Страница 157 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

618. Фигуры, изображённые на рисунке 179, сложены из кубиков, рёбра которых равны $1 \text{ см}$. Найдите объём каждой фигуры.

Рис. 179

Объём каждой фигуры равен сумме объёмов кубиков, из которых она состоит. Поскольку ребро каждого кубика равно 1 см, его объём составляет $1 \text{ см} \times 1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 1 \text{ см}^3$. Таким образом, чтобы найти объём каждой фигуры, нужно посчитать количество кубиков в ней. Полученное число будет равно объёму фигуры в кубических сантиметрах.

Левая фигура

Для удобства подсчёта разобьём фигуру на три горизонтальных слоя и посчитаем количество кубиков в каждом, начиная снизу:

– В первом (нижнем) слое: 2 кубика в переднем ряду, 4 в среднем и 4 в заднем. Всего $2 + 4 + 4 = 10$ кубиков.

– Во втором (среднем) слое: 4 кубика образуют задний ряд и 1 кубик расположен над левой частью среднего ряда. Всего $4 + 1 = 5$ кубиков.

– В третьем (верхнем) слое: слой аналогичен второму, в нём также 5 кубиков.

Общее количество кубиков в левой фигуре: $N_1 = 10 + 5 + 5 = 20$.

Следовательно, объём левой фигуры равен $V_1 = 20 \times 1 \text{ см}^3 = 20 \text{ см}^3$.

Ответ: $20 \text{ см}^3$.

Правая фигура

Посчитаем количество кубиков в этой фигуре также по трём горизонтальным слоям:

– В первом (нижнем) слое: основание размером 4 на 4 кубика, в переднем ряду которого отсутствуют 2 кубика. Всего $(4 \times 4) - 2 = 14$ кубиков.

– Во втором (среднем) слое: фигура представляет собой рамку размером 4 на 4 кубика с пустым пространством 2 на 2 кубика в центре. Всего $(4 \times 4) - (2 \times 2) = 16 - 4 = 12$ кубиков.

– В третьем (верхнем) слое: слой полностью идентичен второму, в нём 12 кубиков.

Общее количество кубиков в правой фигуре: $N_2 = 14 + 12 + 12 = 38$.

Следовательно, объём правой фигуры равен $V_2 = 38 \times 1 \text{ см}^3 = 38 \text{ см}^3$.

Ответ: $38 \text{ см}^3$.

619. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 12 м, 15 м и 6 м.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение трёх его измерений: длины, ширины и высоты.

Формула для нахождения объёма ($V$) выглядит так:
$V = a \cdot b \cdot c$,
где $a, b, c$ — это измерения параллелепипеда.

Согласно условию задачи, измерения параллелепипеда равны 12 м, 15 м и 6 м.
Подставим эти значения в формулу:
$V = 12 \cdot 15 \cdot 6$

Выполним вычисления по шагам:
1. Сначала умножим 12 на 15: $12 \cdot 15 = 180$.
2. Затем полученный результат умножим на 6: $180 \cdot 6 = 1080$.

Поскольку измерения даны в метрах, объём будет измеряться в кубических метрах ($м^3$).

Ответ: $1080 \text{ м}^3$

620. Чему равен объём куба, ребро которого равно 6 см?

Для того чтобы найти объём куба, необходимо воспользоваться формулой объёма: $V = a^3$, где $V$ – это объём, а $a$ – длина ребра куба.

В условии задачи дано, что длина ребра куба равна 6 см. Подставим это значение в формулу:

$V = 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6$

Выполним вычисления:

$6 \cdot 6 = 36$

$36 \cdot 6 = 216$

Следовательно, объём куба равен 216 см³.

Ответ: 216 см³

621. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 дм, 8 дм и 4 дм?

Объём прямоугольного параллелепипеда находится как произведение трёх его измерений: длины, ширины и высоты.
Формула для вычисления объёма ($V$):
$V = a \cdot b \cdot c$
где $a, b, c$ — измерения параллелепипеда.
Согласно условию задачи, измерения равны 10 дм, 8 дм и 4 дм.
Подставим данные значения в формулу:
$V = 10 \text{ дм} \cdot 8 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} = 320 \text{ дм}^3$
Выполним вычисления по порядку:
1) $10 \cdot 8 = 80$
2) $80 \cdot 4 = 320$
Следовательно, объём прямоугольного параллелепипеда равен 320 кубическим дециметрам.
Ответ: 320 дм³.

622. Выразите:

1) в кубических миллиметрах: $7 \text{ см}^3$; $38 \text{ см}^3$; $12 \text{ см}^3$ $243 \text{ мм}^3$;
$42 \text{ см}^3$ $68 \text{ мм}^3$; $54 \text{ см}^3$ $4 \text{ мм}^3$; $1 \text{ дм}^3$ $20 \text{ мм}^3$; $18 \text{ дм}^3$ $172 \text{ см}^3$;
$35 \text{ дм}^3$ $67 \text{ см}^3$ $96 \text{ мм}^3$;

2) в кубических дециметрах: $4 \text{ м}^3$; $264 \text{ м}^3$; $10 \text{ м}^3$ $857 \text{ дм}^3$; $28 \text{ м}^3$ $2 \text{ дм}^3$;
$44000 \text{ см}^3$; $5430000 \text{ см}^3$.

1) в кубических миллиметрах:

Для перевода величин в кубические миллиметры ($мм^3$) воспользуемся следующими соотношениями: $1 \text{ см}^3 = 1000 \text{ мм}^3$ и $1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3 = 1000000 \text{ мм}^3$.

$7 \text{ см}^3 = 7 \times 1000 \text{ мм}^3 = 7000 \text{ мм}^3$. Ответ: 7000 мм³.

$38 \text{ см}^3 = 38 \times 1000 \text{ мм}^3 = 38000 \text{ мм}^3$. Ответ: 38000 мм³.

$12 \text{ см}^3 243 \text{ мм}^3 = (12 \times 1000) \text{ мм}^3 + 243 \text{ мм}^3 = 12000 \text{ мм}^3 + 243 \text{ мм}^3 = 12243 \text{ мм}^3$. Ответ: 12243 мм³.

$42 \text{ см}^3 68 \text{ мм}^3 = (42 \times 1000) \text{ мм}^3 + 68 \text{ мм}^3 = 42000 \text{ мм}^3 + 68 \text{ мм}^3 = 42068 \text{ мм}^3$. Ответ: 42068 мм³.

$54 \text{ см}^3 4 \text{ мм}^3 = (54 \times 1000) \text{ мм}^3 + 4 \text{ мм}^3 = 54000 \text{ мм}^3 + 4 \text{ мм}^3 = 54004 \text{ мм}^3$. Ответ: 54004 мм³.

$1 \text{ дм}^3 20 \text{ мм}^3 = 1 \times 1000000 \text{ мм}^3 + 20 \text{ мм}^3 = 1000020 \text{ мм}^3$. Ответ: 1000020 мм³.

$18 \text{ дм}^3 172 \text{ см}^3 = (18 \times 1000000) \text{ мм}^3 + (172 \times 1000) \text{ мм}^3 = 18000000 \text{ мм}^3 + 172000 \text{ мм}^3 = 18172000 \text{ мм}^3$. Ответ: 18172000 мм³.

$35 \text{ дм}^3 67 \text{ см}^3 96 \text{ мм}^3 = (35 \times 1000000) \text{ мм}^3 + (67 \times 1000) \text{ мм}^3 + 96 \text{ мм}^3 = 35000000 \text{ мм}^3 + 67000 \text{ мм}^3 + 96 \text{ мм}^3 = 35067096 \text{ мм}^3$. Ответ: 35067096 мм³.

2) в кубических дециметрах:

Для перевода величин в кубические дециметры ($дм^3$) воспользуемся следующими соотношениями: $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3$ и $1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$.

$4 \text{ м}^3 = 4 \times 1000 \text{ дм}^3 = 4000 \text{ дм}^3$. Ответ: 4000 дм³.

$264 \text{ м}^3 = 264 \times 1000 \text{ дм}^3 = 264000 \text{ дм}^3$. Ответ: 264000 дм³.

$10 \text{ м}^3 857 \text{ дм}^3 = (10 \times 1000) \text{ дм}^3 + 857 \text{ дм}^3 = 10000 \text{ дм}^3 + 857 \text{ дм}^3 = 10857 \text{ дм}^3$. Ответ: 10857 дм³.

$28 \text{ м}^3 2 \text{ дм}^3 = (28 \times 1000) \text{ дм}^3 + 2 \text{ дм}^3 = 28000 \text{ дм}^3 + 2 \text{ дм}^3 = 28002 \text{ дм}^3$. Ответ: 28002 дм³.

$44000 \text{ см}^3 = 44000 \div 1000 \text{ дм}^3 = 44 \text{ дм}^3$. Ответ: 44 дм³.

$5430000 \text{ см}^3 = 5430000 \div 1000 \text{ дм}^3 = 5430 \text{ дм}^3$. Ответ: 5430 дм³.

623. Выразите в кубических сантиметрах: $8 \text{ дм}^3$; $62 \text{ дм}^3$; $378\,000 \text{ мм}^3$; $520\,000 \text{ мм}^3$; $78 \text{ дм}^3 325 \text{ см}^3$; $56 \text{ дм}^3 14 \text{ см}^3$; $8 \text{ м}^3 4 \text{ дм}^3 6 \text{ см}^3$.

Чтобы выразить данные величины в кубических сантиметрах, воспользуемся следующими соотношениями единиц объёма:

• $1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$
• $1 \text{ см}^3 = (10 \text{ мм})^3 = 1000 \text{ мм}^3$, следовательно $1 \text{ мм}^3 = 0.001 \text{ см}^3$
• $1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 1000000 \text{ см}^3$

8 дм³

Для перевода кубических дециметров в кубические сантиметры умножаем значение на 1000.

$8 \text{ дм}^3 = 8 \times 1000 \text{ см}^3 = 8000 \text{ см}^3$.

Ответ: $8000 \text{ см}^3$.

62 дм³

Аналогично предыдущему пункту, умножаем на 1000.

$62 \text{ дм}^3 = 62 \times 1000 \text{ см}^3 = 62000 \text{ см}^3$.

Ответ: $62000 \text{ см}^3$.

378 000 мм³

Для перевода кубических миллиметров в кубические сантиметры делим значение на 1000.

$378000 \text{ мм}^3 = 378000 \div 1000 \text{ см}^3 = 378 \text{ см}^3$.

Ответ: $378 \text{ см}^3$.

520 000 мм³

Аналогично, делим на 1000.

$520000 \text{ мм}^3 = 520000 \div 1000 \text{ см}^3 = 520 \text{ см}^3$.

Ответ: $520 \text{ см}^3$.

78 дм³ 325 см³

Сначала переведем кубические дециметры в кубические сантиметры, а затем сложим с оставшимися кубическими сантиметрами.

$78 \text{ дм}^3 = 78 \times 1000 \text{ см}^3 = 78000 \text{ см}^3$.

$78000 \text{ см}^3 + 325 \text{ см}^3 = 78325 \text{ см}^3$.

Ответ: $78325 \text{ см}^3$.

56 дм³ 14 см³

Переведем кубические дециметры в кубические сантиметры и прибавим оставшуюся часть.

$56 \text{ дм}^3 = 56 \times 1000 \text{ см}^3 = 56000 \text{ см}^3$.

$56000 \text{ см}^3 + 14 \text{ см}^3 = 56014 \text{ см}^3$.

Ответ: $56014 \text{ см}^3$.

8 м³ 4 дм³ 6 см³

Для решения этой задачи необходимо перевести все единицы измерения в кубические сантиметры и сложить результаты.

Переводим кубические метры: $8 \text{ м}^3 = 8 \times 1000000 \text{ см}^3 = 8000000 \text{ см}^3$.

Переводим кубические дециметры: $4 \text{ дм}^3 = 4 \times 1000 \text{ см}^3 = 4000 \text{ см}^3$.

Складываем все части: $8000000 \text{ см}^3 + 4000 \text{ см}^3 + 6 \text{ см}^3 = 8004006 \text{ см}^3$.

Ответ: $8004006 \text{ см}^3$.

624. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 15 дм, длина — на 3 дм больше ширины, а высота — в 3 раза меньше длины. Найдите объём данного параллелепипеда.

Для того чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, необходимо вычислить его длину, ширину и высоту, а затем перемножить полученные значения. Формула для вычисления объёма ($V$) выглядит следующим образом:

$$ V = a \cdot b \cdot c $$

где $a$ – длина, $b$ – ширина, $c$ – высота.

Исходя из условия задачи, выполним вычисления по шагам:

1. Ширина параллелепипеда нам известна:

$$ b = 15 \text{ дм} $$

2. Длина на 3 дм больше ширины. Найдём длину:

$$ a = 15 + 3 = 18 \text{ дм} $$

3. Высота в 3 раза меньше длины. Найдём высоту:

$$ c = 18 \div 3 = 6 \text{ дм} $$

4. Теперь, зная все три измерения, мы можем вычислить объём параллелепипеда, перемножив их:

$$ V = 18 \text{ дм} \cdot 15 \text{ дм} \cdot 6 \text{ дм} = 1620 \text{ дм}^3 $$

Ответ: 1620 дм³.

625. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 20 см, что на 4 см меньше его длины и в 5 раз больше его ширины. Вычислите объём данного параллелепипеда.

Для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда ($V$) необходимо найти его длину ($a$), ширину ($b$) и высоту ($h$). Объём вычисляется по формуле: $V = a \cdot b \cdot h$.

По условию задачи, высота параллелепипеда $h = 20$ см.

Найдём длину. В условии сказано, что высота на 4 см меньше длины, следовательно, длина на 4 см больше высоты:
$a = 20 + 4 = 24$ см.

Найдём ширину. В условии сказано, что высота в 5 раз больше ширины, следовательно, ширина в 5 раз меньше высоты:
$b = 20 / 5 = 4$ см.

Теперь, зная все три измерения (длина – 24 см, ширина – 4 см, высота – 20 см), вычислим объём:
$V = 24 \cdot 4 \cdot 20 = 1920$ см³.

Ответ: 1920 см³.

626. Объем прямоугольного параллелепипеда равен $560 \text{ см}^3$, длина — 14 см, ширина — 8 см. Найдите высоту данного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) равен произведению его длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$). Формула для вычисления объема выглядит следующим образом:
$V = a \cdot b \cdot c$
По условию задачи нам даны:
Объем $V = 560$ см³
Длина $a = 14$ см
Ширина $b = 8$ см

Чтобы найти высоту ($c$), необходимо выразить ее из формулы объема. Для этого нужно разделить объем на произведение длины и ширины (площадь основания):
$c = \frac{V}{a \cdot b}$

Сначала вычислим площадь основания, перемножив длину и ширину:
$S_{осн} = a \cdot b = 14 \cdot 8 = 112$ см²

Теперь разделим объем параллелепипеда на площадь его основания, чтобы найти высоту:
$c = \frac{560}{112} = 5$ см

Ответ: 5 см.