Страница 158 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

627. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 18 см, высота — 15 см, а объём — $3240 \text{ см}^3$. Найдите ширину данного параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение его длины ($l$), ширины ($w$) и высоты ($h$). Формула для расчёта объёма выглядит следующим образом:

$V = l \cdot w \cdot h$

По условию задачи нам известны следующие величины:

• Длина $l = 18$ см
• Высота $h = 15$ см
• Объём $V = 3240$ см³

Чтобы найти неизвестную ширину ($w$), необходимо выразить её из формулы объёма. Для этого разделим объём на произведение известных длины и высоты:

$w = \frac{V}{l \cdot h}$

Теперь подставим данные из условия в эту формулу:

$w = \frac{3240}{18 \cdot 15}$

Сначала вычислим произведение в знаменателе:

$18 \cdot 15 = 270$

Далее подставим полученное значение обратно в дробь и выполним деление, чтобы найти ширину:

$w = \frac{3240}{270} = 12$ см

Ответ: 12 см.

628. Объём комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, равен 144 $m^3$, а высота — 4 м. Найдите площадь пола комнаты.

Объем комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, вычисляется по формуле: $V = S \cdot h$, где $V$ – это объем, $S$ – это площадь основания (пола), а $h$ – это высота.

По условию задачи нам даны:
Объем комнаты $V = 144 \text{ м}^3$.
Высота комнаты $h = 4 \text{ м}$.

Чтобы найти площадь пола $S$, мы можем выразить ее из формулы объема:
$S = \frac{V}{h}$

Теперь подставим известные значения в эту формулу и вычислим площадь:
$S = \frac{144 \text{ м}^3}{4 \text{ м}} = 36 \text{ м}^2$

Ответ: 36 м².

629. Спортивный зал имеет форму прямоугольного параллелепипеда, его объём равен $960 \text{ м}^3$, а площадь пола равна $192 \text{ м}^2$. Найдите высоту спортивного зала.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) можно найти по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота.

В данной задаче спортивный зал имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Пол зала является его основанием. Следовательно, площадь пола — это и есть площадь основания.

По условию нам даны:

Объём зала $V = 960$ м³.

Площадь пола $S_{пола} = S_{осн} = 192$ м².

Чтобы найти высоту зала ($h$), нужно выразить её из формулы объёма:

$h = \frac{V}{S_{осн}}$

Теперь подставим известные значения в формулу:

$h = \frac{960}{192} = 5$ м.

Ответ: 5 м.

630. Найдите объём фигуры, изображённой на рисунке 180 (размеры даны в сантиметрах).

Рис. 180

Объём данной фигуры можно найти несколькими способами. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Метод вычитания

Этот способ заключается в том, чтобы представить фигуру как большой прямоугольный параллелепипед, из которого вырезали меньшую часть.

1. Найдём объём большого воображаемого параллелепипеда ($V_{большой}$), который бы получился, если бы не было выреза. Его размеры: длина — $30$ см, ширина — $20$ см, высота — $25$ см. Объём вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$:
$V_{большой} = 30 \cdot 20 \cdot 25 = 600 \cdot 25 = 15000 \text{ см}^3$.

2. Теперь найдём объём вырезанного прямоугольного параллелепипеда ($V_{вырез}$). Его размеры согласно рисунку: длина — $15$ см, ширина — $20$ см (равна ширине всей фигуры), высота — $5$ см. Его объём:
$V_{вырез} = 15 \cdot 20 \cdot 5 = 300 \cdot 5 = 1500 \text{ см}^3$.

3. Найдём объём исходной фигуры ($V_{фигуры}$), вычтя объём вырезанной части из объёма большого параллелепипеда:
$V_{фигуры} = V_{большой} - V_{вырез} = 15000 - 1500 = 13500 \text{ см}^3$.

Ответ: $13500 \text{ см}^3$.

Способ 2: Метод сложения

Этот способ заключается в том, чтобы разбить фигуру на более простые части (прямоугольные параллелепипеды), найти объём каждой части и сложить их.

1. Фигуру можно разбить на три части: одно большое нижнее основание и два одинаковых верхних выступа по бокам. Найдём объём нижнего основания ($V_{основание}$). Его размеры: длина — $30$ см, ширина — $20$ см. Высота основания равна общей высоте фигуры ($25$ см) минус высота верхних выступов ($5$ см), то есть $25 - 5 = 20$ см.
$V_{основание} = 30 \cdot 20 \cdot 20 = 12000 \text{ см}^3$.

2. Найдём объём одного из двух верхних выступов ($V_{выступ}$). Его ширина — $20$ см, высота — $5$ см. Длину найдём так: из общей длины ($30$ см) вычтем длину выреза ($15$ см), получим суммарную длину двух выступов $30 - 15 = 15$ см. Так как выступы одинаковые, длина одного равна $15 / 2 = 7,5$ см.
$V_{выступ} = 7,5 \cdot 20 \cdot 5 = 7,5 \cdot 100 = 750 \text{ см}^3$.

3. Общий объём фигуры ($V_{фигуры}$) равен сумме объёма основания и объёма двух выступов:
$V_{фигуры} = V_{основание} + 2 \cdot V_{выступ} = 12000 + 2 \cdot 750 = 12000 + 1500 = 13500 \text{ см}^3$.

Ответ: $13500 \text{ см}^3$.

631. Найдите объём фигуры, изображённой на рисунке 181 (размеры даны в сантиметрах).

Рис. 181

Для нахождения объёма фигуры, изображённой на рисунке, её можно представить как составное тело из двух прямоугольных параллелепипедов: большого нижнего основания и малого верхнего блока. Общий объём будет равен сумме их объёмов. Размеры на чертеже даны в сантиметрах.

Объём нижнего основания ($V_1$)
Нижнее основание представляет собой прямоугольный параллелепипед. Его измерения:
- Длина: $a_1 = 12 + 8 + 15 = 35$ см.
- Ширина: $b_1 = 8$ см.
- Высота: $c_1 = 14$ см.
Объём вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.
$V_1 = 35 \cdot 8 \cdot 14 = 280 \cdot 14 = 3920$ см³.

Объём верхнего блока ($V_2$)
Верхний блок также является прямоугольным параллелепипедом, расположенным на центральной части основания. Его измерения:
- Длина: $a_2 = 8$ см.
- Ширина: $b_2 = 8$ см.
- Высота (часть, выступающая над основанием): $c_2 = 8$ см.
Его объём равен:
$V_2 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$ см³.

Общий объём фигуры ($V_{общ}$)
Общий объём фигуры равен сумме объёмов основания и верхнего блока:
$V_{общ} = V_1 + V_2 = 3920 + 512 = 4432$ см³.

Ответ: 4432 см³.

632. Ребро куба, изготовленного из цинка, равно 4 см. Найдите массу куба, если масса $1\text{ см}^3$ цинка составляет 7 г.

Чтобы найти массу куба, необходимо сначала вычислить его объём. Формула для вычисления объёма куба (V) выглядит следующим образом:

$V = a^3$

где $a$ — это длина ребра куба.

Согласно условию, ребро куба равно 4 см. Подставим это значение в формулу:

$V = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \text{ см}^3$

Итак, объём цинкового куба составляет 64 см³.

Далее, чтобы найти массу куба (m), нужно умножить его объём (V) на массу 1 см³ этого материала (то есть на его плотность $\rho$).

$m = V \times \rho$

По условию, масса 1 см³ цинка составляет 7 г. Следовательно, плотность цинка $\rho = 7 \text{ г/см}^3$.

Теперь вычислим массу куба:

$m = 64 \text{ см}^3 \times 7 \text{ г/см}^3 = 448 \text{ г}$

Ответ: 448 г.

633. Знайка сконструировал землеройную машину, которая за $8 \text{ ч}$ может вырыть траншею, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, длиной $150 \text{ м}$, глубиной $80 \text{ см}$ и шириной $60 \text{ см}$. Сколько кубометров земли выкапывает эта машина за $1 \text{ ч}$? Работу скольких коротышек выполняет эта машина, если за $8 \text{ ч}$ один коротышка может выкопать $240 \text{ дм}^3$ земли?

Сколько кубометров земли выкапывает эта машина за 1 ч?

1. Для начала определим общий объем траншеи, которую машина выкапывает за 8 часов. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$, $b$ и $c$ – его длина, ширина и глубина.

2. Приведем все размеры к единой единице измерения – метрам, так как итоговый ответ должен быть в кубических метрах ($м^3$).

• Длина = $150$ м
• Глубина = $80$ см $= 0.8$ м
• Ширина = $60$ см $= 0.6$ м

3. Теперь вычислим объем траншеи в кубических метрах:

$V = 150 \, м \cdot 0.6 \, м \cdot 0.8 \, м = 72 \, м^3$

Таким образом, за 8 часов машина выкапывает $72 \, м^3$ земли.

4. Чтобы найти, какой объем земли машина выкапывает за 1 час, разделим общий объем на количество часов:

$72 \, м^3 : 8 \, ч = 9 \, м^3/ч$

Ответ: за 1 час машина выкапывает 9 м³ земли.

Работу скольких коротышек выполняет эта машина, если за 8 ч один коротышка может выкопать 240 дм³ земли?

1. Из предыдущего пункта мы знаем, что за 8 часов машина выкапывает $72 \, м^3$ земли. По условию, за это же время один коротышка выкапывает $240 \, дм^3$ земли.

2. Чтобы сравнить эти объемы, нужно привести их к одной единице измерения. Переведем кубические метры в кубические дециметры ($дм^3$).

Так как $1 \, м = 10 \, дм$, то $1 \, м^3 = 10^3 \, дм^3 = 1000 \, дм^3$.

3. Вычислим объем работы машины в кубических дециметрах:

$72 \, м^3 = 72 \cdot 1000 \, дм^3 = 72000 \, дм^3$

4. Теперь, чтобы узнать, работу скольких коротышек выполняет машина, разделим объем, выкопанный машиной, на объем, выкопанный одним коротышкой (за одинаковое время):

$72000 \, дм^3 : 240 \, дм^3 = 300$

Ответ: машина выполняет работу 300 коротышек.