Номер 1, страница 163 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 24. Комбинаторные задачи. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 1, страница 163.

1. Какие задачи называют комбинаторными?

1. Какие задачи называют комбинаторными?

Комбинаторными называют задачи, в которых требуется подсчитать количество различных способов (комбинаций) выбора или расположения элементов из некоторого конечного множества по заданным правилам. Эти задачи являются предметом изучения раздела математики — комбинаторики.

Основная цель таких задач — найти число всех возможных вариантов, не перечисляя их напрямую. Комбинаторика предоставляет специальные методы и формулы для решения подобных проблем.

Типичные вопросы в комбинаторных задачах:

• Сколько существует способов сделать что-либо? (Задачи на подсчет)
• Можно ли составить определенную комбинацию? (Задачи на существование)
• Какая из возможных комбинаций является наилучшей? (Задачи на оптимизацию)

Рассмотрим основные типы комбинаторных задач на примерах:

Перестановки. Задачи, в которых нужно найти количество способов расположить все элементы множества в определенном порядке.

Пример: Сколькими способами можно расставить 4 разные книги на полке?
Решение: На первое место можно поставить любую из 4 книг, на второе — любую из 3 оставшихся, на третье — из 2, и на последнее — оставшуюся 1 книгу. По правилу произведения, общее число способов равно $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
Это число перестановок из 4 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$. В данном случае $P_4 = 4! = 24$.

Размещения. Задачи, в которых нужно выбрать $k$ элементов из $n$ и расположить их в определенном порядке (порядок важен).

Пример: В соревновании по бегу участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться три призовых места (золото, серебро, бронза)?
Решение: На первое место может претендовать любой из 10 спортсменов, на второе — любой из 9 оставшихся, на третье — любой из 8. Общее число способов: $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.
Это число размещений из 10 по 3, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В данном случае $A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.

Сочетания. Задачи, в которых нужно выбрать $k$ элементов из $n$ без учета порядка (порядок не важен).

Пример: В классе 15 учеников. Сколькими способами можно выбрать из них троих для участия в олимпиаде?
Решение: Здесь порядок выбора не имеет значения. Если бы порядок был важен, мы бы получили $A_{15}^3$ вариантов. Но поскольку тройки учеников {Иванов, Петров, Сидоров}, {Петров, Иванов, Сидоров} и т.д. — это одна и та же команда, нужно разделить результат на число перестановок в группе из трех человек ($P_3 = 3! = 6$).
Число сочетаний из 15 по 3 вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В данном случае $C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3! \cdot 12!} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 455$.

Ответ: Комбинаторными называют задачи, в которых требуется подсчитать количество возможных комбинаций, составленных из элементов конечного множества по определенным правилам, или исследовать свойства этих комбинаций.