Страница 151 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

599. Измерения прямоугольного параллелепипеда MNKPEFST (рис. 170) равны 9 см, 5 см и 6 см. Вычислите сумму длин всех его рёбер и площадь его поверхности.

Рис. 170

Сумма длин всех его рёбер

Прямоугольный параллелепипед имеет 12 рёбер. Измерения параллелепипеда, то есть его длина, ширина и высота, равны 9 см, 5 см и 6 см. Это означает, что у него есть 4 ребра длиной 9 см, 4 ребра длиной 5 см и 4 ребра длиной 6 см. Обозначим измерения как $a = 9$ см, $b = 5$ см и $c = 6$ см. Сумма длин всех рёбер $L$ вычисляется по формуле, которая учитывает по 4 ребра каждого измерения:

$L = 4a + 4b + 4c = 4(a + b + c)$

Подставим известные значения в формулу:

$L = 4 \cdot (9 + 5 + 6) = 4 \cdot 20 = 80$ см.

Ответ: 80 см.

Площадь его поверхности

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 граней, каждая из которых является прямоугольником. Противоположные грани равны, поэтому мы имеем три пары одинаковых граней. Площадь полной поверхности $S$ равна сумме площадей всех его граней. Формула для вычисления площади поверхности имеет вид:

$S = 2(ab + ac + bc)$

Подставим наши значения $a = 9$ см, $b = 5$ см, $c = 6$ см в формулу:

$S = 2 \cdot (9 \cdot 5 + 9 \cdot 6 + 5 \cdot 6) = 2 \cdot (45 + 54 + 30) = 2 \cdot 129 = 258$ $см^2$.

Ответ: 258 $см^2$.

600. Найдите сумму длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 13 см, 16 см, 21 см.

Прямоугольный параллелепипед — это объемная фигура, у которой 6 граней (все прямоугольники), 12 рёбер и 8 вершин. Рёбра параллелепипеда попарно параллельны и равны. Всего существует три группы по четыре равных ребра. Длины этих рёбер соответствуют трём измерениям параллелепипеда: длине, ширине и высоте.

Пусть измерения параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, имеем:

$a = 13$ см
$b = 16$ см
$c = 21$ см

Сумма длин всех рёбер $L$ находится по формуле, учитывающей, что у нас есть 4 ребра длиной $a$, 4 ребра длиной $b$ и 4 ребра длиной $c$:

$L = 4a + 4b + 4c$

Для удобства вычислений можно вынести общий множитель 4 за скобки:

$L = 4 \times (a + b + c)$

Теперь подставим значения измерений в формулу. Сначала найдем сумму длин трёх разных рёбер:

$13 + 16 + 21 = 29 + 21 = 50$ см

Затем умножим эту сумму на 4, чтобы найти сумму длин всех 12 рёбер:

$L = 4 \times 50 = 200$ см

Ответ: 200 см.

измерения которого равны 18 см, 16 см, 21 см.

601. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 9 м, 24 м, 11 м.

Для того чтобы найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, необходимо сложить площади всех его шести граней. Грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. Противоположные грани равны. Обозначим измерения параллелепипеда как $a$, $b$ и $c$.

Дано:

• длина $a = 9$ м
• ширина $b = 24$ м
• высота $c = 11$ м

Формула для вычисления площади поверхности $S$ прямоугольного параллелепипеда:

$S = 2(ab + ac + bc)$

Подставим данные значения в формулу:

$S = 2 \cdot (9 \cdot 24 + 9 \cdot 11 + 24 \cdot 11)$

Выполним вычисления по шагам:

1. Вычислим площади парных граней:

• $ab = 9 \cdot 24 = 216$ м²
• $ac = 9 \cdot 11 = 99$ м²
• $bc = 24 \cdot 11 = 264$ м²

2. Сложим площади этих трех граней:

$216 + 99 + 264 = 579$ м²

3. Умножим полученную сумму на 2, так как у каждой грани есть равная ей противоположная грань:

$S = 2 \cdot 579 = 1158$ м²

Ответ: 1158 м².

602. Вычислите площадь поверхности и сумму длин всех рёбер куба (рис. 171), ребро которого равно 5 см.

Рис. 171

Вычисление площади поверхности куба

Поверхность куба состоит из 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом. Длина ребра куба (сторона квадрата) по условию равна $a = 5$ см.

Площадь одной грани ($S_{грани}$) вычисляется по формуле площади квадрата:

$S_{грани} = a^2$

Подставляем значение длины ребра:

$S_{грани} = 5^2 = 25$ см².

Чтобы найти общую площадь поверхности куба ($S_{куба}$), нужно умножить площадь одной грани на количество граней (6):

$S_{куба} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 25 = 150$ см².

Ответ: площадь поверхности куба равна 150 см².

Вычисление суммы длин всех рёбер куба

У куба 12 рёбер, и все они имеют одинаковую длину. Длина одного ребра по условию равна $a = 5$ см.

Чтобы найти сумму длин всех рёбер ($L$), нужно умножить количество рёбер (12) на длину одного ребра:

$L = 12 \cdot a$

Подставляем значение длины ребра:

$L = 12 \cdot 5 = 60$ см.

Ответ: сумма длин всех рёбер куба равна 60 см.

603. Найдите сумму длин всех рёбер и площадь поверхности куба, если его ребро равно 7 см.

Сумма длин всех рёбер

У куба 12 рёбер, и все они имеют одинаковую длину. По условию, длина одного ребра $a$ равна 7 см.

Чтобы найти сумму длин всех рёбер $L$, нужно умножить количество рёбер (12) на длину одного ребра:

$L = 12 \times a$

$L = 12 \times 7 = 84$ см.

Ответ: 84 см.

Площадь поверхности куба

Поверхность куба состоит из 6 одинаковых квадратных граней. Сторона каждой грани равна длине ребра куба, то есть 7 см.

Площадь одной грани ($S_{грани}$) вычисляется как площадь квадрата:

$S_{грани} = a^2 = 7^2 = 49$ см².

Общая площадь поверхности куба $S$ равна сумме площадей всех шести граней:

$S = 6 \times S_{грани} = 6 \times a^2$

$S = 6 \times 49 = 294$ см².

Ответ: 294 см².

604. На рисунке 172 изображена пирамида $MABC$. Укажите:

1) основание пирамиды;

2) вершину пирамиды;

3) боковые грани пирамиды;

4) боковые рёбра пирамиды;

5) рёбра основания пирамиды.

Рис. 172

1) основание пирамиды;

Основание пирамиды — это многоугольник, который не содержит вершину пирамиды. В пирамиде $MABC$ вершиной является точка $M$, а точки $A$, $B$ и $C$ лежат в одной плоскости, образуя треугольник. Этот треугольник и является основанием.

Ответ: треугольник $ABC$.

2) вершину пирамиды;

Вершина пирамиды — это точка, не лежащая в плоскости основания, и являющаяся общей вершиной для всех боковых граней. В пирамиде $MABC$ этой точкой является $M$.

Ответ: точка $M$.

3) боковые грани пирамиды;

Боковые грани — это треугольники, имеющие общую вершину (вершину пирамиды) и сторону, совпадающую со стороной основания. В пирамиде $MABC$ боковыми гранями являются треугольники, образованные вершиной $M$ и рёбрами основания $AB$, $BC$ и $AC$.

Ответ: треугольники $MAB$, $MBC$ и $MAC$.

4) боковые рёбра пирамиды;

Боковые рёбра — это отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами её основания. В пирамиде $MABC$ это отрезки, соединяющие вершину $M$ с вершинами основания $A$, $B$, $C$.

Ответ: отрезки $MA$, $MB$, $MC$.

5) рёбра основания пирамиды.

Рёбра основания — это стороны многоугольника, лежащего в основании пирамиды. В данном случае основанием является треугольник $ABC$, его сторонами (рёбрами) являются отрезки, соединяющие его вершины.

Ответ: отрезки $AB$, $BC$, $AC$.

605. На рисунке 173 изображена пирамида $SABCD$. Укажите:

1) основание пирамиды;

2) вершину пирамиды;

3) боковые грани пирамиды;

4) боковые рёбра пирамиды;

5) рёбра основания пирамиды.

Рис. 173

1) основание пирамиды Основание пирамиды — это многоугольник, который лежит в её основании и которому не принадлежит вершина пирамиды. В пирамиде $SABCD$ основанием является четырёхугольник, образованный точками $A, B, C$ и $D$.
Ответ: $ABCD$.

2) вершину пирамиды Вершина пирамиды — это точка, соединяющая все боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания. В данной пирамиде это точка $S$.
Ответ: $S$.

3) боковые грани пирамиды Боковые грани — это треугольники, которые образуются при соединении вершины пирамиды с рёбрами основания. У пирамиды $SABCD$ четыре боковые грани, каждая из которых является треугольником: $SAB, SBC, SCD$ и $SDA$.
Ответ: $SAB, SBC, SCD, SDA$.

4) боковые рёбра пирамиды Боковые рёбра — это отрезки, которые соединяют вершину пирамиды с вершинами её основания. В пирамиде $SABCD$ боковыми рёбрами являются отрезки $SA, SB, SC$ и $SD$.
Ответ: $SA, SB, SC, SD$.

5) рёбра основания пирамиды Рёбра основания — это стороны многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Для четырёхугольника $ABCD$ рёбрами являются отрезки, соединяющие его соседние вершины: $AB, BC, CD$ и $DA$.
Ответ: $AB, BC, CD, DA$.