Страница 172 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Когда возникает потребность в дробных числах?

Потребность в дробных числах возникает в ситуациях, когда целых чисел становится недостаточно для точного описания количества или измерения величины. Это происходит, когда мы сталкиваемся с частями целого.

Основные случаи, когда необходимы дробные числа:

• Деление целого на равные части.

  Это самая распространенная причина. Если нужно разделить один предмет, например, пиццу, на 8 равных кусков, то каждый кусок будет составлять одну восьмую ($ \frac{1}{8} $) часть пиццы. Если 3 яблока нужно поделить поровну между 4 детьми, то каждому достанется три четверти ($ \frac{3}{4} $) яблока. Выразить такие количества целыми числами невозможно.

• Проведение измерений.

  При измерении длины, веса, времени или объема результат часто оказывается нецелым. Например, рост человека может быть 1.75 метра, вес продукта — 0.5 килограмма, а на приготовление блюда может потребоваться $ 1\frac{1}{2} $ часа. Дробные числа позволяют проводить измерения с большей точностью, чем при использовании только целых единиц.

• Математические вычисления.

  В математике множество целых чисел не является замкнутым относительно операции деления. Это значит, что результат деления одного целого числа на другое не всегда является целым числом. Например, $ 7 \div 2 = 3.5 $. Чтобы деление (кроме деления на ноль) было всегда выполнимой операцией с точным результатом, были введены дробные (рациональные) числа.

• Выражение отношений и пропорций.

  Дроби используются для описания отношения одной величины к другой. Например, если в корзине 5 красных и 10 зеленых яблок, то можно сказать, что красные яблоки составляют $ \frac{5}{15} $ или $ \frac{1}{3} $ от общего числа яблок. Проценты также являются формой записи дробей, где знаменатель равен 100.

Таким образом, дробные числа являются необходимым расширением понятия числа, позволяющим описывать части целого, производить точные измерения и выполнять математические операции, которые были бы невозможны в рамках только целых чисел.

Ответ: Потребность в дробных числах возникает тогда, когда необходимо выразить часть целого, например, при делении предметов на равные части, при точном измерении величин (длины, веса, времени), а также для получения точного результата при делении целых чисел, не делящихся нацело.

2. Каким образом записывают обыкновенные дроби?

Обыкновенная дробь — это способ записи части целого числа. Для записи обыкновенной дроби используют два натуральных числа и горизонтальную или косую черту, которая называется дробной чертой.

Общий вид записи обыкновенной дроби выглядит так: $ \frac{a}{b} $ или $ a/b $.

Число, записанное над дробной чертой (или слева от косой черты), называется числителем. Числитель показывает, сколько равных долей целого было взято.

Число, записанное под дробной чертой (или справа от косой черты), называется знаменателем. Знаменатель показывает, на сколько равных долей было разделено целое. Важно помнить, что знаменатель не может быть равен нулю.

Например, дробь $ \frac{3}{5} $ (читается как "три пятых") означает, что нечто целое разделили на 5 равных частей и взяли 3 такие части. В этой дроби число 3 является числителем, а число 5 — знаменателем.

Ответ: Обыкновенные дроби записывают с помощью двух чисел (числителя и знаменателя) и дробной черты между ними. Числитель пишут сверху, а знаменатель — снизу ($ \frac{числитель}{знаменатель} $), либо числитель пишут слева, а знаменатель — справа, разделяя их косой чертой ($ числитель/знаменатель $).

3. Как называют число, записанное над чертой дроби? Под чертой дроби?

Число, записанное над чертой дроби
Число, которое записывается над горизонтальной чертой (или слева от косой черты) в дроби, называется числителем. Числитель показывает, сколько долей (частей) целого было взято. Например, если мы рассматриваем дробь $\frac{a}{b}$, то $a$ — это числитель. В дроби $\frac{3}{5}$ числитель равен 3, что означает, что мы взяли три части из пяти, на которые было разделено целое.
Ответ: числитель.

Число, записанное под чертой дроби
Число, которое записывается под горизонтальной чертой (или справа от косой черты) в дроби, называется знаменателем. Знаменатель показывает, на сколько равных долей (частей) было разделено целое. В дроби $\frac{a}{b}$ знаменателем является $b$. Знаменатель не может быть равен нулю, так как операция деления на ноль не определена. В дроби $\frac{3}{5}$ знаменатель равен 5, что означает, что целое было разделено на пять равных частей.
Ответ: знаменатель.

Дробь...

4. Что показывает знаменатель дроби? Числитель дроби?

Знаменатель дроби

Дробь представляет собой запись вида $\frac{a}{b}$, где $a$ – числитель, а $b$ – знаменатель. Знаменатель ($b$) — это число, которое пишется под чертой дроби. Оно показывает, на какое количество равных частей (долей) разделено целое (например, яблоко, торт, отрезок). Важно помнить, что знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Например, в дроби $\frac{5}{8}$ знаменатель равен 8. Это означает, что нечто целое было разделено на 8 равных частей.

Ответ: Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое.

Числитель дроби

Числитель ($a$) — это число, которое пишется над чертой дроби. Оно показывает, сколько таких равных частей было взято или рассматривается. В примере с дробью $\frac{5}{8}$ числитель равен 5. Это означает, что из 8 равных частей, на которые было разделено целое, мы взяли 5 частей.

Ответ: Числитель показывает, сколько равных частей целого взято.

1. Сколько граммов:

1) в пятой части килограмма;

2) в десятой части килограмма?

1) в пятой части килограмма;

Для решения этой задачи необходимо знать соотношение между килограммами и граммами. В одном килограмме содержится 1000 граммов.
$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$
Чтобы найти пятую часть килограмма, нужно общее количество граммов в килограмме разделить на 5.
$1000 \div 5 = 200 \text{ г}$
Следовательно, в пятой части килограмма содержится 200 граммов.
Ответ: 200 граммов.

2) в десятой части килограмма?

Используя то же соотношение ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$), найдем десятую часть килограмма. Для этого нужно общее количество граммов разделить на 10.
$1000 \div 10 = 100 \text{ г}$
Таким образом, в десятой части килограмма содержится 100 граммов.
Ответ: 100 граммов.

2. Сколько килограммов:

1) в четвёртой части тонны;

2) в двадцатой части центнера?

1) Чтобы определить, сколько килограммов содержится в четвёртой части тонны, сначала необходимо вспомнить соотношение между этими единицами массы. В одной тонне содержится 1000 килограммов.

$1 \text{ тонна} = 1000 \text{ кг}$

Четвёртая часть (или одна четверть) от тонны — это её полное значение, разделённое на 4. Выполним вычисление:

$1000 \text{ кг} \div 4 = 250 \text{ кг}$

Таким образом, в четвёртой части тонны содержится 250 килограммов.

Ответ: 250 кг.

2) Чтобы найти, сколько килограммов в двадцатой части центнера, нужно знать, сколько килограммов в одном центнере. Один центнер равен 100 килограммам.

$1 \text{ центнер} = 100 \text{ кг}$

Двадцатая часть (или одна двадцатая) от центнера — это его полное значение, разделённое на 20. Произведём расчёт:

$100 \text{ кг} \div 20 = 5 \text{ кг}$

Следовательно, в двадцатой части центнера содержится 5 килограммов.

Ответ: 5 кг.