Страница 159 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

634. Куб и прямоугольный параллелепипед имеют равные объёмы. Найдите площадь поверхности куба, если длина прямоугольного параллелепипеда равна 12 см, что в 2 раза больше ширины и в 4 раза больше высоты параллелепипеда.

Для начала определим размеры прямоугольного параллелепипеда. Обозначим его длину как $l$, ширину как $w$, и высоту как $h$.

Из условия задачи известно, что длина $l = 12$ см.

Также указано, что длина в 2 раза больше ширины. Отсюда находим ширину: $w = \frac{l}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Длина в 4 раза больше высоты, поэтому находим высоту: $h = \frac{l}{4} = \frac{12}{4} = 3$ см.

Теперь вычислим объём прямоугольного параллелепипеда ($V_p$) по формуле $V_p = l \cdot w \cdot h$: $V_p = 12 \cdot 6 \cdot 3 = 216$ см³.

Согласно условию, объём куба ($V_k$) равен объёму прямоугольного параллелепипеда: $V_k = V_p = 216$ см³.

Объём куба также можно выразить через длину его ребра $a$ по формуле $V_k = a^3$. Найдем длину ребра куба: $a^3 = 216$ см³, $a = \sqrt[3]{216} = 6$ см.

Площадь поверхности куба ($S_k$) состоит из площадей шести одинаковых квадратных граней. Площадь одной грани равна $a^2$. Таким образом, полная площадь поверхности вычисляется по формуле $S_k = 6a^2$.

Подставим найденное значение длины ребра $a = 6$ см: $S_k = 6 \cdot 6^2 = 6 \cdot 36 = 216$ см².

Ответ: 216 см².

635. Ребро одного куба в 4 раза больше ребра второго. Во сколько раз:

1) площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго;

2) объём первого куба больше объёма второго?

Обозначим ребро второго (меньшего) куба как $a_2$.

Согласно условию задачи, ребро первого (большего) куба $a_1$ в 4 раза больше, следовательно, $a_1 = 4a_2$.

1) площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго

Площадь полной поверхности куба вычисляется по формуле $S = 6a^2$, где $a$ — длина ребра куба.

Найдем площадь поверхности второго куба:

$S_2 = 6a_2^2$

Найдем площадь поверхности первого куба:

$S_1 = 6a_1^2 = 6(4a_2)^2 = 6 \cdot (16a_2^2) = 96a_2^2$

Чтобы определить, во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго, найдем их отношение:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{96a_2^2}{6a_2^2} = 16$

Ответ: в 16 раз.

2) объём первого куба больше объёма второго

Объём куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина ребра куба.

Найдем объём второго куба:

$V_2 = a_2^3$

Найдем объём первого куба:

$V_1 = a_1^3 = (4a_2)^3 = 4^3 \cdot a_2^3 = 64a_2^3$

Чтобы определить, во сколько раз объём первого куба больше объёма второго, найдем их отношение:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{64a_2^3}{a_2^3} = 64$

Ответ: в 64 раза.

636. Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если:

1) длину увеличить в 4 раза, ширину — в 2 раза, высоту — в 5 раз;

2) ширину уменьшить в 4 раза, высоту — в 2 раза, а длину увеличить в 16 раз?

1) Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$ – длина, $b$ – ширина, $c$ – высота.

Пусть первоначальный объём параллелепипеда равен $V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot c_1$.

Согласно условию, длину увеличили в 4 раза, ширину — в 2 раза, а высоту — в 5 раз. Новые размеры будут:

$a_2 = 4a_1$

$b_2 = 2b_1$

$c_2 = 5c_1$

Найдём новый объём $V_2$ с новыми размерами:

$V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot c_2 = (4a_1) \cdot (2b_1) \cdot (5c_1)$

Сгруппируем коэффициенты и первоначальные размеры:

$V_2 = (4 \cdot 2 \cdot 5) \cdot (a_1 \cdot b_1 \cdot c_1)$

$V_2 = 40 \cdot (a_1 \cdot b_1 \cdot c_1)$

Так как $V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot c_1$, то получаем:

$V_2 = 40 \cdot V_1$

Это означает, что объём увеличится в 40 раз.

Ответ: объём увеличится в 40 раз.

2) Пусть первоначальный объём параллелепипеда так же равен $V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot c_1$.

В этом случае размеры изменились следующим образом: ширину уменьшили в 4 раза, высоту — в 2 раза, а длину увеличили в 16 раз. Новые размеры:

$b_2 = a_1 / 4$

$c_2 = c_1 / 2$

$a_2 = 16a_1$

Вычислим новый объём $V_2$:

$V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot c_2 = (16a_1) \cdot (\frac{b_1}{4}) \cdot (\frac{c_1}{2})$

Сгруппируем множители:

$V_2 = (16 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}) \cdot (a_1 \cdot b_1 \cdot c_1)$

$V_2 = \frac{16}{8} \cdot (a_1 \cdot b_1 \cdot c_1)$

$V_2 = 2 \cdot (a_1 \cdot b_1 \cdot c_1)$

Так как $V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot c_1$, получаем:

$V_2 = 2 \cdot V_1$

Следовательно, объём параллелепипеда увеличится в 2 раза.

Ответ: объём увеличится в 2 раза.

637. Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если:

1) каждое измерение увеличить в 2 раза;

2) длину уменьшить в 3 раза, высоту — в 5 раз, а ширину увеличить в 15 раз?

Рис. 182

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение его трёх измерений (длины, ширины и высоты). Обозначим первоначальные измерения как $a$, $b$ и $c$. Тогда первоначальный объём $V_1$ равен:

$V_1 = a \cdot b \cdot c$

1) каждое измерение увеличить в 2 раза;

Если каждое измерение увеличить в 2 раза, то новые измерения будут равны $2a$, $2b$ и $2c$.
Найдём новый объём $V_2$:
$V_2 = (2a) \cdot (2b) \cdot (2c) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (a \cdot b \cdot c) = 8 \cdot (a \cdot b \cdot c)$
Так как $V_1 = a \cdot b \cdot c$, то $V_2 = 8V_1$.
Следовательно, объём параллелепипеда увеличится в 8 раз.
Ответ: объём увеличится в 8 раз.

2) длину уменьшить в 3 раза, высоту — в 5 раз, а ширину увеличить в 15 раз?

Пусть $a$ — длина, $b$ — ширина, $c$ — высота.
Новые измерения будут:
Новая длина: $\frac{a}{3}$
Новая ширина: $15b$
Новая высота: $\frac{c}{5}$
Найдём новый объём $V_2$:
$V_2 = (\frac{a}{3}) \cdot (15b) \cdot (\frac{c}{5}) = \frac{15}{3 \cdot 5} \cdot (a \cdot b \cdot c) = \frac{15}{15} \cdot (a \cdot b \cdot c) = 1 \cdot (a \cdot b \cdot c)$
Так как $V_1 = a \cdot b \cdot c$, то $V_2 = V_1$.
Следовательно, объём параллелепипеда не изменится.
Ответ: объём не изменится.

638. В бассейн, площадь дна которого равна 1 га, налили 1 000 000 л воды. Можно ли в этом бассейне провести соревнования по плаванию?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассчитать глубину воды в бассейне. Глубина $(h)$ вычисляется как отношение объема налитой воды $(V)$ к площади дна бассейна $(S)$.

Формула для расчета глубины: $h = \frac{V}{S}$.

Перед расчетом необходимо привести все величины к единой системе измерений (СИ).

1. Переведем площадь дна из гектаров (га) в квадратные метры (м²).
Известно, что $1 \text{ га} = 10\,000 \text{ м}^2$.
Таким образом, площадь дна бассейна: $S = 10\,000 \text{ м}^2$.

2. Переведем объем воды из литров (л) в кубические метры (м³).
Известно, что $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ л}$.
Таким образом, объем воды: $V = 1\,000\,000 \text{ л} = \frac{1\,000\,000}{1000} \text{ м}^3 = 1000 \text{ м}^3$.

3. Теперь можем рассчитать глубину воды в бассейне:
$h = \frac{V}{S} = \frac{1000 \text{ м}^3}{10\,000 \text{ м}^2} = \frac{1}{10} \text{ м} = 0.1 \text{ м}$.

Полученная глубина составляет 0,1 метра, что равно 10 сантиметрам. Для проведения соревнований по плаванию требуется глубина не менее 1,2–1,8 метра. Глубина в 10 см является недостаточной даже для простого плавания, не говоря уже о соревнованиях.

Ответ: Нет, в этом бассейне нельзя провести соревнования по плаванию, так как глубина воды в нем составит всего 10 см.

639. В кубе с ребром 3 см проделали три сквозных квадратных отверстия со стороной 1 см (рис. 182). Найдите объём оставшейся части.

Рис. 182

Чтобы найти объём оставшейся части, нужно из первоначального объёма куба вычесть объём вырезанной части.

1. Найдём объём исходного куба.
Ребро куба $a = 3$ см. Объём куба вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$.
$V_{куба} = 3^3 = 27$ см³.

2. Найдём объём вырезанной части.
Три сквозных отверстия представляют собой три пересекающихся прямоугольных параллелепипеда размером $1 \times 1 \times 3$ см. Чтобы найти их общий объём, представим вырезанную фигуру как совокупность более простых тел.

Все три отверстия пересекаются в центре большого куба, образуя центральный куб с ребром 1 см. Его объём:
$V_{центр} = 1^3 = 1$ см³.

От каждой из шести граней этого центрального куба к соответствующей грани большого куба отходит часть отверстия. Длина каждой такой части (назовём их "лучами") составляет $(3 - 1) / 2 = 1$ см. Таким образом, имеется 6 "лучей", каждый из которых представляет собой куб с ребром 1 см. Их суммарный объём:
$V_{лучей} = 6 \times 1^3 = 6$ см³.

Общий объём вырезанной части равен сумме объёма центрального куба и объёма шести "лучей":
$V_{вырезанная} = V_{центр} + V_{лучей} = 1 + 6 = 7$ см³.

3. Найдём объём оставшейся части куба.
Вычтем объём вырезанной части из объёма исходного куба:
$V_{оставшейся} = V_{куба} - V_{вырезанная} = 27 - 7 = 20$ см³.

Ответ: 20 см³.

640. Размеры куска мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равны 12 см, 6 см и 4 см. Каждый день используют одинаковую массу мыла. Через 14 дней все размеры куска мыла уменьшились в 2 раза. На сколько дней хватит оставшегося куска мыла?

Для решения задачи будем исходить из того, что мыло однородное, то есть имеет постоянную плотность. В этом случае использование одинаковой массы мыла каждый день равносильно использованию одинакового объема.

1. Вычислим первоначальный объем куска мыла. Так как кусок имеет форму прямоугольного параллелепипеда, его объем равен произведению трех его измерений (длины, ширины и высоты).

Начальные размеры мыла: 12 см, 6 см и 4 см.
Начальный объем $V_1 = 12 \cdot 6 \cdot 4 = 288$ см³.

2. Через 14 дней все размеры куска мыла уменьшились в 2 раза. Найдем новые размеры и вычислим оставшийся объем мыла.

Новые размеры:
Длина: $12 / 2 = 6$ см.
Ширина: $6 / 2 = 3$ см.
Высота: $4 / 2 = 2$ см.

Оставшийся объем мыла $V_2 = 6 \cdot 3 \cdot 2 = 36$ см³.

3. Найдем объем мыла, который был использован за 14 дней. Для этого вычтем из начального объема оставшийся.

Использованный объем $V_{исп} = V_1 - V_2 = 288 - 36 = 252$ см³.

4. Поскольку каждый день использовали одинаковое количество мыла, мы можем найти ежедневный расход объема мыла, разделив общий использованный объем на количество дней.

Ежедневный расход = $V_{исп} / 14 \text{ дней} = 252 / 14 = 18$ см³/день.

5. Теперь, зная оставшийся объем мыла и ежедневный расход, можно определить, на сколько дней хватит оставшегося куска.

Количество дней = Оставшийся объем / Ежедневный расход = $36 / 18 = 2$ дня.

Ответ: оставшегося куска мыла хватит на 2 дня.

641. В школьном коридоре, длина которого равна 30 м, ширина — 35 дм, надо заменить линолеум. Какое наименьшее количество рулонов линолеума для этого нужно, если длина рулона линолеума равна 12 м, а ширина — 160 см?

Для решения задачи сначала необходимо привести все размеры к единой единице измерения, например, к метрам.

Размеры школьного коридора:

• Длина: $30$ м
• Ширина: $35$ дм. Так как $1$ м = $10$ дм, то ширина коридора в метрах равна $35 / 10 = 3,5$ м.

Размеры одного рулона линолеума:

• Длина: $12$ м
• Ширина: $160$ см. Так как $1$ м = $100$ см, то ширина рулона в метрах равна $160 / 100 = 1,6$ м.

Теперь определим, как укладывать линолеум. Линолеум поставляется в виде полос шириной $1,6$ м. Чтобы покрыть всю ширину коридора ($3,5$ м), нужно уложить несколько полос рядом. Рассчитаем, сколько полос понадобится:

$3,5 \text{ м} / 1,6 \text{ м} \approx 2,19$

Поскольку количество полос должно быть целым, округляем в большую сторону. Таким образом, для покрытия всей ширины коридора необходимо уложить $3$ полосы линолеума. Каждая из этих полос должна иметь длину, равную длине коридора, то есть $30$ м.

Найдем общую длину линолеума, которая потребуется для покрытия всего пола:

$3 \text{ полосы} \times 30 \text{ м/полоса} = 90 \text{ м}$

Теперь, зная, что длина одного рулона составляет $12$ м, рассчитаем необходимое количество рулонов:

$\text{Количество рулонов} = \frac{\text{Общая необходимая длина}}{\text{Длина одного рулона}} = \frac{90 \text{ м}}{12 \text{ м}} = 7,5 \text{ рулонов}$

Так как купить половину рулона невозможно, необходимое количество нужно округлить до ближайшего целого числа в большую сторону. Следовательно, потребуется 8 рулонов.

Ответ: 8 рулонов.

642. Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми равно 54 км, одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч после начала движения. Скорость движения первого велосипедиста составляла 12 км/ч. С какой скоростью двигался второй велосипедист?

Для решения этой задачи выполним несколько последовательных действий.

1. Найдем расстояние, которое проехал первый велосипедист до встречи.

Чтобы найти расстояние ($S_1$), нужно скорость первого велосипедиста ($v_1$) умножить на время движения ($t$).

По условию, $v_1 = 12$ км/ч, а $t = 2$ ч.

$S_1 = v_1 \cdot t = 12 \cdot 2 = 24$ (км)

2. Найдем расстояние, которое проехал второй велосипедист до встречи.

Велосипедисты двигались навстречу друг другу и вместе преодолели всё расстояние между населёнными пунктами, которое равно 54 км. Значит, чтобы найти расстояние, которое проехал второй велосипедист ($S_2$), нужно из общего расстояния ($S$) вычесть расстояние, пройденное первым велосипедистом ($S_1$).

$S_2 = S - S_1 = 54 - 24 = 30$ (км)

3. Найдем скорость второго велосипедиста.

Второй велосипедист был в пути то же самое время, что и первый, то есть 2 часа. Чтобы найти его скорость ($v_2$), нужно пройденное им расстояние ($S_2$) разделить на время ($t$).

$v_2 = S_2 / t = 30 / 2 = 15$ (км/ч)

Ответ: 15 км/ч.

643. Найдите значение выражения:

1) $7a + 7b$, если $a + b = 14$;

2) $m \cdot 17 + n \cdot 17$, если $m + n = 1 000$;

3) $k \cdot 9 + 9l$, если $k + l = 12$;

4) $4c - 4d$, если $c - d = 125$;

5) $x \cdot 23 - 23y$, если $x - y = 4$;

6) $56p - r \cdot 56$, если $p - r = 11$.

1) Чтобы найти значение выражения $7a + 7b$, если известно, что $a + b = 14$, воспользуемся распределительным свойством умножения. Вынесем общий множитель 7 за скобки:

$7a + 7b = 7 \cdot (a + b)$

Теперь подставим в полученное выражение известное значение суммы $a + b = 14$:

$7 \cdot 14 = 98$

Ответ: 98

2) Чтобы найти значение выражения $m \cdot 17 + n \cdot 17$, если $m + n = 1000$, вынесем общий множитель 17 за скобки:

$m \cdot 17 + n \cdot 17 = 17 \cdot (m + n)$

Подставим известное значение $m + n = 1000$:

$17 \cdot 1000 = 17000$

Ответ: 17000

3) Чтобы найти значение выражения $k \cdot 9 + 9l$, если $k + l = 12$, вынесем общий множитель 9 за скобки:

$k \cdot 9 + 9l = 9 \cdot (k + l)$

Подставим известное значение $k + l = 12$:

$9 \cdot 12 = 108$

Ответ: 108

4) Чтобы найти значение выражения $4c - 4d$, если $c - d = 125$, вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4c - 4d = 4 \cdot (c - d)$

Подставим известное значение $c - d = 125$:

$4 \cdot 125 = 500$

Ответ: 500

5) Чтобы найти значение выражения $x \cdot 23 - 23y$, если $x - y = 4$, вынесем общий множитель 23 за скобки:

$x \cdot 23 - 23y = 23 \cdot (x - y)$

Подставим известное значение $x - y = 4$:

$23 \cdot 4 = 92$

Ответ: 92

6) Чтобы найти значение выражения $56p - r \cdot 56$, если $p - r = 11$, вынесем общий множитель 56 за скобки:

$56p - r \cdot 56 = 56 \cdot (p - r)$

Подставим известное значение $p - r = 11$:

$56 \cdot 11 = 616$

Ответ: 616

644. В записи первого трёхзначного числа используются только цифры 2 и 3, а в записи второго — только цифры 3 и 4. Может ли произведение этих чисел записываться только цифрами 2 и 4?

Обозначим первое трёхзначное число, состоящее из цифр 2 и 3, как $A$, а второе трёхзначное число, состоящее из цифр 3 и 4, как $B$.

Определим диапазон возможных значений для чисел $A$ и $B$.

Число $A$ должно быть не меньше наименьшего трёхзначного числа из цифр 2 и 3 (это 222) и не больше наибольшего (это 333). Таким образом, $222 \le A \le 333$.

Аналогично, число $B$ должно быть не меньше наименьшего трёхзначного числа из цифр 3 и 4 (это 333) и не больше наибольшего (это 444). Таким образом, $333 \le B \le 444$.

Теперь найдём диапазон возможных значений для их произведения $P = A \times B$. Для этого вычислим минимальное и максимальное возможные произведения.

Минимальное значение произведения $P_{min}$ равно произведению минимальных значений $A$ и $B$:
$P_{min} = 222 \times 333 = 73926$.

Максимальное значение произведения $P_{max}$ равно произведению максимальных значений $A$ и $B$:
$P_{max} = 333 \times 444 = 147852$.

Таким образом, если такое произведение $P$ существует, оно должно находиться в интервале от 73926 до 147852, то есть $73926 \le P \le 147852$.

По условию задачи, число $P$ должно состоять только из цифр 2 и 4. Проверим, могут ли такие числа находиться в найденном диапазоне.

Рассмотрим числа, состоящие только из цифр 2 и 4, и сравним их с диапазоном $[73926, 147852]$.

• Наибольшее пятизначное число, которое можно составить из цифр 2 и 4, — это 44444. Это число меньше, чем минимальное возможное значение произведения ($44444 < 73926$). Следовательно, $P$ не может быть пятизначным числом.
• Наименьшее шестизначное число, которое можно составить из цифр 2 и 4, — это 222222. Это число больше, чем максимальное возможное значение произведения ($222222 > 147852$). Следовательно, $P$ не может быть шестизначным числом.

Любое число из цифр 2 и 4, имеющее более шести знаков, будет ещё больше, чем 222222, и, очевидно, не попадёт в нужный диапазон. Таким образом, не существует ни одного числа, состоящего только из цифр 2 и 4, которое бы находилось в диапазоне от 73926 до 147852.

Ответ: Нет, не может.