Номер 4, страница 156 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Расставьте вместо звёздочек знаки «+» и «-» так, чтобы запись $20 * 30 * 10 * 80 * 70 = 50$ стала верным равенством.

Для решения этой задачи нужно расставить знаки «+» или «-» вместо звёздочек в выражении $20 * 30 * 10 * 80 * 70 = 50$.

Вместо простого перебора всех 16 комбинаций, можно применить более элегантный алгебраический подход. Пусть $P$ — это сумма всех чисел, перед которыми стоит знак «+» (включая первое число 20, которое всегда положительно), а $M$ — это сумма модулей всех чисел, перед которыми стоит знак «-».

Тогда исходное равенство можно записать в виде:$P - M = 50$.

В то же время, сумма всех чисел в выражении, если бы все знаки были плюсами, является константой:$20 + 30 + 10 + 80 + 70 = 210$.Эта общая сумма всех чисел также равна $P + M$.

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$ \begin{cases} P - M = 50 \\ P + M = 210 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти значение $P$:$(P - M) + (P + M) = 50 + 210$$2P = 260$$P = 130$

Это означает, что сумма всех чисел со знаком «+» в выражении должна равняться 130. Так как число 20 уже включено в эту сумму, нам необходимо из оставшегося набора чисел {30, 10, 80, 70} выбрать те, которые в сумме с 20 дадут 130. Следовательно, сумма искомых чисел должна быть $130 - 20 = 110$.

Теперь найдем комбинации чисел из набора {30, 10, 80, 70}, которые дают в сумме 110.

Первый возможный вариант: $30 + 80 = 110$. Это означает, что перед числами 30 и 80 должен стоять знак «+», а перед остальными числами (10 и 70) — знак «-».Подставим эти знаки в исходное выражение:$20 + 30 - 10 + 80 - 70 = 50$Проверка: $50 - 10 + 80 - 70 = 40 + 80 - 70 = 120 - 70 = 50$. Равенство выполняется.

Второй возможный вариант: $30 + 10 + 70 = 110$. Это означает, что перед числами 30, 10 и 70 должен стоять знак «+», а перед числом 80 — знак «-».Подставим эти знаки в исходное выражение:$20 + 30 + 10 - 80 + 70 = 50$Проверка: $50 + 10 - 80 + 70 = 60 - 80 + 70 = -20 + 70 = 50$. Равенство также выполняется.

Таким образом, задача имеет два правильных решения.

Ответ: $20 + 30 - 10 + 80 - 70 = 50$ или $20 + 30 + 10 - 80 + 70 = 50$.