Страница 152 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

606. На рисунке 174 изображена развертка прямоугольного параллелепипеда.

1) Из скольких прямоугольников состоит развертка?

2) Сколько пар равных прямоугольников содержит развертка?

3) Какова площадь этой развертки, если измерения параллелепипеда равны 10 см, 7 см и 3 см?

Рис. 174

1) Из скольких прямоугольников состоит развёртка?

Развёртка прямоугольного параллелепипеда представляет собой его шесть граней, каждая из которых является прямоугольником. Если посчитать количество прямоугольников на рисунке 174, то их будет 6.
Ответ: 6.

2) Сколько пар равных прямоугольников содержит развёртка?

У прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны. Таких пар противоположных граней три: верхняя и нижняя, передняя и задняя, левая и правая. Следовательно, развёртка содержит три пары равных прямоугольников.
Ответ: 3.

3) Какова площадь этой развёртки, если измерения параллелепипеда равны 10 см, 7 см и 3 см?

Площадь развёртки равна площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда. Площадь поверхности ($S$) вычисляется по формуле $S = 2(ab + bc + ac)$, где $a, b, c$ – измерения параллелепипеда (длина, ширина, высота).
Пусть $a = 10$ см, $b = 7$ см и $c = 3$ см.
Подставим значения в формулу:
$S = 2(10 \cdot 7 + 7 \cdot 3 + 10 \cdot 3)$
$S = 2(70 + 21 + 30)$
$S = 2(121)$
$S = 242$ см².
Ответ: 242 см².

607. Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, развертка которого изображена на рисунке 175.

Рис. 175

2 см

4 см

6 см

Чтобы найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, нужно сначала определить его измерения (длину, ширину и высоту) по данной развёртке. На рисунке указаны все три измерения: 6 см, 4 см и 2 см.

Пусть измерения параллелепипеда будут:

• длина $a = 6$ см
• ширина $b = 4$ см
• высота $c = 2$ см

Площадь поверхности ($S$) прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех его шести граней. У параллелепипеда есть три пары одинаковых граней. Формула для расчёта площади поверхности выглядит так:

$S = 2 \cdot (ab + ac + bc)$

Подставим значения измерений в формулу:

$S = 2 \cdot (6 \cdot 4 + 6 \cdot 2 + 4 \cdot 2)$

Вычислим площади пар граней:

• Площадь оснований: $ab = 6 \cdot 4 = 24$ см²
• Площадь передней и задней граней: $ac = 6 \cdot 2 = 12$ см²
• Площадь боковых граней: $bc = 4 \cdot 2 = 8$ см²

Теперь подставим эти значения обратно в формулу:

$S = 2 \cdot (24 + 12 + 8)$

$S = 2 \cdot 44$

$S = 88$ см²

Ответ: 88 см²

608. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 20 см, что на 5 см больше его ширины и в 3 раза меньше его длины. Вычислите площадь поверхности параллелепипеда.

1. Найдём размеры прямоугольного параллелепипеда.

Обозначим длину, ширину и высоту параллелепипеда как $a$, $b$ и $c$ соответственно.

Из условия задачи нам дана высота: $c = 20$ см.

Высота на 5 см больше ширины, следовательно, ширина $b$ на 5 см меньше высоты:

$b = c - 5 = 20 - 5 = 15$ см.

Высота в 3 раза меньше длины, следовательно, длина $a$ в 3 раза больше высоты:

$a = c \cdot 3 = 20 \cdot 3 = 60$ см.

Таким образом, размеры параллелепипеда: $a = 60$ см, $b = 15$ см, $c = 20$ см.

2. Вычислим площадь поверхности параллелепипеда.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

$S = 2(ab + ac + bc)$

Подставим найденные значения в формулу:

$S = 2(60 \cdot 15 + 60 \cdot 20 + 15 \cdot 20)$

Выполним вычисления в скобках:

$S = 2(900 + 1200 + 300)$

$S = 2(2400)$

$S = 4800$ см².

Ответ: $4800$ см².

609. Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда равна 28 см.
Найдите сумму длин трёх его рёбер, имеющих общую вершину.

Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту. Обозначим их как $a$, $b$ и $c$.

У прямоугольного параллелепипеда всего 12 рёбер. При этом имеется по 4 ребра каждой длины: 4 ребра длиной $a$, 4 ребра длиной $b$ и 4 ребра длиной $c$.

Сумма длин всех рёбер ($L$) вычисляется по формуле:

$L = 4a + 4b + 4c$

Формулу можно упростить, вынеся общий множитель за скобки:

$L = 4(a + b + c)$

Согласно условию задачи, сумма длин всех рёбер равна 28 см. Подставим это значение в формулу:

$4(a + b + c) = 28$

Три ребра, имеющие общую вершину, – это как раз три измерения параллелепипеда, то есть рёбра с длинами $a$, $b$ и $c$. Нам нужно найти их сумму: $a + b + c$.

Из полученного уравнения $4(a + b + c) = 28$ выразим сумму $a + b + c$, разделив обе части уравнения на 4:

$a + b + c = \frac{28}{4}$

$a + b + c = 7$

Следовательно, сумма длин трёх рёбер, имеющих общую вершину, составляет 7 см.

Ответ: 7 см.