Номер 562, страница 138 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Степень числа. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 562, страница 138.

562. Вася задумал трёхзначное число, у которого с каждым из чисел 652, 153 и 673 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумал Вася?

Пусть искомое трёхзначное число равно $N = \overline{abc}$, где $a$ - цифра сотен, $b$ - цифра десятков, $c$ - цифра единиц.

Даны три числа: 652, 153 и 673. По условию, у числа $N$ с каждым из этих чисел совпадает ровно одна цифра в том же разряде.

Рассмотрим цифры в каждом разряде для данных чисел:

• Разряд сотен: 6, 1, 6
• Разряд десятков: 5, 5, 7
• Разряд единиц: 2, 3, 3

Применим метод исключения.

1. Предположим, что цифра сотен искомого числа $a = 6$. Тогда у числа $N$ совпадает разряд сотен с числами 652 и 673.
- Из условия совпадения с 652 следует, что $b \neq 5$ и $c \neq 2$.
- Из условия совпадения с 673 следует, что $b \neq 7$ и $c \neq 3$.
Теперь проверим условие для числа 153. С ним тоже должно быть ровно одно совпадение.
- Разряд сотен: $a=6$, в 153 - 1. Не совпадают.
- Разряд десятков: мы установили, что $b \neq 5$. Не совпадают.
- Разряд единиц: мы установили, что $c \neq 3$. Но для выполнения условия (одно совпадение) необходимо, чтобы $c=3$. Получаем противоречие.
Следовательно, наше предположение неверно, и $a \neq 6$.

2. Предположим, что цифра десятков искомого числа $b = 5$. Тогда у числа $N$ совпадает разряд десятков с числами 652 и 153.
- Из условия совпадения с 652 следует, что $a \neq 6$ и $c \neq 2$.
- Из условия совпадения с 153 следует, что $a \neq 1$ и $c \neq 3$.
Теперь проверим условие для числа 673.
- Разряд сотен: мы установили, что $a \neq 6$. Не совпадают.
- Разряд десятков: $b=5$, в 673 - 7. Не совпадают.
- Разряд единиц: мы установили, что $c \neq 3$. Но для выполнения условия необходимо, чтобы $c=3$. Противоречие.
Следовательно, $b \neq 5$.

3. Предположим, что цифра единиц искомого числа $c = 3$. Тогда у числа $N$ совпадает разряд единиц с числами 153 и 673.
- Из условия совпадения с 153 следует, что $a \neq 1$ и $b \neq 5$.
- Из условия совпадения с 673 следует, что $a \neq 6$ и $b \neq 7$.
Теперь проверим условие для числа 652.
- Разряд сотен: мы установили, что $a \neq 6$. Не совпадают.
- Разряд десятков: мы установили, что $b \neq 5$. Не совпадают.
- Разряд единиц: $c=3$, в 652 - 2. Не совпадают.
Получается, что с числом 652 нет ни одного совпадения, что противоречит условию.
Следовательно, $c \neq 3$.

Теперь, зная неверные варианты, мы можем найти верные цифры:
- Для разряда сотен возможные цифры из данных чисел - 1 и 6. Так как мы доказали, что $a \neq 6$, значит, $a=1$. Это совпадение с числом 153.
- Для разряда десятков возможные цифры - 5 и 7. Так как $b \neq 5$, значит, $b=7$. Это совпадение с числом 673.
- Для разряда единиц возможные цифры - 2 и 3. Так как $c \neq 3$, значит, $c=2$. Это совпадение с числом 652.

Таким образом, искомое число $N = 172$.

Проверим найденное число 172:
- С числом 652: совпадает только цифра единиц (2). Условие выполнено.
- С числом 153: совпадает только цифра сотен (1). Условие выполнено.
- С числом 673: совпадает только цифра десятков (7). Условие выполнено.

Все условия задачи соблюдены.

Ответ: 172