Страница 163 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие задачи называют комбинаторными?

Комбинаторными называют задачи, в которых требуется подсчитать количество различных способов (комбинаций) выбора или расположения элементов из некоторого конечного множества по заданным правилам. Эти задачи являются предметом изучения раздела математики — комбинаторики.

Основная цель таких задач — найти число всех возможных вариантов, не перечисляя их напрямую. Комбинаторика предоставляет специальные методы и формулы для решения подобных проблем.

Типичные вопросы в комбинаторных задачах:

• Сколько существует способов сделать что-либо? (Задачи на подсчет)
• Можно ли составить определенную комбинацию? (Задачи на существование)
• Какая из возможных комбинаций является наилучшей? (Задачи на оптимизацию)

Рассмотрим основные типы комбинаторных задач на примерах:

Перестановки. Задачи, в которых нужно найти количество способов расположить все элементы множества в определенном порядке.

Пример: Сколькими способами можно расставить 4 разные книги на полке?
Решение: На первое место можно поставить любую из 4 книг, на второе — любую из 3 оставшихся, на третье — из 2, и на последнее — оставшуюся 1 книгу. По правилу произведения, общее число способов равно $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
Это число перестановок из 4 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$. В данном случае $P_4 = 4! = 24$.

Размещения. Задачи, в которых нужно выбрать $k$ элементов из $n$ и расположить их в определенном порядке (порядок важен).

Пример: В соревновании по бегу участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться три призовых места (золото, серебро, бронза)?
Решение: На первое место может претендовать любой из 10 спортсменов, на второе — любой из 9 оставшихся, на третье — любой из 8. Общее число способов: $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.
Это число размещений из 10 по 3, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В данном случае $A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.

Сочетания. Задачи, в которых нужно выбрать $k$ элементов из $n$ без учета порядка (порядок не важен).

Пример: В классе 15 учеников. Сколькими способами можно выбрать из них троих для участия в олимпиаде?
Решение: Здесь порядок выбора не имеет значения. Если бы порядок был важен, мы бы получили $A_{15}^3$ вариантов. Но поскольку тройки учеников {Иванов, Петров, Сидоров}, {Петров, Иванов, Сидоров} и т.д. — это одна и та же команда, нужно разделить результат на число перестановок в группе из трех человек ($P_3 = 3! = 6$).
Число сочетаний из 15 по 3 вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В данном случае $C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3! \cdot 12!} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 455$.

Ответ: Комбинаторными называют задачи, в которых требуется подсчитать количество возможных комбинаций, составленных из элементов конечного множества по определенным правилам, или исследовать свойства этих комбинаций.

2. Как называют схему, с помощью которой удобно и наглядно решать комбинаторные задачи?

Схема, с помощью которой удобно и наглядно решают комбинаторные задачи, называется дерево возможных вариантов (также известное как дерево вариантов или дерево решений). Этот графический метод позволяет систематически перечислить все возможные комбинации или исходы в задаче, где выбор происходит поэтапно.

Построение такого дерева начинается с точки, называемой «корнем», которая символизирует начало процесса выбора. Из этой точки проводятся линии («ветви»), каждая из которых соответствует одному из возможных вариантов на первом шаге. Затем от конца каждой из этих ветвей проводятся новые ветви, соответствующие вариантам выбора на втором шаге, и так далее. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут исчерпаны все шаги выбора. Каждая конечная точка на последнем уровне («лист» дерева) представляет собой один уникальный и полный вариант решения задачи. Общее количество возможных вариантов равно общему числу «листьев» на дереве.

Например, при подбрасывании монеты дважды дерево вариантов будет выглядеть так: от корня отходят две ветви — «орёл» (О) и «решка» (Р). От конца каждой из этих ветвей снова отходят по две ветви (О и Р). В результате мы получаем 4 листа, которые представляют все возможные исходы: ОО, ОР, РО, РР.

Этот метод особенно полезен для начинающих, так как он делает процесс решения интуитивно понятным и помогает избежать пропуска каких-либо комбинаций.

Ответ: дерево возможных вариантов.

1. Одним слоем бумаги оклеили куб, длина ребра которого равна 3 дм. Сколько квадратных дециметров бумаги потребовалось на оклеивание куба?

Для того чтобы найти, сколько квадратных дециметров бумаги потребовалось на оклеивание куба, необходимо вычислить площадь его полной поверхности.

Куб имеет 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом. Длина ребра куба (и сторона каждой грани) по условию равна $a = 3$ дм.

Сначала вычислим площадь одной грани куба по формуле площади квадрата $S = a^2$:
$S_{грани} = 3^2 = 9$ дм²

Площадь полной поверхности куба равна сумме площадей всех его шести граней. Так как все грани одинаковы, мы можем умножить площадь одной грани на 6:
$S_{полная} = 6 \times S_{грани} = 6 \times 9 = 54$ дм²

Таким образом, количество бумаги, которое потребовалось на оклеивание куба, равно площади его полной поверхности.
Ответ: 54 квадратных дециметра.

2. Объём прямоугольного параллелепипеда равен $240 \text{ см}^3$. Какая из следующих троек чисел может задавать измерения этого параллелепипеда:

1) $4 \text{ см}$, $6 \text{ см}$, $12 \text{ см}$;

2) $5 \text{ см}$, $6 \text{ см}$, $8 \text{ см}$;

3) $3 \text{ см}$, $5 \text{ см}$, $10 \text{ см}$;

4) $10 \text{ см}$, $10 \text{ см}$, $24 \text{ см}$?

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) равен произведению трёх его измерений — длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$). Формула для вычисления объёма: $V = a \cdot b \cdot c$.

Согласно условию, объём параллелепипеда равен 240 см³. Чтобы определить, какая из предложенных троек чисел может задавать его измерения, необходимо проверить каждую из них, вычислив произведение чисел.

1) 4 см, 6 см, 12 см;

Вычислим объём для этих измерений:
$V = 4 \cdot 6 \cdot 12 = 24 \cdot 12 = 288$ см³.
Поскольку $288 \neq 240$, этот вариант не является правильным.

2) 5 см, 6 см, 8 см;

Вычислим объём для этих измерений:
$V = 5 \cdot 6 \cdot 8 = 30 \cdot 8 = 240$ см³.
Поскольку $240 = 240$, этот вариант является правильным.

3) 3 см, 5 см, 10 см;

Вычислим объём для этих измерений:
$V = 3 \cdot 5 \cdot 10 = 15 \cdot 10 = 150$ см³.
Поскольку $150 \neq 240$, этот вариант не является правильным.

4) 10 см, 10 см, 24 см?

Вычислим объём для этих измерений:
$V = 10 \cdot 10 \cdot 24 = 100 \cdot 24 = 2400$ см³.
Поскольку $2400 \neq 240$, этот вариант не является правильным.

Таким образом, единственная тройка чисел, произведение которых равно 240, это 5, 6 и 8.
Ответ: 2) 5 см, 6 см, 8 см.

3. Сколько центнеров пшеницы можно засыпать в бункер, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 8 м, ширина — 2 м, высота — 1 м, а масса $1 \text{ м}^3$ зерна составляет 8 ц?

Для того чтобы определить, сколько центнеров пшеницы можно засыпать в бункер, необходимо сначала вычислить объем этого бункера, а затем умножить полученный объем на массу зерна, помещающуюся в один кубический метр.

1. Вычисление объема бункера

Бункер имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Объем ($V$) прямоугольного параллелепипеда находится по формуле:

$V = a \cdot b \cdot c$

где $a$ — длина, $b$ — ширина, а $c$ — высота.

Согласно условию задачи, размеры бункера следующие:

• Длина $a = 8$ м
• Ширина $b = 2$ м
• Высота $c = 1$ м

Подставим эти значения в формулу для нахождения объема:

$V = 8 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} \cdot 1 \text{ м} = 16 \text{ м}^3$

Таким образом, объем бункера равен 16 кубическим метрам.

2. Вычисление массы пшеницы

В условии сказано, что масса 1 м³ зерна составляет 8 центнеров (ц). Чтобы найти общую массу пшеницы, которую можно засыпать в бункер, нужно умножить объем бункера на массу зерна в 1 м³.

Масса пшеницы = $V \cdot (\text{масса 1 м³ зерна})$

Масса пшеницы = $16 \text{ м}^3 \cdot 8 \frac{\text{ц}}{\text{м}^3} = 128 \text{ ц}$

Следовательно, в бункер можно засыпать 128 центнеров пшеницы.

Ответ: 128 центнеров.

4. Что больше и на сколько:

1) квадрат суммы чисел 4 и 3 ($ (4+3)^2 $) или сумма их квадратов ($ 4^2+3^2 $);

2) разность квадратов чисел 10 и 8 ($ 10^2 - 8^2 $) или квадрат их разности ($ (10-8)^2 $);

3) разность кубов чисел 5 и 3 ($ 5^3 - 3^3 $) или куб их разности ($ (5-3)^3 $)?

1) Сравним квадрат суммы чисел 4 и 3 и сумму их квадратов.

Сначала найдем квадрат суммы чисел 4 и 3. Сумма чисел равна $4 + 3 = 7$. Квадрат этой суммы равен $7^2 = 49$. Запишем в виде выражения: $(4 + 3)^2 = 7^2 = 49$.

Теперь найдем сумму их квадратов. Квадрат числа 4 равен $4^2 = 16$. Квадрат числа 3 равен $3^2 = 9$. Сумма квадратов равна $16 + 9 = 25$. Запишем в виде выражения: $4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.

Сравниваем полученные результаты: $49 > 25$.

Найдем разницу между ними: $49 - 25 = 24$.

Ответ: квадрат суммы чисел 4 и 3 больше суммы их квадратов на 24.

2) Сравним разность квадратов чисел 10 и 8 и квадрат их разности.

Сначала найдем разность квадратов чисел 10 и 8. Квадрат числа 10 равен $10^2 = 100$. Квадрат числа 8 равен $8^2 = 64$. Разность квадратов равна $100 - 64 = 36$. Запишем в виде выражения: $10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$.

Теперь найдем квадрат их разности. Разность чисел равна $10 - 8 = 2$. Квадрат этой разности равен $2^2 = 4$. Запишем в виде выражения: $(10 - 8)^2 = 2^2 = 4$.

Сравниваем полученные результаты: $36 > 4$.

Найдем разницу между ними: $36 - 4 = 32$.

Ответ: разность квадратов чисел 10 и 8 больше квадрата их разности на 32.

3) Сравним разность кубов чисел 5 и 3 и куб их разности.

Сначала найдем разность кубов чисел 5 и 3. Куб числа 5 равен $5^3 = 125$. Куб числа 3 равен $3^3 = 27$. Разность кубов равна $125 - 27 = 98$. Запишем в виде выражения: $5^3 - 3^3 = 125 - 27 = 98$.

Теперь найдем куб их разности. Разность чисел равна $5 - 3 = 2$. Куб этой разности равен $2^3 = 8$. Запишем в виде выражения: $(5 - 3)^3 = 2^3 = 8$.

Сравниваем полученные результаты: $98 > 8$.

Найдем разницу между ними: $98 - 8 = 90$.

Ответ: разность кубов чисел 5 и 3 больше куба их разности на 90.

645. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 1, 2 и 3 (цифры могут повторяться).

Чтобы найти все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 1, 2 и 3, нужно рассмотреть все возможные комбинации для разряда десятков и разряда единиц. Поскольку цифры могут повторяться, для каждого разряда мы можем выбрать любую из трёх цифр.

Давайте systematically переберем все варианты.

1. Пусть цифра в разряде десятков — 1. Тогда в разряде единиц может быть 1, 2 или 3. Мы получаем числа: 11, 12, 13.
2. Пусть цифра в разряде десятков — 2. Тогда в разряде единиц также может быть 1, 2 или 3. Мы получаем числа: 21, 22, 23.
3. Пусть цифра в разряде десятков — 3. Тогда в разряде единиц снова может быть 1, 2 или 3. Мы получаем числа: 31, 32, 33.

Теперь объединим все найденные числа в один список.

Также можно рассчитать общее количество таких чисел. На позицию десятков есть 3 варианта выбора цифры (1, 2 или 3). На позицию единиц также есть 3 варианта выбора. Общее количество двузначных чисел равно произведению вариантов: $3 \times 3 = 9$.

Ответ: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.

646. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 1, 2 и 0 (цифры могут повторяться).

Чтобы найти все двузначные числа, записанные с помощью цифр 1, 2 и 0, нужно рассмотреть возможные варианты для цифры десятков и цифры единиц.

Двузначное число состоит из двух разрядов: десятков и единиц.

1. На месте десятков (первая цифра) не может стоять 0, так как в этом случае число будет однозначным. Следовательно, для первой цифры возможны два варианта: 1 или 2.

2. На месте единиц (вторая цифра) может стоять любая из предложенных цифр: 1, 2 или 0. Здесь у нас три варианта.

Теперь составим все возможные комбинации, перебирая варианты:

- Если первая цифра — 1, то второй цифрой могут быть 0, 1 или 2. Получаем числа: 10, 11, 12.

- Если первая цифра — 2, то второй цифрой также могут быть 0, 1 или 2. Получаем числа: 20, 21, 22.

Таким образом, мы получили все возможные двузначные числа, составленные из данных цифр.

Ответ: 10, 11, 12, 20, 21, 22.

647. У ослика Иа-Иа есть три надувных шарика: красный, зелёный и жёлтый. Он хочет подарить по одному шарику своим друзьям: Винни-Пуху, Пятачку и Кролику. Сколько у ослика Иа-Иа есть вариантов сделать подарки своим друзьям?

Это задача из комбинаторики, в которой нужно найти количество способов распределить 3 различных предмета (шарики) между 3 различными получателями (друзьями). Такая задача решается с помощью нахождения числа перестановок.

Давайте рассуждать последовательно:

1. Первому другу (например, Винни-Пуху) Иа-Иа может подарить любой из трёх шариков. Таким образом, у него есть 3 варианта выбора.
2. После того как один шарик подарен, для второго друга (Пятачка) остаётся на выбор 2 шарика. Следовательно, есть 2 варианта.
3. Третьему другу (Кролику) достанется последний оставшийся шарик, поэтому для него остаётся только 1 вариант.

Чтобы найти общее число возможных вариантов, нужно перемножить число вариантов на каждом шаге. Это соответствует числу перестановок из 3 элементов, которое вычисляется по формуле факториала:
$P_n = n!$
В нашем случае $n=3$:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
Таким образом, у ослика Иа-Иа есть 6 разных способов сделать подарки своим друзьям.
Ответ: 6.

648. Сколько двузначных чисел, все цифры которых различны, можно составить из цифр 0, 1 и 2?

Для составления двузначного числа из предложенных цифр {0, 1, 2} необходимо выбрать две различные цифры. Обозначим искомое число как $AB$, где $A$ — цифра десятков, а $B$ — цифра единиц.

1. Выбор первой цифры (десятки).
Первая цифра двузначного числа не может быть нулём. Следовательно, на место цифры $A$ можно поставить либо 1, либо 2. Таким образом, у нас есть 2 варианта для выбора первой цифры.

2. Выбор второй цифры (единицы).
По условию, все цифры числа должны быть различны, то есть $A \ne B$. После того как мы выбрали первую цифру, для второй цифры остаются две возможные из набора {0, 1, 2}.

• Если первая цифра $A = 1$, то для второй цифры $B$ остаются варианты {0, 2}. Можно составить числа: 10 и 12.
• Если первая цифра $A = 2$, то для второй цифры $B$ остаются варианты {0, 1}. Можно составить числа: 20 и 21.

Таким образом, мы можем составить 4 различных двузначных числа: 10, 12, 20, 21.

Используя правило умножения в комбинаторике, количество вариантов равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $2 \text{ (варианта для первой цифры)} \times 2 \text{ (варианта для второй цифры)} = 4 \text{ числа}$.

Ответ: 4

649. В футбольном турнире участвуют команды 5 «А» класса, 5 «Б» класса и 5 «В» класса. Сколько существует способов распределения первого и второго мест среди этих команд? Решение какой задачи из номеров 645—648 аналогично решению этой задачи?

Сколько существует способов распределения первого и второго мест среди этих команд?

В турнире участвуют 3 команды: 5 «А», 5 «Б» и 5 «В». Нам необходимо найти количество способов распределения первого и второго призовых мест между ними. Эта задача относится к разделу комбинаторики и решается с помощью нахождения числа размещений, так как порядок команд важен (первое и второе место — это разные результаты).

Можно рассуждать следующим образом:

1. На первое место может претендовать любая из трёх команд. Следовательно, есть 3 варианта для победителя.
2. После того как победитель определён, на второе место может претендовать любая из двух оставшихся команд. Следовательно, есть 2 варианта для серебряного призёра.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить число вариантов для каждого места (по правилу умножения в комбинаторике):

$3 \times 2 = 6$

Также можно использовать формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае общее число команд $n=3$, а количество призовых мест $k=2$.

$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Все возможные варианты распределения мест:

• 1-е место: 5 «А», 2-е место: 5 «Б»
• 1-е место: 5 «А», 2-е место: 5 «В»
• 1-е место: 5 «Б», 2-е место: 5 «А»
• 1-е место: 5 «Б», 2-е место: 5 «В»
• 1-е место: 5 «В», 2-е место: 5 «А»
• 1-е место: 5 «В», 2-е место: 5 «Б»

Ответ: Существует 6 способов распределения первого и второго мест.

Решение какой задачи из номеров 645–648 аналогично решению этой задачи?

Решение этой задачи аналогично решению любой другой задачи на нахождение числа размещений без повторений. Это задачи, в которых из некоторого множества объектов нужно выбрать несколько и расположить их в определённом порядке, причём важен не только состав выборки, но и порядок следования элементов в ней.

Например, аналогичной будет задача: «Сколькими способами можно составить двузначное число из цифр 1, 2, 3 так, чтобы цифры не повторялись?». Здесь так же, как и в исходной задаче, из 3 элементов нужно выбрать 2, и их порядок важен (числа 12 и 21 различны). Решение будет идентичным: $A_3^2 = 3 \times 2 = 6$.

Без текста задач 645–648 невозможно указать конкретный номер, но аналогичной будет та, которая также сводится к вычислению числа размещений.

Ответ: Аналогичной является задача на нахождение числа размещений, где из некоторого количества элементов нужно выбрать несколько, и важен порядок их расположения.