Страница 167 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какую из данных единиц измерения используют при измерении площади?

А) $1 \text{ см}$

Б) $1 \text{ с}$

В) $1 \text{ га}$

Г) $1 \text{ г}$

Чтобы ответить на вопрос, необходимо определить, какая из предложенных единиц измерения относится к измерению площади.

Площадь — это физическая величина, определяющая размер поверхности. Основные единицы измерения площади являются производными от единиц длины, например, квадратный метр ($м^2$), квадратный сантиметр ($см^2$) и т.д. Также существуют специальные единицы для измерения площади, в основном земельных участков, такие как ар (сотка), гектар и другие.

Рассмотрим каждый из предложенных вариантов:

А) 1 см
Сантиметр (см) — это единица измерения длины. Для измерения площади используют квадратные сантиметры ($см^2$). Следовательно, этот вариант не подходит.

Б) 1 с
Секунда (с) — это единица измерения времени. Она не используется для измерения площади. Следовательно, этот вариант не подходит.

В) 1 га
Гектар (га) — это внесистемная единица измерения площади. Один гектар равен площади квадрата со стороной 100 метров. Таким образом, $1 \ га = 100 \ м \times 100 \ м = 10 000 \ м^2$. Гектар используется для измерения площади, особенно больших земельных участков. Этот вариант подходит.

Г) 1 г
Грамм (г) — это единица измерения массы. Она не используется для измерения площади. Следовательно, этот вариант не подходит.

Из всех перечисленных вариантов только гектар (га) является единицей измерения площади.

Ответ: В) 1 га

2. Чему равен корень уравнения $(x - 28) \cdot 16 = 1632$?

А) 130 Б) 120 В) 60 Г) 40

Для того чтобы найти корень уравнения $(x - 28) \cdot 16 = 1632$, необходимо найти значение переменной $x$.

Сначала, чтобы выделить выражение в скобках, разделим обе части уравнения на 16. В данном уравнении $(x - 28)$ является неизвестным множителем, 16 — известным множителем, а 1632 — произведением. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

$x - 28 = 1632 \div 16$

Выполним деление столбиком или в уме:

$1632 \div 16 = 102$

Теперь уравнение принимает вид:

$x - 28 = 102$

В этом уравнении $x$ является уменьшаемым, 28 — вычитаемым, а 102 — разностью. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x = 102 + 28$

Выполним сложение:

$x = 130$

Корень уравнения равен 130, что соответствует варианту А).

Проверка:

Подставим найденное значение $x=130$ в исходное уравнение:

$(130 - 28) \cdot 16 = 102 \cdot 16 = 1632$

$1632 = 1632$

Равенство верное, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: 130.

3. Упростите выражение $52 \cdot m \cdot 3$.

А) $156m$

Б) $52m$

В) $55m$

Г) $126m$

Для того чтобы упростить выражение $52 \cdot m \cdot 3$, необходимо использовать сочетательное свойство умножения. Это свойство позволяет нам перемножать множители в любом порядке.

Сгруппируем числовые множители и выполним их умножение:

$52 \cdot m \cdot 3 = (52 \cdot 3) \cdot m$

Вычислим произведение чисел 52 и 3:

$52 \cdot 3 = 156$

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение:

$156 \cdot m = 156m$

Полученное выражение $156m$ соответствует варианту ответа А).

Ответ: А) $156m$

4. Укажите верное равенство.

А) $2(5 + x) = 5 + 2x$

Б) $2(5 + x) = 10 + x$

В) $2(5 + x) = 12x$

Г) $2(5 + x) = 10 + 2x$

Чтобы найти верное равенство, необходимо раскрыть скобки в левой части выражения $2(5 + x)$ и сравнить результат с правой частью в каждом из вариантов. Для раскрытия скобок используется распределительный закон умножения относительно сложения: $a(b + c) = ab + ac$.

Применим этот закон к выражению $2(5 + x)$:

$2(5 + x) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot x = 10 + 2x$

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов ответа, подставляя полученное выражение $10 + 2x$ вместо $2(5 + x)$.

А) $2(5 + x) = 5 + 2x$

Подставляем раскрытое выражение: $10 + 2x = 5 + 2x$. Это равенство неверно, так как $10 \neq 5$.

Б) $2(5 + x) = 10 + x$

Подставляем: $10 + 2x = 10 + x$. Это равенство верно только при $x=0$, но не для всех возможных значений $x$, следовательно, оно не является тождественно верным.

В) $2(5 + x) = 12x$

Подставляем: $10 + 2x = 12x$. Это равенство не является тождеством.

Г) $2(5 + x) = 10 + 2x$

Подставляем: $10 + 2x = 10 + 2x$. Это равенство верно при любом значении $x$, так как левая и правая части полностью совпадают. Это и есть верное равенство (тождество).

Ответ: Г

5. Чему равен корень уравнения $7x + x - 5x = 132$?

А) 66

Б) 44

В) 12

Г) 11

Для того чтобы найти корень уравнения, необходимо решить его относительно переменной $x$.

Дано уравнение:

$7x + x - 5x = 132$

В левой части уравнения находятся подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной $x$). Упростим левую часть, выполнив действия с коэффициентами при $x$:

$(7 + 1 - 5)x = 132$

Вычисляем значение в скобках:

$8x - 5x = 132$

$3x = 132$

Теперь, чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на 3:

$x = \frac{132}{3}$

$x = 44$

Корень уравнения равен 44. Этот вариант соответствует ответу Б).

Ответ: 44

6. Укажите число, которое может быть остатком при делении натурального числа $a$ на 98.

А) 102 Б) 100 В) 98 Г) 96

Согласно определению деления с остатком, при делении натурального числа a (делимое) на натуральное число d (делитель), остаток r должен быть неотрицательным и строго меньше делителя. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 \le r < d$.

В условии задачи делитель d = 98. Следовательно, остаток r при делении на 98 должен удовлетворять условию $0 \le r < 98$.

Рассмотрим каждый из предложенных вариантов ответа:

А) 102

Это число не удовлетворяет условию $r < 98$, так как $102 > 98$. Остаток не может быть больше делителя.

Б) 100

Это число также не удовлетворяет условию $r < 98$, так как $100 > 98$.

В) 98

Это число не удовлетворяет условию строгого неравенства $r < 98$, так как $98 = 98$. Остаток должен быть строго меньше делителя.

Г) 96

Это число удовлетворяет условию $0 \le 96 < 98$. Следовательно, 96 может быть остатком при делении на 98. Например, при делении числа 194 на 98, получаем $194 = 1 \cdot 98 + 96$.

Таким образом, единственное число из предложенных, которое может быть остатком при делении на 98, это 96.

Ответ: Г) 96

7. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 18 км, одновременно в одном направлении отправились пешеход и велосипедист. Пешеход шёл впереди со скоростью $3 \text{ км/ч}$, а велосипедист ехал со скоростью $12 \text{ км/ч}$. Через сколько часов после начала движения велосипедист догонит пешехода?

А) 1 ч

Б) 2 ч

В) 3 ч

Г) 4 ч

Это задача на движение вдогонку. Для её решения нужно найти скорость сближения велосипедиста и пешехода.

Дано:

• Расстояние между сёлами (начальное расстояние между пешеходом и велосипедистом), $S = 18$ км.
• Скорость пешехода, $v_{пеш} = 3$ км/ч.
• Скорость велосипедиста, $v_{вел} = 12$ км/ч.

1. Найдём скорость сближения.

Поскольку велосипедист и пешеход движутся в одном направлении, и велосипедист догоняет пешехода, скорость их сближения будет равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_{вел} - v_{пеш} = 12 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$.

Это значит, что каждый час расстояние между ними сокращается на 9 км.

2. Найдём время до встречи.

Чтобы найти время ($t$), через которое велосипедист догонит пешехода, нужно начальное расстояние ($S$) разделить на скорость сближения ($v_{сбл}$):

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{18 \text{ км}}{9 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$.

Таким образом, велосипедист догонит пешехода через 2 часа. Среди предложенных вариантов это ответ Б).

Ответ: Б) 2 ч

8. В каждом подъезде на каждом этаже девятиэтажного дома расположено по восемь квартир. Найдите номер этажа, на котором находится квартира № 173.

А) 3

Б) 4

В) 5

Г) 6

Для того чтобы найти номер этажа, на котором находится квартира № 173, необходимо выполнить последовательность вычислений.

1. Рассчитаем количество квартир в одном подъезде.

В доме 9 этажей, на каждом из которых по 8 квартир. Таким образом, общее количество квартир в одном подъезде составляет:

$9 \text{ этажей} \times 8 \text{ квартир/этаж} = 72 \text{ квартиры}$

2. Определим номер подъезда для квартиры № 173.

Чтобы узнать, в каком подъезде находится квартира, разделим ее номер на количество квартир в одном подъезде:

$173 \div 72 = 2 \text{ (остаток } 29)$

Это означает, что первые два подъезда полностью заселены ($2 \times 72 = 144 \text{ квартиры}$), а квартира № 173 находится в следующем, то есть в 3-м подъезде.

3. Найдем порядковый номер квартиры внутри своего подъезда.

Для этого из номера искомой квартиры вычтем общее число квартир в предыдущих подъездах:

$173 - (2 \times 72) = 173 - 144 = 29$

Итак, квартира № 173 является 29-й по счету в 3-м подъезде.

4. Найдем номер этажа.

Зная, что на каждом этаже по 8 квартир, разделим порядковый номер квартиры в подъезде (29) на количество квартир на этаже:

$29 \div 8 = 3 \text{ (остаток } 5)$

Целая часть от деления (3) показывает количество полностью занятых этажей перед искомым. Наличие остатка означает, что квартира находится на следующем этаже. Таким образом, квартира расположена на $3 + 1 = 4$ этаже.

Этот же результат можно получить, округлив частное в большую сторону:

$\lceil \frac{29}{8} \rceil = \lceil 3.625 \rceil = 4$

Следовательно, квартира № 173 находится на 4-м этаже.

Ответ: 4

9. Стену длиной 6 м и высотой 3 м хотят выложить кафелем. Одна кафельная плитка имеет форму квадрата со стороной 15 см, а в одном ящике — 150 плиток. Какое наименьшее количество ящиков с кафелем надо приобрести для запланированной работы?

А) 4 ящика

Б) 5 ящиков

В) 6 ящиков

Г) 7 ящиков

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Приведение размеров к единой системе измерения.
Размеры стены даны в метрах, а размеры плитки — в сантиметрах. Переведем размеры стены в сантиметры для удобства расчетов.
Длина стены: $6 \text{ м} = 6 \times 100 \text{ см} = 600 \text{ см}$.
Высота стены: $3 \text{ м} = 3 \times 100 \text{ см} = 300 \text{ см}$.

2. Расчет необходимого количества плиток.
Сначала найдем, сколько плиток поместится по длине и высоте стены.
Количество плиток в одном ряду по длине: $600 \text{ см} / 15 \text{ см} = 40$ плиток.
Количество плиток в одном столбце по высоте: $300 \text{ см} / 15 \text{ см} = 20$ плиток.
Теперь вычислим общее количество плиток, умножив количество плиток по длине на количество по высоте.
Общее количество плиток: $40 \times 20 = 800$ штук.

3. Расчет количества ящиков с плиткой.
В одном ящике находится 150 плиток. Чтобы найти необходимое количество ящиков, разделим общее количество требуемых плиток на количество плиток в одном ящике.
Количество ящиков: $800 / 150 \approx 5.33$.
Так как ящики продаются только целиком, необходимое количество нужно округлить до ближайшего целого числа в большую сторону. Пяти ящиков будет недостаточно, так как $5 \times 150 = 750$ плиток, а требуется 800. Следовательно, необходимо приобрести 6 ящиков.

4. Проверка.
При покупке 6 ящиков мы получим $6 \times 150 = 900$ плиток, что достаточно для покрытия всей стены.

Ответ: В) 6 ящиков.

10. Объём аквариума равен 120 000 $\text{см}^3$. Найдите высоту аквариума, если его длина равна 60 см, а ширина – 40 см.

А) 5 000 см

Б) 500 см

В) 50 см

Г) 5 см

Для решения этой задачи используется формула объёма прямоугольного параллелепипеда (которым является аквариум):
$V = l \cdot w \cdot h$
где $V$ – объём, $l$ – длина, $w$ – ширина, а $h$ – высота.

Из условия задачи нам известны следующие величины:
Объём $V = 120\;000 \text{ см}^3$
Длина $l = 60 \text{ см}$
Ширина $w = 40 \text{ см}$

Нам необходимо найти высоту $h$. Для этого выразим её из формулы объёма:
$h = \frac{V}{l \cdot w}$

Теперь подставим известные значения в эту формулу. Сначала вычислим площадь основания аквариума, перемножив длину и ширину:
$l \cdot w = 60 \text{ см} \cdot 40 \text{ см} = 2400 \text{ см}^2$

Далее, разделим объём на полученную площадь основания, чтобы найти высоту:
$h = \frac{120\;000 \text{ см}^3}{2400 \text{ см}^2} = \frac{1200}{24} \text{ см} = 50 \text{ см}$

Высота аквариума равна 50 см. Этот результат соответствует варианту В).

Ответ: 50 см.

11. Машинист пассажирского поезда, двигавшегося со скоростью $56 \text{ км/ч}$, заметил, что товарный поезд, двигавшийся со скоростью $34 \text{ км/ч}$, прошёл мимо него за $15 \text{ с}$. Какова длина товарного поезда?

А) $360 \text{ м}$

Б) $375 \text{ м}$

В) $400 \text{ м}$

Г) $425 \text{ м}$

Для решения этой задачи необходимо найти относительную скорость поездов, с которой один поезд движется мимо другого. Длина товарного поезда будет равна расстоянию, которое он проходит относительно машиниста пассажирского поезда за указанное время.

1. Определение относительной скорости

В задаче сказано, что товарный поезд "прошел мимо" машиниста. Это означает, что поезда двигались по параллельным путям. Наиболее вероятным является сценарий движения навстречу друг другу. В этом случае их относительная скорость ($v_{отн}$) равна сумме их скоростей.

Скорость пассажирского поезда $v_1 = 56$ км/ч.

Скорость товарного поезда $v_2 = 34$ км/ч.

Относительная скорость сближения: $v_{отн} = v_1 + v_2 = 56 \text{ км/ч} + 34 \text{ км/ч} = 90$ км/ч.

2. Перевод единиц измерения

Время в задаче дано в секундах, а ответ требуется в метрах. Поэтому необходимо перевести относительную скорость из километров в час (км/ч) в метры в секунду (м/с).

Для перевода км/ч в м/с используется коэффициент $\frac{1000}{3600}$, который равен $\frac{5}{18}$.

$v_{отн} = 90 \text{ км/ч} \times \frac{5}{18} \text{ м/с} = \frac{90}{18} \times 5 \text{ м/с} = 5 \times 5 \text{ м/с} = 25$ м/с.

3. Вычисление длины товарного поезда

Длина товарного поезда ($L$) равна расстоянию, которое он проходит относительно машиниста со своей относительной скоростью за время $t = 15$ с. Используем формулу расстояния: $L = v_{отн} \times t$.

$L = 25 \text{ м/с} \times 15 \text{ с} = 375$ м.

Таким образом, длина товарного поезда составляет 375 метров.

Ответ: Б) 375 м