Страница 156 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какими свойствами обладает объём фигуры?

Объём фигуры — это неотрицательная величина, которая характеризует часть пространства, занимаемую этой фигурой. Объём обладает следующими основными свойствами:

• Неотрицательность
  Объём любой геометрической фигуры является неотрицательной величиной. Это означает, что объём не может быть отрицательным числом. Он равен нулю только для вырожденных фигур, которые не занимают места в трёхмерном пространстве (например, точка, отрезок или плоская фигура). Математически это свойство записывается так: $V(F) \ge 0$ для любой фигуры $F$.
• Инвариантность
  Равные (конгруэнтные) фигуры имеют равные объёмы. Если одну фигуру можно получить из другой путём перемещения в пространстве, поворота или зеркального отражения без изменения её формы и размеров, то их объёмы будут одинаковы. Математически: если фигура $F_1$ равна фигуре $F_2$ ($F_1 \cong F_2$), то их объёмы равны: $V(F_1) = V(F_2)$.
• Аддитивность
  Если фигура составлена из нескольких фигур, которые не пересекаются своими внутренними частями (могут соприкасаться только по границам), то объём всей фигуры равен сумме объёмов её частей. Например, если тело $F$ состоит из тел $F_1$ и $F_2$, не имеющих общих внутренних точек, то объём тела $F$ равен сумме объёмов тел $F_1$ и $F_2$. Математически: если $F = F_1 \cup F_2 \cup \dots \cup F_n$ и фигуры $F_i$ попарно не имеют общих внутренних точек, то $V(F) = V(F_1) + V(F_2) + \dots + V(F_n) = \sum_{i=1}^{n} V(F_i)$.
• Нормированность (наличие единицы измерения)
  Объём куба, ребро которого равно единице длины, принимается за единицу измерения объёма (эталон объёма). Например, объём куба с ребром 1 см равен 1 кубическому сантиметру ($1\text{ см}^3$). Это свойство позволяет соотносить объёмы с конкретными числовыми значениями и измерять их.

Ответ: Основными свойствами объёма фигуры являются: 1) неотрицательность (объём всегда больше или равен нулю); 2) инвариантность (равные фигуры имеют равные объёмы); 3) аддитивность (объём фигуры, составленной из нескольких частей, равен сумме объёмов этих частей); 4) нормированность (объём единичного куба принимается за единицу измерения).

2. Какой куб называют единичным?

Единичный куб — это куб, длина ребра которого принята за единицу измерения (например, 1 сантиметр, 1 метр, 1 дюйм). Он служит эталоном для измерения объемов в пространстве.

Все основные геометрические характеристики единичного куба вытекают из того, что длина его ребра ($a$) равна 1:
- Каждая из 6 граней является единичным квадратом, то есть квадратом со стороной 1. Площадь одной такой грани составляет $S_{грани} = a^2 = 1^2 = 1$ квадратной единице.
- Площадь полной поверхности куба, состоящего из шести одинаковых граней, равна $S_{полн.} = 6a^2 = 6 \times 1^2 = 6$ квадратным единицам.
- Объем единичного куба равен $V = a^3 = 1^3 = 1$ кубической единице.

Понятие единичного куба является фундаментальным при вычислении объемов. Объем любой трехмерной фигуры можно определить как количество единичных кубов, которое она может в себя вместить.

Ответ: Единичным называют куб, у которого длина ребра равна единице.

3. Приведите примеры единиц измерения объёма.

Единицы измерения объёма — это стандартизированные величины, используемые для выражения количественной характеристики пространства, занимаемого телом, веществом или жидкостью. Существует множество таких единиц, которые можно сгруппировать по системам измерения.

1. Метрическая система (основанная на системе СИ)

Это наиболее распространенная система в мире, используемая в науке, технике и в быту в большинстве стран. Основной единицей является кубический метр.

• Кубический метр ($м^3$): объём куба со стороной 1 метр. Это основная единица объёма в системе СИ.
• Кубический дециметр ($дм^3$): объём куба со стороной 1 дециметр (10 см). Эта единица равна одному литру: $1 \ дм^3 = 1 \ л$.
• Кубический сантиметр ($см^3$): объём куба со стороной 1 сантиметр. Эта единица равна одному миллилитру: $1 \ см^3 = 1 \ мл$.
• Литр ($л$): широко используемая единица для измерения объёма жидкостей и газов. $1 \ л = 1000 \ см^3 = 1 \ дм^3$.
• Миллилитр ($мл$): одна тысячная часть литра ($1/1000 \ л$).

2. Имперская и американская системы единиц

Эти единицы исторически использовались в Британской империи и до сих пор широко применяются в США и некоторых других странах, особенно для измерения объёма жидкостей.

• Галлон (gallon): Существует американский галлон (около 3,785 литра) и имперский галлон (около 4,546 литра).
• Пинта (pint): В одном галлоне 8 пинт.
• Жидкая унция (fluid ounce): Мера малого объёма.
• Баррель (barrel): Единица, часто используемая в нефтяной промышленности. Один нефтяной баррель равен 42 американским галлонам, или примерно 159 литрам.
• Кубический дюйм ($in^3$), кубический фут ($ft^3$), кубический ярд ($yd^3$): Используются для измерения объёма твёрдых тел.

3. Старинные (устаревшие) единицы

Примеры единиц, которые использовались в прошлом, например, в России до введения метрической системы.

• Ведро (около 12,3 литра)
• Бочка (сорок вёдер, около 492 литров)
• Штоф (десятая часть ведра, около 1,23 литра)

Ответ: Примеры единиц измерения объёма: кубический метр ($м^3$), литр ($л$), кубический сантиметр ($см^3$), миллилитр ($мл$), галлон, пинта, баррель, кубический фут ($ft^3$).

4. Что означает измерить объём фигуры?

Измерить объём фигуры — это значит найти числовое значение, которое показывает, сколько пространства занимает эта фигура. Этот процесс основан на сравнении объёма данной фигуры с объёмом другой фигуры, принятой за единицу измерения.

В качестве единицы измерения объёма обычно принимают объём куба, ребро которого равно единице длины (например, 1 сантиметр, 1 метр). Такой куб называют единичным. Его объём, соответственно, равен одному кубическому сантиметру ($1\ см^3$), одному кубическому метру ($1\ м^3$) и так далее.

Таким образом, измерить объём фигуры — это определить, сколько таких единичных кубов может поместиться внутри этой фигуры. Полученное число и будет являться объёмом данной фигуры.

Ответ: Измерить объём фигуры означает выяснить, сколько раз в этой фигуре помещается выбранная единица измерения объёма (единичный куб).

Прямоугольный параллелепипед — это трехмерная фигура, у которой все грани являются прямоугольниками. Его измерениями являются длина, ширина и высота. В условии задачи они обозначены как $a$, $b$ и $c$.

Объём ($V$) прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение трёх его измерений. Это можно также представить как произведение площади основания на высоту.

Формула для нахождения объёма имеет следующий вид:
$V = a \cdot b \cdot c$

Где $a$ — длина, $b$ — ширина, $c$ — высота.

Ответ: $abc$

6. По какой формуле вычисляют объём куба?

Объём куба вычисляется по формуле, которая связывает его объём с длиной ребра. Куб является частным случаем прямоугольного параллелепипеда, у которого все три измерения — длина, ширина и высота — равны между собой. Обозначим длину ребра куба буквой $a$.

Объём любого прямоугольного параллелепипеда находится как произведение его длины, ширины и высоты. Поскольку у куба все эти измерения равны $a$, для нахождения его объёма ($V$) необходимо перемножить длину ребра саму на себя три раза.

Таким образом, формула для вычисления объёма куба выглядит следующим образом:

$V = a \cdot a \cdot a = a^3$

где $V$ — это объём куба, а $a$ — длина его ребра.

Ответ: $V = a^3$.

7. Как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, зная его площадь основания и высоту?

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) — это величина, которая вычисляется как произведение трёх его измерений: длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($h$). Стандартная формула для нахождения объёма имеет вид:

$V = a \cdot b \cdot h$

В данном вопросе известны площадь основания ($S_{осн}$) и высота ($h$). Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник. Площадь этого прямоугольника (основания) равна произведению его длины и ширины:

$S_{осн} = a \cdot b$

Теперь мы можем подставить это выражение в исходную формулу объёма. Заменив произведение $a \cdot b$ на $S_{осн}$, мы получим формулу для вычисления объёма через площадь основания и высоту:

$V = S_{осн} \cdot h$

Следовательно, чтобы вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, зная его площадь основания и высоту, необходимо умножить значение площади основания на значение высоты.

Ответ: Чтобы вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, нужно умножить его площадь основания на высоту.

1. Заполните пропуски в цепочке вычислений:

5 $ \xrightarrow{\cdot 8} $ __ $ \xrightarrow{\text{--}} $ 16

16 $ \xrightarrow{\cdot \text{--}} $ 96 $ \xrightarrow{: 24} $ __ $ \xrightarrow{\cdot 18} $ __ $ \xrightarrow{\text{--}} $ 5

Для того чтобы заполнить пропуски в цепочке вычислений, необходимо последовательно пройти по всем шагам, выполняя прямые или обратные математические операции.

Заполнение первого круга (справа от 5)

Начинаем с числа 5 и движемся по стрелке вправо. Указана операция умножения на 8. Выполняем вычисление:

$5 \cdot 8 = 40$

Ответ: 40.

Заполнение операции между 40 и 16

Из числа 40 необходимо получить 16. Чтобы найти пропущенную операцию, определим разность между этими числами:

$40 - 16 = 24$

Следовательно, искомая операция — вычитание 24.

Ответ: - 24.

Заполнение операции между 16 и 96

Из числа 16 необходимо получить 96. Чтобы найти пропущенную операцию, разделим большее число на меньшее:

$96 : 16 = 6$

Следовательно, искомая операция — умножение на 6.

Ответ: · 6.

Заполнение среднего круга в нижнем ряду

Чтобы найти число в этом круге, будем двигаться в обратном направлении от числа 96. Прямая операция — деление на 24. Выполним обратную операцию — умножение:

$96 \cdot 24 = 2304$

Ответ: 2304.

Заполнение левого круга в нижнем ряду

Продолжаем двигаться в обратном направлении от числа 2304. Прямая операция — умножение на 18. Выполним обратную операцию — деление:

$2304 : 18 = 128$

Ответ: 128.

Заполнение операции между 128 и 5

Это последняя операция, которая замыкает цикл, возвращая нас к исходному числу 5. Чтобы из 128 получить 5, найдем разность:

$128 - 5 = 123$

Следовательно, искомая операция — вычитание 123.

Ответ: - 123.

2. Сколько необходимо использовать кубиков с ребром 1 см, чтобы сложить кубик с ребром 2 см?

Чтобы определить, сколько кубиков с ребром 1 см необходимо для того, чтобы сложить куб с ребром 2 см, нужно найти отношение объемов большего и меньшего кубов.

Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – это длина ребра куба.

1. Вычислим объем маленького кубика с ребром $a_1 = 1$ см:
$V_1 = 1^3 = 1 \text{ см}^3$.

2. Вычислим объем большого куба с ребром $a_2 = 2$ см:
$V_2 = 2^3 = 8 \text{ см}^3$.

3. Найдем, сколько маленьких кубиков поместится в большом, разделив объем большого куба на объем маленького:
Количество кубиков $N = \frac{V_2}{V_1} = \frac{8 \text{ см}^3}{1 \text{ см}^3} = 8$.

Также можно представить это наглядно: чтобы выложить ребро большого куба длиной 2 см, нужно 2 маленьких кубика. Так как у куба три измерения (длина, ширина и высота), то общее количество кубиков будет $2 \times 2 \times 2 = 8$.

Ответ: 8.

3. Сколько сантиметров проволоки необходимо для изготовления проволочного каркаса прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 3 см, 5 см и 6 см?

Для того чтобы найти, сколько проволоки необходимо для изготовления каркаса прямоугольного параллелепипеда, нужно вычислить сумму длин всех его рёбер.

Прямоугольный параллелепипед имеет 12 рёбер. Среди них 4 ребра равны его длине (пусть это будет $a$), 4 ребра равны его ширине ($b$), и 4 ребра равны его высоте ($c$).

Согласно условию задачи, измерения параллелепипеда равны:
$a = 3$ см
$b = 5$ см
$c = 6$ см

Общая длина проволоки ($L$) будет равна сумме длин всех рёбер. Это можно вычислить по формуле:
$L = 4 \cdot a + 4 \cdot b + 4 \cdot c$
Эту формулу можно упростить, вынеся общий множитель за скобки:
$L = 4 \cdot (a + b + c)$

Подставим в формулу значения измерений:
$L = 4 \cdot (3 + 5 + 6)$
Сначала выполним сложение в скобках:
$3 + 5 + 6 = 14$ см
Теперь умножим результат на 4:
$L = 4 \cdot 14 = 56$ см

Следовательно, для изготовления каркаса понадобится 56 сантиметров проволоки.

Ответ: 56 см.

4. Расставьте вместо звёздочек знаки «+» и «-» так, чтобы запись $20 * 30 * 10 * 80 * 70 = 50$ стала верным равенством.

Для решения этой задачи нужно расставить знаки «+» или «-» вместо звёздочек в выражении $20 * 30 * 10 * 80 * 70 = 50$.

Вместо простого перебора всех 16 комбинаций, можно применить более элегантный алгебраический подход. Пусть $P$ — это сумма всех чисел, перед которыми стоит знак «+» (включая первое число 20, которое всегда положительно), а $M$ — это сумма модулей всех чисел, перед которыми стоит знак «-».

Тогда исходное равенство можно записать в виде:$P - M = 50$.

В то же время, сумма всех чисел в выражении, если бы все знаки были плюсами, является константой:$20 + 30 + 10 + 80 + 70 = 210$.Эта общая сумма всех чисел также равна $P + M$.

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$ \begin{cases} P - M = 50 \\ P + M = 210 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти значение $P$:$(P - M) + (P + M) = 50 + 210$$2P = 260$$P = 130$

Это означает, что сумма всех чисел со знаком «+» в выражении должна равняться 130. Так как число 20 уже включено в эту сумму, нам необходимо из оставшегося набора чисел {30, 10, 80, 70} выбрать те, которые в сумме с 20 дадут 130. Следовательно, сумма искомых чисел должна быть $130 - 20 = 110$.

Теперь найдем комбинации чисел из набора {30, 10, 80, 70}, которые дают в сумме 110.

Первый возможный вариант: $30 + 80 = 110$. Это означает, что перед числами 30 и 80 должен стоять знак «+», а перед остальными числами (10 и 70) — знак «-».Подставим эти знаки в исходное выражение:$20 + 30 - 10 + 80 - 70 = 50$Проверка: $50 - 10 + 80 - 70 = 40 + 80 - 70 = 120 - 70 = 50$. Равенство выполняется.

Второй возможный вариант: $30 + 10 + 70 = 110$. Это означает, что перед числами 30, 10 и 70 должен стоять знак «+», а перед числом 80 — знак «-».Подставим эти знаки в исходное выражение:$20 + 30 + 10 - 80 + 70 = 50$Проверка: $50 + 10 - 80 + 70 = 60 - 80 + 70 = -20 + 70 = 50$. Равенство также выполняется.

Таким образом, задача имеет два правильных решения.

Ответ: $20 + 30 - 10 + 80 - 70 = 50$ или $20 + 30 + 10 - 80 + 70 = 50$.

617. 1) Сколько сантиметров в одном дециметре? Квадратных сантиметров в одном квадратном дециметре? Кубических сантиметров в одном кубическом дециметре?

2) Сколько сантиметров в одном метре? Квадратных сантиметров в одном квадратном метре? Кубических сантиметров в одном кубическом метре?

1)

Для ответа на вопросы этого пункта необходимо знать соотношения между дециметрами и сантиметрами для длины, площади и объема.

• Сколько сантиметров в одном дециметре?
  По определению, в одном дециметре содержится 10 сантиметров.
  $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$
• Сколько квадратных сантиметров в одном квадратном дециметре?
  Один квадратный дециметр ($1 \text{ дм}^2$) — это площадь квадрата со стороной 1 дм. Так как сторона этого квадрата равна 10 см, его площадь составляет:
  $S = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$
  Следовательно, $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$.
• Сколько кубических сантиметров в одном кубическом дециметре?
  Один кубический дециметр ($1 \text{ дм}^3$) — это объем куба с ребром 1 дм. Так как ребро этого куба равно 10 см, его объем составляет:
  $V = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 1000 \text{ см}^3$
  Следовательно, $1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$.

Ответ: 10 см; 100 см²; 1000 см³.

2)

Для ответа на вопросы этого пункта необходимо знать соотношения между метрами и сантиметрами для длины, площади и объема.

• Сколько сантиметров в одном метре?
  По определению, в одном метре содержится 100 сантиметров.
  $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
• Сколько квадратных сантиметров в одном квадратном метре?
  Один квадратный метр ($1 \text{ м}^2$) — это площадь квадрата со стороной 1 м. Так как сторона этого квадрата равна 100 см, его площадь составляет:
  $S = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10000 \text{ см}^2$
  Следовательно, $1 \text{ м}^2 = 10000 \text{ см}^2$.
• Сколько кубических сантиметров в одном кубическом метре?
  Один кубический метр ($1 \text{ м}^3$) — это объем куба с ребром 1 м. Так как ребро этого куба равно 100 см, его объем составляет:
  $V = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 1000000 \text{ см}^3$
  Следовательно, $1 \text{ м}^3 = 1000000 \text{ см}^3$.

Ответ: 100 см; 10000 см²; 1000000 см³.