Номер 649, страница 163 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

649. В футбольном турнире участвуют команды 5 «А» класса, 5 «Б» класса и 5 «В» класса. Сколько существует способов распределения первого и второго мест среди этих команд? Решение какой задачи из номеров 645—648 аналогично решению этой задачи?

Сколько существует способов распределения первого и второго мест среди этих команд?

В турнире участвуют 3 команды: 5 «А», 5 «Б» и 5 «В». Нам необходимо найти количество способов распределения первого и второго призовых мест между ними. Эта задача относится к разделу комбинаторики и решается с помощью нахождения числа размещений, так как порядок команд важен (первое и второе место — это разные результаты).

Можно рассуждать следующим образом:

1. На первое место может претендовать любая из трёх команд. Следовательно, есть 3 варианта для победителя.
2. После того как победитель определён, на второе место может претендовать любая из двух оставшихся команд. Следовательно, есть 2 варианта для серебряного призёра.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить число вариантов для каждого места (по правилу умножения в комбинаторике):

$3 \times 2 = 6$

Также можно использовать формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае общее число команд $n=3$, а количество призовых мест $k=2$.

$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Все возможные варианты распределения мест:

• 1-е место: 5 «А», 2-е место: 5 «Б»
• 1-е место: 5 «А», 2-е место: 5 «В»
• 1-е место: 5 «Б», 2-е место: 5 «А»
• 1-е место: 5 «Б», 2-е место: 5 «В»
• 1-е место: 5 «В», 2-е место: 5 «А»
• 1-е место: 5 «В», 2-е место: 5 «Б»

Ответ: Существует 6 способов распределения первого и второго мест.

Решение какой задачи из номеров 645–648 аналогично решению этой задачи?

Решение этой задачи аналогично решению любой другой задачи на нахождение числа размещений без повторений. Это задачи, в которых из некоторого множества объектов нужно выбрать несколько и расположить их в определённом порядке, причём важен не только состав выборки, но и порядок следования элементов в ней.

Например, аналогичной будет задача: «Сколькими способами можно составить двузначное число из цифр 1, 2, 3 так, чтобы цифры не повторялись?». Здесь так же, как и в исходной задаче, из 3 элементов нужно выбрать 2, и их порядок важен (числа 12 и 21 различны). Решение будет идентичным: $A_3^2 = 3 \times 2 = 6$.

Без текста задач 645–648 невозможно указать конкретный номер, но аналогичной будет та, которая также сводится к вычислению числа размещений.

Ответ: Аналогичной является задача на нахождение числа размещений, где из некоторого количества элементов нужно выбрать несколько, и важен порядок их расположения.