Страница 164 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

650. Запишите все трёхзначные числа, для записи которых используются только цифры:

1) 3, 4 и 6;

2) 4, 7 и 0.

(Цифры не могут повторяться.)

1) Для составления трёхзначных чисел из данных цифр (3, 4 и 6) без повторений, необходимо рассмотреть все возможные перестановки этих цифр. Так как все цифры отличны от нуля, любая из них может стоять на первом месте.
Количество возможных вариантов для каждой позиции:
- На месте сотен может стоять любая из 3 цифр (3, 4, 6).
- На месте десятков — любая из 2 оставшихся.
- На месте единиц — последняя оставшаяся 1 цифра.
Общее количество возможных чисел равно произведению вариантов для каждой позиции: $3 \times 2 \times 1 = 6$.
Перечислим все эти числа:
- Начиная с 3: 346, 364.
- Начиная с 4: 436, 463.
- Начиная с 6: 634, 643.
Ответ: 346, 364, 436, 463, 634, 643.

2) Для составления трёхзначных чисел из цифр 4, 7 и 0 без повторений, нужно учесть, что трёхзначное число не может начинаться с цифры 0.
Количество возможных вариантов для каждой позиции:
- На месте сотен могут стоять только 2 цифры (4 или 7).
- На месте десятков может стоять любая из 2 оставшихся цифр (например, если на первом месте 4, то на втором могут быть 7 или 0).
- На месте единиц — последняя оставшаяся 1 цифра.
Общее количество возможных чисел: $2 \times 2 \times 1 = 4$.
Перечислим все эти числа:
- Начиная с 4: 470, 407.
- Начиная с 7: 740, 704.
Ответ: 407, 470, 704, 740.

651. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр:

1) 1 и 2;2) 0 и 1?

(Цифры могут повторяться.)

1) 1 и 2;

Для составления трёхзначного числа нам нужно определить, сколько вариантов существует для каждой из трёх позиций (сотни, десятки, единицы). В условии сказано, что цифры могут повторяться.

На первой позиции (сотни) может стоять либо цифра 1, либо цифра 2. Таким образом, у нас есть 2 варианта.

На второй позиции (десятки) также может стоять либо 1, либо 2. Это еще 2 варианта.

На третьей позиции (единицы) снова может стоять либо 1, либо 2. И это тоже 2 варианта.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, мы перемножаем количество вариантов для каждой позиции:

$2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$

Можно перечислить все возможные числа: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222.

Ответ: 8

2) 0 и 1?

Аналогично первому пункту, мы рассматриваем три позиции для цифр. Используются цифры 0 и 1, и они могут повторяться.

Важное условие для трёхзначного числа: оно не может начинаться с нуля.

На первой позиции (сотни) может стоять только цифра 1. Таким образом, у нас есть только 1 вариант.

На второй позиции (десятки) может стоять любая из двух доступных цифр: 0 или 1. Здесь у нас 2 варианта.

На третьей позиции (единицы) также может стоять либо 0, либо 1. И это еще 2 варианта.

Перемножаем количество вариантов для каждой позиции, чтобы найти общее количество чисел:

$1 \times 2 \times 2 = 4$

Перечислим эти числа: 100, 101, 110, 111.

Ответ: 4

652. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 2, 4, 9 и 0. (Цифры могут повторяться.)

Чтобы составить все возможные двузначные числа из цифр 2, 4, 9 и 0, нужно рассмотреть, какие цифры могут стоять на месте десятков и на месте единиц.

Двузначное число состоит из двух цифр.

Первая цифра (разряд десятков) не может быть нулем, иначе число не будет двузначным. Следовательно, на первом месте могут стоять только цифры 2, 4 или 9.

Вторая цифра (разряд единиц) может быть любой из предложенных, так как в условии сказано, что цифры могут повторяться. Значит, на втором месте могут стоять цифры 2, 4, 9 или 0.

Теперь составим все возможные числа, перебирая варианты для первой цифры:

• Если первая цифра 2, то вторая может быть 2, 4, 9 или 0. Получаем числа: 22, 24, 29, 20.
• Если первая цифра 4, то вторая может быть 2, 4, 9 или 0. Получаем числа: 42, 44, 49, 40.
• Если первая цифра 9, то вторая может быть 2, 4, 9 или 0. Получаем числа: 92, 94, 99, 90.

Объединим все полученные числа и запишем их.

Ответ: 20, 22, 24, 29, 40, 42, 44, 49, 90, 92, 94, 99.

653. Сколько двухзначных чисел можно составить из цифр 6, 7, 8 и 9 так, чтобы цифры были записаны в порядке возрастания?

Для решения этой задачи необходимо найти все двузначные числа, составленные из цифр 6, 7, 8, 9, у которых цифра десятков меньше цифры единиц.

Способ 1: Метод перебора
Систематически переберем все возможные пары цифр, удовлетворяющие условию. Пусть первая цифра будет цифрой десятков, а вторая — цифрой единиц.
- Если цифра десятков равна 6, то цифра единиц может быть 7, 8 или 9. Получаем числа: 67, 68, 69 (3 числа).
- Если цифра десятков равна 7, то цифра единиц может быть 8 или 9. Получаем числа: 78, 79 (2 числа).
- Если цифра десятков равна 8, то цифра единиц может быть только 9. Получаем число: 89 (1 число).
- Если цифра десятков равна 9, то в наборе нет цифры больше 9 для разряда единиц. Таких чисел нет (0 чисел).

Теперь сложим количество чисел, полученных на каждом шаге: $3 + 2 + 1 + 0 = 6$.

Способ 2: Использование комбинаторики
Задача сводится к тому, чтобы выбрать 2 различные цифры из 4 данных ({6, 7, 8, 9}). Для любой пары выбранных цифр существует только один способ составить из них число, в котором цифры идут в порядке возрастания. Например, если мы выберем цифры 6 и 8, единственное число, которое можно составить по условию, — это 68.

Таким образом, нам нужно найти количество сочетаний из 4 элементов по 2. Формула для числа сочетаний:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае $n=4$ (общее количество цифр) и $k=2$ (количество цифр в числе).
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 6

654. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 6, 7, 8 и 9 так, чтобы цифры были записаны в порядке убывания?

Для того чтобы составить двузначное число из цифр 6, 7, 8 и 9, у которого цифры записаны в порядке убывания, необходимо, чтобы цифра, стоящая на месте десятков, была больше цифры, стоящей на месте единиц. Это также означает, что цифры в числе не могут повторяться.

Задача сводится к тому, чтобы найти количество способов выбрать 2 различные цифры из данного набора {6, 7, 8, 9}. Для каждой такой пары выбранных цифр существует только один способ составить число с цифрами в порядке убывания (большая цифра ставится на первое место, меньшая — на второе).

Количество способов выбрать 2 элемента из 4 без учета порядка — это число сочетаний из 4 по 2, которое вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (количество цифр) и $k=2$ (количество цифр в двузначном числе).

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Также можно перечислить все возможные комбинации, чтобы убедиться в правильности решения:

1. Из цифр 9 и 8 можно составить число 98.

2. Из цифр 9 и 7 можно составить число 97.

3. Из цифр 9 и 6 можно составить число 96.

4. Из цифр 8 и 7 можно составить число 87.

5. Из цифр 8 и 6 можно составить число 86.

6. Из цифр 7 и 6 можно составить число 76.

Других комбинаций, удовлетворяющих условию, нет. Всего получилось 6 чисел.

Ответ: 6

655. Сколько существует двузначных чисел, сумма цифр которых равна 5?

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $\overline{ab}$, где $a$ – это цифра десятков, а $b$ – цифра единиц.

Поскольку число является двузначным, его первая цифра $a$ не может быть нулем. Таким образом, $a$ может принимать значения из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Вторая цифра $b$ может быть любой цифрой от 0 до 9, то есть $b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Согласно условию задачи, сумма цифр числа равна 5. Это можно записать в виде уравнения: $a + b = 5$

Теперь systematically найдем все пары цифр $(a, b)$, которые удовлетворяют этому уравнению и указанным выше ограничениям. Для этого будем перебирать возможные значения для первой цифры $a$ и находить соответствующее значение для $b$.

1. Если $a = 1$, то $b = 5 - 1 = 4$. Получаем число 14.
2. Если $a = 2$, то $b = 5 - 2 = 3$. Получаем число 23.
3. Если $a = 3$, то $b = 5 - 3 = 2$. Получаем число 32.
4. Если $a = 4$, то $b = 5 - 4 = 1$. Получаем число 41.
5. Если $a = 5$, то $b = 5 - 5 = 0$. Получаем число 50.

Если мы выберем значение $a$ больше 5 (например, $a=6$), то значение $b$ станет отрицательным ($b = 5 - 6 = -1$), что невозможно, так как $b$ должно быть цифрой от 0 до 9. Следовательно, мы нашли все возможные варианты.

Таким образом, двузначные числа, сумма цифр которых равна 5, это: 14, 23, 32, 41, 50.

Подсчитав количество этих чисел, получаем, что их всего 5.

Ответ: 5.

656. Сколько двузначных чисел, сумма цифр которых равна чётному числу, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться)?

Чтобы сумма цифр двузначного числа была чётной, обе цифры должны иметь одинаковую чётность. То есть, либо обе цифры являются чётными, либо обе являются нечётными.

В предложенном наборе цифр {1, 2, 3, 4} есть две нечётные цифры (1 и 3) и две чётные цифры (2 и 4).

Рассмотрим первый случай, когда обе цифры двузначного числа нечётные. Первую цифру (разряд десятков) можно выбрать двумя способами (1 или 3). Поскольку цифры в числе могут повторяться, вторую цифру (разряд единиц) также можно выбрать двумя способами (1 или 3). Общее количество таких чисел, согласно правилу произведения, равно $2 \times 2 = 4$.

Рассмотрим второй случай, когда обе цифры чётные. Первую цифру можно выбрать двумя способами (2 или 4). Вторую цифру также можно выбрать двумя способами (2 или 4). Общее количество таких чисел равно $2 \times 2 = 4$.

Чтобы найти общее количество двузначных чисел, удовлетворяющих условию задачи, нужно сложить количество чисел, полученных в первом и втором случаях. Общее количество чисел составляет $4 + 4 = 8$.

Ответ: 8

657. Сколько двузначных чисел, сумма цифр которых равна нечётному числу, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3?

Чтобы составить двузначное число, сумма цифр которого является нечётной, необходимо, чтобы одна из цифр была чётной, а другая — нечётной. Это следует из правил сложения чётных и нечётных чисел:

• Чётное + Чётное = Чётное
• Нечётное + Нечётное = Чётное
• Чётное + Нечётное = Нечётное

В нашем распоряжении есть цифры: 0, 1, 2, 3.
Разделим их на две группы:

• Чётные цифры: 0, 2 (всего 2 цифры)
• Нечётные цифры: 1, 3 (всего 2 цифры)

Рассмотрим два возможных случая для двузначного числа.

Случай 1: Первая цифра (десятки) – чётная, а вторая (единицы) – нечётная.
Первая цифра двузначного числа не может быть 0. Из доступных чётных цифр (0, 2) на место десятков подходит только цифра 2.
Количество вариантов для первой цифры: 1 (только 2).
На место второй цифры можно поставить любую из нечётных цифр (1, 3).
Количество вариантов для второй цифры: 2 (1 или 3).
Общее количество чисел в этом случае: $1 \times 2 = 2$.
Это числа: 21, 23.

Случай 2: Первая цифра (десятки) – нечётная, а вторая (единицы) – чётная.
На место первой цифры можно поставить любую из нечётных цифр (1, 3).
Количество вариантов для первой цифры: 2 (1 или 3).
На место второй цифры можно поставить любую из чётных цифр (0, 2).
Количество вариантов для второй цифры: 2 (0 или 2).
Общее количество чисел в этом случае: $2 \times 2 = 4$.
Это числа: 10, 12, 30, 32.

Теперь сложим количество чисел, полученных в обоих случаях, чтобы найти общее количество подходящих двузначных чисел:
$2 + 4 = 6$.

Ответ: 6

658. Кот Базилио и лиса Алиса решили украсть золотой ключик, который хранится в каморке папы Карло. Чтобы туда проникнуть, нужно подобрать двузначный код. Им известно, что дверь в каморку закрывает Буратино, который знает пока что только четыре цифры: 0, 1, 2 и 3. Какое наибольшее количество вариантов придётся перебрать коту и лисе, чтобы открыть дверь?

Чтобы найти наибольшее количество вариантов, которое придётся перебрать коту и лисе, нужно вычислить все возможные комбинации двузначного кода, используя только цифры 0, 1, 2 и 3.

Код состоит из двух цифр. Разберём каждую позицию отдельно:

• На месте первой цифры кода может стоять любая из четырёх данных цифр: 0, 1, 2 или 3. Таким образом, для первой позиции существует 4 варианта.
• На месте второй цифры кода также может стоять любая из четырёх данных цифр, так как в условии не сказано, что цифры в коде не могут повторяться. Значит, для второй позиции также существует 4 варианта.

Чтобы найти общее количество всех возможных комбинаций, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции. Это является классическим примером размещения с повторениями. Формула для числа размещений с повторениями из $n$ элементов по $k$ позициям выглядит так: $\overline{A}_n^k = n^k$.

В нашем случае количество доступных цифр $n=4$, а длина кода $k=2$.

Подсчитаем общее количество вариантов:

$4 \times 4 = 16$

Или, используя формулу:

$\overline{A}_4^2 = 4^2 = 16$

Следовательно, существует 16 уникальных двузначных кодов, которые можно составить из цифр 0, 1, 2 и 3. Чтобы гарантированно открыть дверь, коту и лисе придётся перебрать в худшем случае все эти варианты.
Ответ: 16