Номер 644, страница 159 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

644. В записи первого трёхзначного числа используются только цифры 2 и 3, а в записи второго — только цифры 3 и 4. Может ли произведение этих чисел записываться только цифрами 2 и 4?

Обозначим первое трёхзначное число, состоящее из цифр 2 и 3, как $A$, а второе трёхзначное число, состоящее из цифр 3 и 4, как $B$.

Определим диапазон возможных значений для чисел $A$ и $B$.

Число $A$ должно быть не меньше наименьшего трёхзначного числа из цифр 2 и 3 (это 222) и не больше наибольшего (это 333). Таким образом, $222 \le A \le 333$.

Аналогично, число $B$ должно быть не меньше наименьшего трёхзначного числа из цифр 3 и 4 (это 333) и не больше наибольшего (это 444). Таким образом, $333 \le B \le 444$.

Теперь найдём диапазон возможных значений для их произведения $P = A \times B$. Для этого вычислим минимальное и максимальное возможные произведения.

Минимальное значение произведения $P_{min}$ равно произведению минимальных значений $A$ и $B$:
$P_{min} = 222 \times 333 = 73926$.

Максимальное значение произведения $P_{max}$ равно произведению максимальных значений $A$ и $B$:
$P_{max} = 333 \times 444 = 147852$.

Таким образом, если такое произведение $P$ существует, оно должно находиться в интервале от 73926 до 147852, то есть $73926 \le P \le 147852$.

По условию задачи, число $P$ должно состоять только из цифр 2 и 4. Проверим, могут ли такие числа находиться в найденном диапазоне.

Рассмотрим числа, состоящие только из цифр 2 и 4, и сравним их с диапазоном $[73926, 147852]$.

• Наибольшее пятизначное число, которое можно составить из цифр 2 и 4, — это 44444. Это число меньше, чем минимальное возможное значение произведения ($44444 < 73926$). Следовательно, $P$ не может быть пятизначным числом.
• Наименьшее шестизначное число, которое можно составить из цифр 2 и 4, — это 222222. Это число больше, чем максимальное возможное значение произведения ($222222 > 147852$). Следовательно, $P$ не может быть шестизначным числом.

Любое число из цифр 2 и 4, имеющее более шести знаков, будет ещё больше, чем 222222, и, очевидно, не попадёт в нужный диапазон. Таким образом, не существует ни одного числа, состоящего только из цифр 2 и 4, которое бы находилось в диапазоне от 73926 до 147852.

Ответ: Нет, не может.