)^2 = 4^2 = 16$.

Ответ: 16.

4) разность куба числа 3 и квадрата числа 5.

Куб числа 3 – это $3^3$. Квадрат числа 5 – это $5^2$. Разность этих значений записывается как $3^3 - 5^2$.

Найдем значение этого выражения:
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$
$27 - 25 = 2$

Таким образом, $3^3 - 5^2 = 2$.

Ответ: 2.

559. Составьте числовое выражение и найдите его значение:

1) куб разности чисел 9 и 8; $(9 - 8)^3$

2) квадрат суммы чисел 8 и 7; $(8 + 7)^2$

3) сумма квадратов чисел 8 и 7; $8^2 + 7^2$

4) разность кубов чисел 4 и 1. $4^3 - 1^3$

1) куб разности чисел 9 и 8

Числовое выражение для "разности чисел 9 и 8" — это $(9 - 8)$.
Куб этого выражения записывается как $(9 - 8)^3$.
Найдем его значение:
$(9 - 8)^3 = 1^3 = 1$.
Ответ: 1

2) квадрат суммы чисел 8 и 7

Числовое выражение для "суммы чисел 8 и 7" — это $(8 + 7)$.
Квадрат этого выражения записывается как $(8 + 7)^2$.
Найдем его значение:
$(8 + 7)^2 = 15^2 = 225$.
Ответ: 225

3) сумма квадратов чисел 8 и 7

"Квадрат числа 8" — это $8^2$. "Квадрат числа 7" — это $7^2$.
Сумма квадратов этих чисел записывается как $8^2 + 7^2$.
Найдем ее значение:
$8^2 + 7^2 = 64 + 49 = 113$.
Ответ: 113

4) разность кубов чисел 4 и 1

"Куб числа 4" — это $4^3$. "Куб числа 1" — это $1^3$.
Разность кубов этих чисел записывается как $4^3 - 1^3$.
Найдем ее значение:
$4^3 - 1^3 = 64 - 1 = 63$.
Ответ: 63

560. Решите уравнение:

1) $7(x - 19) = 133;$

2) $9(213 - 2x) = 927;$

3) $1344 : (x + 26) = 32;$

4) $384 : (51 - 5x) = 24.$

1)
Дано уравнение: $7(x - 19) = 133$.
В этом уравнении $(x - 19)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение (133) разделить на известный множитель (7).
$x - 19 = 133 : 7$
$x - 19 = 19$
Теперь $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти его, нужно к разности (19) прибавить вычитаемое (19).
$x = 19 + 19$
$x = 38$
Проверка: $7(38 - 19) = 7 \cdot 19 = 133$. Равенство верно.
Ответ: $x = 38$.

2)
Дано уравнение: $9(213 - 2x) = 927$.
Найдём неизвестный множитель $(213 - 2x)$, разделив произведение (927) на известный множитель (9).
$213 - 2x = 927 : 9$
$213 - 2x = 103$
Теперь $2x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти его, нужно из уменьшаемого (213) вычесть разность (103).
$2x = 213 - 103$
$2x = 110$
Найдём $x$, разделив 110 на 2.
$x = 110 : 2$
$x = 55$
Проверка: $9(213 - 2 \cdot 55) = 9(213 - 110) = 9 \cdot 103 = 927$. Равенство верно.
Ответ: $x = 55$.

3)
Дано уравнение: $1344 : (x + 26) = 32$.
В этом уравнении $(x + 26)$ является неизвестным делителем. Чтобы его найти, нужно делимое (1344) разделить на частное (32).
$x + 26 = 1344 : 32$
$x + 26 = 42$
Теперь $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти его, нужно из суммы (42) вычесть известное слагаемое (26).
$x = 42 - 26$
$x = 16$
Проверка: $1344 : (16 + 26) = 1344 : 42 = 32$. Равенство верно.
Ответ: $x = 16$.

4)
Дано уравнение: $384 : (51 - 5x) = 24$.
Найдём неизвестный делитель $(51 - 5x)$, разделив делимое (384) на частное (24).
$51 - 5x = 384 : 24$
$51 - 5x = 16$
Теперь $5x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти его, нужно из уменьшаемого (51) вычесть разность (16).
$5x = 51 - 16$
$5x = 35$
Найдём $x$, разделив 35 на 5.
$x = 35 : 5$
$x = 7$
Проверка: $384 : (51 - 5 \cdot 7) = 384 : (51 - 35) = 384 : 16 = 24$. Равенство верно.
Ответ: $x = 7$.

561. Для приготовления десяти порций мороженого используют 200 г сахара. На сколько порций мороженого хватит 500 г сахара?

Для того чтобы определить, на сколько порций мороженого хватит 500 г сахара, сначала нужно вычислить, сколько сахара требуется для приготовления одной порции.

Согласно условию, на 10 порций мороженого используют 200 г сахара. Рассчитаем расход сахара на одну порцию:

$200 \text{ г} \div 10 \text{ порций} = 20 \text{ г/порция}$

Таким образом, для приготовления одной порции мороженого необходимо 20 г сахара.

Теперь, зная этот расход, можно рассчитать, сколько порций можно приготовить из 500 г сахара. Для этого разделим общее количество имеющегося сахара на расход на одну порцию:

$500 \text{ г} \div 20 \text{ г/порция} = 25 \text{ порций}$

Также эту задачу можно решить с помощью пропорции. Пусть $x$ — искомое количество порций. Составим пропорцию:

$\frac{10 \text{ порций}}{200 \text{ г}} = \frac{x \text{ порций}}{500 \text{ г}}$

Из этой пропорции найдем $x$:

$x = \frac{10 \times 500}{200} = \frac{5000}{200} = 25$

Ответ: 25 порций.

562. Вася задумал трёхзначное число, у которого с каждым из чисел 652, 153 и 673 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумал Вася?

Пусть искомое трёхзначное число равно $N = \overline{abc}$, где $a$ - цифра сотен, $b$ - цифра десятков, $c$ - цифра единиц.

Даны три числа: 652, 153 и 673. По условию, у числа $N$ с каждым из этих чисел совпадает ровно одна цифра в том же разряде.

Рассмотрим цифры в каждом разряде для данных чисел:

• Разряд сотен: 6, 1, 6
• Разряд десятков: 5, 5, 7
• Разряд единиц: 2, 3, 3

Применим метод исключения.

1. Предположим, что цифра сотен искомого числа $a = 6$. Тогда у числа $N$ совпадает разряд сотен с числами 652 и 673.
- Из условия совпадения с 652 следует, что $b \neq 5$ и $c \neq 2$.
- Из условия совпадения с 673 следует, что $b \neq 7$ и $c \neq 3$.
Теперь проверим условие для числа 153. С ним тоже должно быть ровно одно совпадение.
- Разряд сотен: $a=6$, в 153 - 1. Не совпадают.
- Разряд десятков: мы установили, что $b \neq 5$. Не совпадают.
- Разряд единиц: мы установили, что $c \neq 3$. Но для выполнения условия (одно совпадение) необходимо, чтобы $c=3$. Получаем противоречие.
Следовательно, наше предположение неверно, и $a \neq 6$.

2. Предположим, что цифра десятков искомого числа $b = 5$. Тогда у числа $N$ совпадает разряд десятков с числами 652 и 153.
- Из условия совпадения с 652 следует, что $a \neq 6$ и $c \neq 2$.
- Из условия совпадения с 153 следует, что $a \neq 1$ и $c \neq 3$.
Теперь проверим условие для числа 673.
- Разряд сотен: мы установили, что $a \neq 6$. Не совпадают.
- Разряд десятков: $b=5$, в 673 - 7. Не совпадают.
- Разряд единиц: мы установили, что $c \neq 3$. Но для выполнения условия необходимо, чтобы $c=3$. Противоречие.
Следовательно, $b \neq 5$.

3. Предположим, что цифра единиц искомого числа $c = 3$. Тогда у числа $N$ совпадает разряд единиц с числами 153 и 673.
- Из условия совпадения с 153 следует, что $a \neq 1$ и $b \neq 5$.
- Из условия совпадения с 673 следует, что $a \neq 6$ и $b \neq 7$.
Теперь проверим условие для числа 652.
- Разряд сотен: мы установили, что $a \neq 6$. Не совпадают.
- Разряд десятков: мы установили, что $b \neq 5$. Не совпадают.
- Разряд единиц: $c=3$, в 652 - 2. Не совпадают.
Получается, что с числом 652 нет ни одного совпадения, что противоречит условию.
Следовательно, $c \neq 3$.

Теперь, зная неверные варианты, мы можем найти верные цифры:
- Для разряда сотен возможные цифры из данных чисел - 1 и 6. Так как мы доказали, что $a \neq 6$, значит, $a=1$. Это совпадение с числом 153.
- Для разряда десятков возможные цифры - 5 и 7. Так как $b \neq 5$, значит, $b=7$. Это совпадение с числом 673.
- Для разряда единиц возможные цифры - 2 и 3. Так как $c \neq 3$, значит, $c=2$. Это совпадение с числом 652.

Таким образом, искомое число $N = 172$.

Проверим найденное число 172:
- С числом 652: совпадает только цифра единиц (2). Условие выполнено.
- С числом 153: совпадает только цифра сотен (1). Условие выполнено.
- С числом 673: совпадает только цифра десятков (7). Условие выполнено.

Все условия задачи соблюдены.

Ответ: 172

563. В очереди за билетами в цирк стояли Миша, Наташа, Петя, Дима и Маша. Маша купила билет раньше, чем Миша, но позже, чем Наташа. Петя и Наташа не стояли рядом, а Дима не был рядом ни с Наташей, ни с Машей, ни с Петей. Кто за кем стоял в очереди?

Кто за кем стоял в очереди?

Для решения этой логической задачи проанализируем все данные условия последовательно. В очереди стоят пять человек: Миша, Наташа, Петя, Дима и Маша.

1. Из условия «Маша купила билет раньше, чем Миша, но позже, чем Наташа» мы можем определить относительный порядок этих троих. Наташа была раньше Маши, а Маша — раньше Миши. Схематично это выглядит так: Наташа $ \rightarrow $ Маша $ \rightarrow $ Миша. Это означает, что в очереди Наташа занимает место с меньшим номером, чем Маша, а Маша — с меньшим номером, чем Миша.

2. Рассмотрим условие «Дима не был рядом ни с Наташей, ни с Машей, ни с Петей». Из пяти человек в очереди Диме запрещено стоять рядом с тремя. Следовательно, единственным, кто мог стоять рядом с Димой, был Миша. Такая ситуация, когда у человека есть только один возможный сосед, может возникнуть только на краю очереди. Это дает нам два возможных варианта расположения Димы и Миши:

• Дима стоит первым, а Миша — вторым.
• Миша стоит четвертым, а Дима — пятым (последним).

Первый вариант (Дима, Миша, ...) противоречит первому условию (Наташа $ \rightarrow $ Маша $ \rightarrow $ Миша), так как перед Мишей должны стоять как минимум два человека (Наташа и Маша), а в этом случае перед ним только одно место. Значит, правильным является второй вариант: очередь заканчивается парой Миша, Дима.
Текущий вид очереди: [1-е место], [2-е место], [3-е место], Миша, Дима.

3. Теперь нам нужно расставить оставшихся людей (Наташу, Машу и Петю) на первые три места. Вспомним, что Наташа должна стоять раньше Маши. Это дает нам три возможных комбинации для первых трех мест:

• 1) Наташа, Маша, Петя
• 2) Наташа, Петя, Маша
• 3) Петя, Наташа, Маша

4. Применим последнее условие: «Петя и Наташа не стояли рядом». Проверим наши три комбинации:

• В комбинации №1 (Наташа, Маша, Петя) Наташа и Петя не являются соседями. Этот вариант нам подходит.
• В комбинации №2 (Наташа, Петя, Маша) Наташа и Петя стоят рядом. Этот вариант не подходит.
• В комбинации №3 (Петя, Наташа, Маша) Петя и Наташа также стоят рядом. Этот вариант не подходит.

Таким образом, мы нашли единственно верный порядок для первых трех человек. Объединив все наши выводы, мы получаем полную последовательность людей в очереди.

Ответ: Люди в очереди стояли в следующем порядке: Наташа, за ней Маша, затем Петя, потом Миша и последним был Дима.