Страница 123 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Что показывает частное двух чисел?

Частное — это результат, который получается при делении одного числа (делимого) на другое число (делитель). Частное показывает, каково соотношение между этими двумя числами.

Математически, если мы делим число $a$ (делимое) на число $b$ (делитель), то частное $c$ находится по формуле:
$a \div b = c$, где $b \neq 0$.

Частное может иметь несколько интерпретаций:

Отношение величин
Частное показывает, во сколько раз делимое больше или меньше делителя.
Пример 1: Найдём частное чисел $12$ и $4$.
$12 \div 4 = 3$
Частное равно $3$. Это означает, что число $12$ в $3$ раза больше числа $4$.
Пример 2: Найдём частное чисел $5$ и $10$.
$5 \div 10 = 0.5$
Частное равно $0.5$. Это означает, что число $5$ составляет половину ($0.5$) от числа $10$.

Размер одной части при делении целого
Если делимое — это некая общая величина, а делитель — количество равных частей, на которые её нужно разделить, то частное покажет размер одной такой части.
Пример: Если $20$ конфет нужно разделить поровну между $5$ детьми, то частное покажет, сколько конфет получит каждый ребёнок.
$20 \div 5 = 4$
Каждый ребёнок получит по $4$ конфеты.

Ответ: Частное двух чисел показывает, во сколько раз делимое больше (или меньше) делителя, либо какой будет величина одной части, если разделить делимое на количество частей, равное делителю.

4. На какое число делить нельзя?

В математике нельзя делить на ноль (0).

Объяснение этого правила связано с определением операции деления как действия, обратного умножению. Если мы говорим, что число $a$ (делимое) разделить на число $b$ (делитель) равно числу $c$ (частное), то это значит, что $c$, умноженное на $b$, должно быть равно $a$.

В виде формулы это записывается так: $a \div b = c \Leftrightarrow c \times b = a$.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если мы попробуем в качестве делителя $b$ использовать ноль:

$a \div 0 = c \Leftrightarrow c \times 0 = a$

Здесь возникает две ситуации в зависимости от значения делимого $a$:

1. Случай 1: Делимое $a$ не равно нулю (например, $a=5$).
   Уравнение принимает вид $c \times 0 = 5$. Однако мы знаем, что любое число при умножении на ноль даёт в результате ноль. Таким образом, мы приходим к противоречию $0 = 5$. Это неверно, а значит, такого числа $c$, которое удовлетворяло бы этому условию, не существует.

2. Случай 2: Делимое $a$ равно нулю ($a=0$).
   Уравнение принимает вид $c \times 0 = 0$. Это равенство верно для абсолютно любого числа $c$. Результатом может быть и 1, и 5, и -24, и любое другое число. Так как результат не является единственным и определённым, такая операция не имеет смысла в арифметике и называется "неопределённостью".

Поскольку деление на ноль либо приводит к противоречию, либо не даёт единственного результата, эта операция запрещена в математике.

Ответ: Нельзя делить на ноль (0).

5. Чему равно частное от деления числа $0$ на любое натуральное число?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, давайте вспомним определение операции деления и что такое натуральные числа.

Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете предметов: $1, 2, 3, 4, 5, ...$ и так далее. Важно отметить, что число 0 не относится к натуральным числам.

Деление является математической операцией, обратной умножению. Найти частное от деления числа $a$ (делимое) на число $b$ (делитель) означает найти такое число $c$ (частное), которое при умножении на делитель $b$ даст в результате делимое $a$. Это можно записать в виде формулы: $a \div b = c$ равносильно $c \times b = a$.

В нашей задаче:

• Делимое $a = 0$.
• Делитель $b$ — это любое натуральное число. Обозначим его буквой $n$, где $n$ может быть $1, 2, 3, ...$ и так далее. Поскольку $n$ — натуральное число, оно не равно нулю ($n \neq 0$).

Мы ищем частное $c$, такое что $0 \div n = c$.

Используя определение деления, мы можем переписать это выражение в виде уравнения умножения: $c \times n = 0$.

Произведение двух чисел равно нулю только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Мы знаем, что наш делитель $n$ (любое натуральное число) по определению не равен нулю. Следовательно, для того чтобы произведение $c \times n$ было равно нулю, множитель $c$ обязательно должен быть равен нулю.

Таким образом, при делении нуля на любое натуральное число частное всегда будет равно нулю.

Ответ: 0

6. Чему равно частное $a : a$, где $a \neq 0$? $a : 1$?

a : a, где a ≠ 0
Частное от деления любого числа, не равного нулю, на само себя всегда равно единице. Это одно из основных свойств деления. Выражение $a : a$ можно записать в виде дроби $\frac{a}{a}$. Так как числитель и знаменатель равны, и знаменатель не равен нулю ($a \neq 0$), значение дроби равно 1.
$a : a = 1$ (при $a \neq 0$)
Ответ: 1

a : 1
При делении любого числа на единицу частное всегда равно этому числу. Это также является одним из основных свойств деления. Выражение $a : 1$ означает, сколько раз единица содержится в числе $a$, что равно самому числу $a$.
$a : 1 = a$
Ответ: a

7. Как найти неизвестный множитель?

Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.

Это правило вытекает из определения операции деления, которая является обратной операции умножения. Рассмотрим общее уравнение умножения:

$a \cdot b = c$

В этом уравнении:

• $a$ – первый множитель;
• $b$ – второй множитель;
• $c$ – произведение.

Предположим, что один из множителей, например $a$, неизвестен. Обозначим его как $x$:

$x \cdot b = c$

Чтобы найти $x$, нужно выполнить обратное действие, то есть разделить произведение $c$ на известный множитель $b$:

$x = \frac{c}{b}$ или $x = c \div b$

Пример:

Необходимо решить уравнение: $5 \cdot x = 35$.

Здесь:

• $5$ – известный множитель;
• $x$ – неизвестный множитель;
• $35$ – произведение.

Применяем правило: делим произведение на известный множитель.

$x = 35 \div 5$

$x = 7$

Для проверки подставим найденное значение в исходное уравнение:

$5 \cdot 7 = 35$

$35 = 35$

Равенство верно, следовательно, неизвестный множитель найден правильно.

Ответ: Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

8. Как найти неизвестное делимое?

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно знать, как связаны между собой компоненты деления: делимое (число, которое делят), делитель (число, на которое делят) и частное (результат деления). Их связь можно описать формулой $a \div b = c$.

Основное правило гласит: чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель. В виде формулы это выглядит так: $a = c \times b$.

Например, в уравнении $x \div 8 = 5$, чтобы найти неизвестное делимое $x$, нужно частное (5) умножить на делитель (8). Получаем $x = 5 \times 8 = 40$.

Если деление происходит с остатком, то правило немного дополняется. В этом случае, чтобы найти неизвестное делимое, нужно неполное частное умножить на делитель и к полученному произведению прибавить остаток ($r$). Формула будет такой: $a = (c \times b) + r$.

Например, если нам известно, что при делении $x$ на 6 получилось частное 7 и остаток 3 ($x \div 6 = 7 \text{ (ост. 3)}$), то для нахождения $x$ нужно $7$ умножить на $6$ и прибавить $3$. Получаем $x = (7 \times 6) + 3 = 42 + 3 = 45$.

Ответ: Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель. Если при делении был остаток, то его следует прибавить к полученному произведению.

9. Как найти неизвестный делитель?

Для того чтобы найти неизвестный делитель, нужно знать компоненты действия деления и правило, которое их связывает.

В любом выражении с делением есть три компонента:

$ \text{Делимое} \div \text{Делитель} = \text{Частное} $

Или в виде математической записи, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, а $c$ — частное:

$ a \div b = c $

Правило для нахождения неизвестного делителя звучит так:

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Используя переменные, это правило можно записать в виде формулы:

$ b = a \div c $

Рассмотрим на примере.

Решим уравнение: $ 45 \div x = 5 $

1. Определим компоненты:
   • Делимое (то, что делят) = 45
   • Делитель (то, на что делят) = $x$ (неизвестен)
   • Частное (результат) = 5
2. Применим правило:
   Чтобы найти неизвестный делитель ($x$), нужно делимое (45) разделить на частное (5).
3. Вычислим:

   $ x = 45 \div 5 $

   $ x = 9 $

4. Проверим результат:
   Подставим найденное значение $x=9$ в исходное уравнение:

   $ 45 \div 9 = 5 $

   $ 5 = 5 $

   Равенство верное, значит, решение найдено правильно.

Ответ: Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.

1. Заполните цепочку вычислений:

$324 \xrightarrow{:4} \circ \xrightarrow{:3} \circ \xrightarrow{:9} \circ \xrightarrow{:1} \square$

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить все указанные математические действия, начиная с числа 324.

Шаг 1: Деление на 4

Первым действием нужно разделить начальное число 324 на 4.

$324 : 4 = 81$

Таким образом, в первый пустой кружок вписываем число 81.

Шаг 2: Деление на 3

Далее, результат предыдущего вычисления, число 81, делим на 3.

$81 : 3 = 27$

Во второй пустой кружок вписываем число 27.

Шаг 3: Деление на 9

Теперь результат второго шага, число 27, делим на 9.

$27 : 9 = 3$

В третий пустой кружок вписываем число 3.

Шаг 4: Деление на 1

В последнем действии результат третьего шага, число 3, делим на 1. Деление любого числа на 1 даёт само это число.

$3 : 1 = 3$

В конечный квадрат вписываем число 3.

В результате вся цепочка вычислений заполнена:

324 → (:4) → 81 → (:3) → 27 → (:9) → 3 → (:1) → 3

Ответ: Промежуточные значения в кружках: 81, 27, 3. Конечное значение в квадрате: 3.

2. Выполните деление:

1) $432 \div 4$;

2) $609 \div 3$;

3) $3600 \div 6$;

4) $1500 \div 50$.

1) Чтобы выполнить деление 432 на 4, можно разложить число 432 на сумму удобных слагаемых, которые делятся на 4, например, 400 и 32.
$432 : 4 = (400 + 32) : 4$
Теперь применим распределительное свойство деления:
$(400 + 32) : 4 = 400 : 4 + 32 : 4$
Выполним деление каждого слагаемого:
$400 : 4 = 100$
$32 : 4 = 8$
Сложим полученные результаты:
$100 + 8 = 108$
Ответ: 108

2) Для деления 609 на 3, представим число 609 как сумму слагаемых 600 и 9.
$609 : 3 = (600 + 9) : 3$
Разделим каждое слагаемое на 3:
$600 : 3 = 200$
$9 : 3 = 3$
Сложим результаты:
$200 + 3 = 203$
Ответ: 203

3) Чтобы разделить 3600 на 6, можно сначала разделить 36 на 6, а затем учесть нули.
$3600 : 6 = (36 \times 100) : 6$
Мы можем поменять порядок действий:
$(36 : 6) \times 100$
Выполним деление в скобках:
$6 \times 100 = 600$
Ответ: 600

4) При делении 1500 на 50, мы можем упростить задачу, разделив и делимое, и делитель на 10. Это эквивалентно сокращению по одному нулю в каждом числе.
$1500 : 50 = 150 : 5$
Теперь разделить 150 на 5 проще. Мы знаем, что $15 : 5 = 3$.
Так как у нас было число 150 (с одним нулем), добавляем этот ноль к результату:
$150 : 5 = 30$
Ответ: 30

3. Укажите среди данных произведений наибольшее:

1) $239 \cdot 4 \cdot 25$;

2) $239 \cdot 20 \cdot 4$;

3) $10 \cdot 239 \cdot 10$;

4) $239 \cdot 10 \cdot 12$.

Чтобы определить, какое из произведений является наибольшим, можно найти значение каждого из них. Однако, можно заметить, что во всех четырех выражениях есть общий множитель 239. Так как 239 — положительное число, наибольшим будет то произведение, у которого произведение остальных множителей будет самым большим.

Рассчитаем и сравним произведения для каждого случая.

1) $239 \cdot 4 \cdot 25$

Сначала вычислим произведение $4 \cdot 25$:

$4 \cdot 25 = 100$

Теперь умножим результат на 239:

$239 \cdot 100 = 23900$

2) $239 \cdot 20 \cdot 4$

Сначала вычислим произведение $20 \cdot 4$:

$20 \cdot 4 = 80$

Теперь умножим результат на 239:

$239 \cdot 80 = 19120$

3) $10 \cdot 239 \cdot 10$

Используя переместительное свойство умножения, перегруппируем множители: $239 \cdot 10 \cdot 10$.

Вычислим произведение $10 \cdot 10$:

$10 \cdot 10 = 100$

Теперь умножим результат на 239:

$239 \cdot 100 = 23900$

4) $239 \cdot 10 \cdot 12$

Сначала вычислим произведение $10 \cdot 12$:

$10 \cdot 12 = 120$

Теперь умножим результат на 239:

$239 \cdot 120 = 28680$

Теперь сравним полученные значения:

• 1) $23900$
• 2) $19120$
• 3) $23900$
• 4) $28680$

Сравнивая числа, видим, что $19120 < 23900 < 28680$.

Наибольшее значение — 28680, которое соответствует четвертому произведению.

Ответ: 4) $239 \cdot 10 \cdot 12$.

4. Догоняя Сашу, Слава бежит со скоростью $180 \text{ м/мин}$. Чему равна скорость Саши, если мальчики сближаются со скоростью $12 \text{ м/мин}$?

Это задача на относительную скорость при движении вдогонку. Обозначим скорость Славы как $v_{Слава}$ и скорость Саши как $v_{Саша}$.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
Скорость Славы: $v_{Слава} = 180$ м/мин.
Скорость, с которой мальчики сближаются (скорость сближения): $v_{сближения} = 12$ м/мин.

Когда один объект догоняет другой, они движутся в одном направлении. Скорость сближения в таком случае равна разности скоростей догоняющего и того, кого догоняют. Поскольку Слава догоняет Сашу, его скорость должна быть больше. Формула для нахождения скорости сближения:
$v_{сближения} = v_{Слава} - v_{Саша}$

Чтобы найти неизвестную скорость Саши ($v_{Саша}$), необходимо выразить ее из данной формулы. Для этого мы вычитаем скорость сближения из скорости Славы:
$v_{Саша} = v_{Слава} - v_{сближения}$

Теперь подставим известные значения в формулу и выполним вычисление:
$v_{Саша} = 180 \text{ м/мин} - 12 \text{ м/мин} = 168 \text{ м/мин}$

Ответ: скорость Саши равна 168 м/мин.

5. Два автомобиля двигаются навстречу друг другу, причём один из них со скоростью 74 км/ч. Чему равна скорость второго автомобиля, если они сближаются со скоростью 150 км/ч?

Когда два автомобиля движутся навстречу друг другу, их общая скорость сближения равна сумме их индивидуальных скоростей.

Обозначим скорость первого автомобиля как $v_1$, скорость второго автомобиля — как $v_2$, а скорость их сближения — как $v_{сбл}$.

Формула для скорости сближения выглядит так:

$v_{сбл} = v_1 + v_2$

Согласно условию задачи, нам известны следующие величины:
Скорость первого автомобиля: $v_1 = 74$ км/ч.
Скорость сближения автомобилей: $v_{сбл} = 150$ км/ч.

Чтобы найти скорость второго автомобиля ($v_2$), нужно из общей скорости сближения вычесть скорость первого автомобиля. Выразим $v_2$ из формулы:

$v_2 = v_{сбл} - v_1$

Теперь подставим известные значения и выполним расчёт:

$v_2 = 150 \text{ км/ч} - 74 \text{ км/ч} = 76 \text{ км/ч}$

Таким образом, скорость второго автомобиля равна 76 км/ч.

Ответ: 76 км/ч.

447. Известно, что $243 \cdot 425 = 103275$. Чему равно значение выражения:

1) $103275 : 243;$

2) $103275 : 425?$

Для решения этой задачи используется взаимосвязь между компонентами умножения (множителями и произведением) и деления (делимым, делителем и частным). Если произведение двух чисел разделить на один из множителей, то в результате получится другой множитель.

Это можно выразить общей формулой: если $a \cdot b = c$, то из этого следует, что $c : a = b$ и $c : b = a$.

В условии задачи дано равенство: $243 \cdot 425 = 103\;275$.

1) 103 275 : 243;

В этом выражении произведение ($103\;275$) делится на первый множитель ($243$). Согласно правилу, результатом должен быть второй множитель.
$103\;275 : 243 = 425$.
Ответ: $425$.

2) 103 275 : 425?

В этом выражении произведение ($103\;275$) делится на второй множитель ($425$). Следовательно, результатом будет первый множитель.
$103\;275 : 425 = 243$.
Ответ: $243$.

448. Известно, что $4\ 608 : 48 = 96$. Чему равно значение выражения:

1) $96 : 48$;

2) $4\ 608 : 96$?

1) 96 : 48;

Для решения этого примера необходимо выполнить деление числа $96$ на $48$. Это простая арифметическая операция.

$96 : 48 = 2$

Ответ: $2$.

2) 4 608 : 96?

В условии задачи дано равенство $4608 : 48 = 96$. В этом выражении $4608$ — это делимое, $48$ — делитель, а $96$ — частное. Существует свойство деления, согласно которому, если делимое разделить на частное, то в результате получится делитель. В нашем выражении требуется разделить делимое ($4608$) на частное ($96$).

Следовательно, результатом будет делитель из исходного равенства, то есть $48$.

$4608 : 96 = 48$

Ответ: $48$.

449. Заполните таблицу.

Для заполнения таблицы необходимо знать взаимосвязь между компонентами деления: делимым, делителем и частным. Основное правило гласит: $Делимое \div Делитель = Частное$.

Из этого правила следуют две другие формулы, которые помогут нам найти неизвестные значения:

• Чтобы найти Делимое, нужно Делитель умножить на Частное: $Делимое = Делитель \times Частное$.
• Чтобы найти Делитель, нужно Делимое разделить на Частное: $Делитель = Делимое \div Частное$.

Теперь рассчитаем значения для каждой пустой ячейки.

Заполнение второго столбца

В этом столбце даны Делимое (96) и Частное (8). Нам нужно найти Делитель.

Воспользуемся формулой: $Делитель = Делимое \div Частное$.

Подставим значения: $96 \div 8 = 12$.

Ответ: 12

Заполнение третьего столбца

Здесь известны Делитель (6) и Частное (14). Нам нужно найти Делимое.

Воспользуемся формулой: $Делимое = Делитель \times Частное$.

Подставим значения: $6 \times 14 = 84$.

Ответ: 84

Заполнение четвертого столбца

Даны Делимое (0) и Делитель (264). Нам нужно найти Частное.

Воспользуемся формулой: $Частное = Делимое \div Делитель$.

Подставим значения: $0 \div 264 = 0$.

Ответ: 0

Заполнение пятого столбца

Известны Делитель (128) и Частное (0). Нам нужно найти Делимое.

Воспользуемся формулой: $Делимое = Делитель \times Частное$.

Подставим значения: $128 \times 0 = 0$.

Ответ: 0

Заполнение шестого столбца

Даны Делимое (945) и Делитель (1). Нам нужно найти Частное.

Воспользуемся формулой: $Частное = Делимое \div Делитель$.

Подставим значения: $945 \div 1 = 945$.

Ответ: 945

Заполнение седьмого столбца

Известны Делимое (637) и Частное (1). Нам нужно найти Делитель.

Воспользуемся формулой: $Делитель = Делимое \div Частное$.

Подставим значения: $637 \div 1 = 637$.

Ответ: 637

Заполнение восьмого столбца

Даны Делимое (3 232) и Делитель (16). Нам нужно найти Частное.

Воспользуемся формулой: $Частное = Делимое \div Делитель$.

Подставим значения: $3232 \div 16 = 202$.

Ответ: 202