Страница 165 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

659. Сколько существует различных прямоугольников, периметры которых равны 24 см, а длины сторон выражены целым числом сантиметров?

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле:

$P = 2(a + b)$

По условию задачи, периметр равен 24 см, а длины сторон $a$ и $b$ являются целыми числами. Подставим известное значение периметра в формулу:

$24 = 2(a + b)$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму длин двух смежных сторон (так называемый полупериметр):

$a + b = \frac{24}{2}$

$a + b = 12$

Теперь нам нужно найти все возможные пары целых положительных чисел $a$ и $b$, сумма которых равна 12. Учтём, что прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ — это тот же самый прямоугольник, что и со сторонами $b$ и $a$. Перечислим все уникальные пары:

• Если первая сторона равна 1 см, то вторая равна $12 - 1 = 11$ см.
• Если первая сторона равна 2 см, то вторая равна $12 - 2 = 10$ см.
• Если первая сторона равна 3 см, то вторая равна $12 - 3 = 9$ см.
• Если первая сторона равна 4 см, то вторая равна $12 - 4 = 8$ см.
• Если первая сторона равна 5 см, то вторая равна $12 - 5 = 7$ см.
• Если первая сторона равна 6 см, то вторая равна $12 - 6 = 6$ см (этот случай соответствует квадрату).

Если мы продолжим перебор (например, первая сторона 7 см), то вторая будет 5 см, что является уже рассмотренным вариантом (5 см и 7 см). Таким образом, мы нашли все возможные уникальные комбинации длин сторон.

Всего получилось 6 различных прямоугольников.

Ответ: 6

660. У Ани есть 30 одинаковых кубиков. Сколько различных прямоугольных параллелепипедов она может из них составить, если для построения одного параллелепипеда надо использовать все имеющиеся 30 кубиков?

Задача состоит в том, чтобы найти количество различных прямоугольных параллелепипедов, которые можно составить из 30 одинаковых кубиков. Это эквивалентно нахождению количества способов представить число 30 в виде произведения трех натуральных чисел.

Пусть размеры параллелепипеда — его длина, ширина и высота — равны $a$, $b$ и $c$ кубиков соответственно. Общий объем, равный количеству использованных кубиков, вычисляется по формуле $V = a \times b \times c$. По условию, $V=30$, следовательно, нам нужно найти целочисленные решения уравнения:

$a \times b \times c = 30$

Поскольку форма параллелепипеда не меняется при перестановке его размеров (например, параллелепипед $1 \times 2 \times 15$ и $2 \times 15 \times 1$ — это одна и та же фигура), нам нужно найти количество уникальных наборов множителей $\{a, b, c\}$.

Чтобы найти все комбинации и избежать повторов, будем искать упорядоченные наборы, где $a \le b \le c$.

Найдем все возможные тройки таких чисел, перебирая значения для наименьшего размера $a$.

• Пусть $a = 1$.
  Тогда уравнение принимает вид $b \times c = 30$. Нам нужно найти пары целых чисел $(b, c)$ такие, что $1 \le b \le c$.
  • Если $b = 1$, то $c = 30$. Получаем набор размеров: (1, 1, 30).
  • Если $b = 2$, то $c = 15$. Получаем набор размеров: (1, 2, 15).
  • Если $b = 3$, то $c = 10$. Получаем набор размеров: (1, 3, 10).
  • Если $b = 5$, то $c = 6$. Получаем набор размеров: (1, 5, 6).
• Пусть $a = 2$.
  Тогда $b \times c = 15$. Ищем пары $(b, c)$ такие, что $2 \le b \le c$.
  • Делители числа 15: 1, 3, 5, 15. Условию $b \ge 2$ удовлетворяют 3, 5, 15.
  • Если $b = 3$, то $c = 5$. Это удовлетворяет условию $b \le c$. Получаем набор размеров: (2, 3, 5).
• Пусть $a = 3$.
  Тогда $b \times c = 10$. Ищем пары $(b, c)$ такие, что $3 \le b \le c$.
  • Делители числа 10: 1, 2, 5, 10. Условию $b \ge 3$ удовлетворяют 5 и 10. Если $b=5$, то $c=2$, что нарушает условие $b \le c$. Других вариантов нет.

Мы рассмотрели все возможные случаи, так как если $a \ge 4$, то $a \times b \times c$ будет больше 30 (поскольку $a \le b \le c$, то $a \times b \times c \ge 4 \times 4 \times 4 = 64$).

Таким образом, все уникальные наборы размеров (длина, ширина, высота) для параллелепипеда:

1. 1, 1, 30
2. 1, 2, 15
3. 1, 3, 10
4. 1, 5, 6
5. 2, 3, 5

Всего существует 5 таких наборов, а значит, можно составить 5 различных прямоугольных параллелепипедов.

Ответ: 5

661. На прямой отметили четыре точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Сколько отрезков с концами в отмеченных точках можно провести? Какой из рисунков $\S 24$ помогает решить эту задачу?

Сколько отрезков с концами в отмеченных точках можно провести?

Для нахождения количества отрезков можно использовать два способа.

Способ 1: Систематический перебор.

На прямой отмечены четыре точки: A, B, C и D. Отрезок определяется двумя точками, которые являются его концами. Перечислим все уникальные отрезки, последовательно выбирая начальную точку:

• Из точки A можно провести отрезки к точкам B, C и D. Получаем 3 отрезка: AB, AC, AD.
• Из точки B можно провести отрезки к точкам C и D. Отрезок BA уже учтен как AB. Получаем 2 новых отрезка: BC, BD.
• Из точки C можно провести отрезок к точке D. Отрезки CA и CB уже учтены как AC и BC. Получаем 1 новый отрезок: CD.
• Для точки D все возможные отрезки (DA, DB, DC) уже учтены.

Чтобы найти общее количество отрезков, сложим количество отрезков, найденных на каждом шаге: $3 + 2 + 1 = 6$.

Способ 2: Использование формулы сочетаний.

Задача сводится к нахождению числа способов выбрать 2 точки из 4 имеющихся, причем порядок выбора не важен (отрезок AB и отрезок BA — это один и тот же отрезок). Это классическая задача на нахождение числа сочетаний.

Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число точек $n=4$, а для построения одного отрезка нужно выбрать $k=2$ точки. Подставляем значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \cdot (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: можно провести 6 отрезков.

Какой из рисунков § 24 помогает решить эту задачу?

Поскольку содержание конкретного учебника и рисунки из § 24 недоступны, невозможно указать точный номер рисунка. Однако можно описать, какой тип изображения помогает решить подобные задачи.

Для решения этой задачи был бы полезен рисунок, который визуализирует все возможные соединения между четырьмя точками. Это может быть:

• Изображение четырех точек, соединенных всеми возможными отрезками. В геометрии и теории графов такая фигура называется полным графом на четырех вершинах ($K_4$). Подсчет количества линий (ребер) на этом графе сразу дает ответ.
• Схематический рисунок, иллюстрирующий метод перебора. Например, от первой точки нарисованы дуги ко всем остальным, затем от второй — к оставшимся, и так далее. Это наглядно демонстрирует, почему для получения ответа нужно сложить числа $3 + 2 + 1$.

Такой рисунок помогает не пропустить ни один из возможных отрезков и лучше понять структуру задачи.

Ответ: Помогает рисунок, на котором наглядно изображены четыре точки и все возможные отрезки, которые можно провести между парами этих точек.

662. Подножие горы и её вершину связывают три тропы. Сколько существует маршрутов, ведущих от подножия к вершине и затем вниз к подножию?

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторное правило умножения. Весь маршрут состоит из двух последовательных этапов: подъема на вершину и спуска к подножию.

1. Этап подъема: От подножия к вершине ведут 3 тропы. Следовательно, существует 3 способа выбрать путь наверх.

2. Этап спуска: От вершины к подножию ведут те же 3 тропы. Так как в условии нет ограничений (например, что нельзя спускаться по той же тропе, по которой поднимались), для спуска также существует 3 варианта выбора пути.

Чтобы найти общее количество возможных маршрутов, нужно перемножить количество вариантов для каждого этапа. Каждому из 3 способов подъема соответствует 3 способа спуска.

Общее количество маршрутов = (Количество способов подняться) × (Количество способов спуститься)

Вычислим это значение:
$3 \times 3 = 9$

Таким образом, существует 9 различных маршрутов.

Ответ: 9

663. Спортивной команде предлагают футболки трёх цветов — красного, зелёного и синего, а шорты двух цветов — белого и жёлтого. Сколько вариантов выбора формы есть у команды?

Для того чтобы определить общее количество вариантов выбора формы, мы воспользуемся правилом умножения в комбинаторике. Согласно этому правилу, если один элемент можно выбрать $n$ способами, а другой элемент — $m$ способами, то общее число комбинаций из этих двух элементов будет равно произведению $n \times m$.

В данной задаче форма состоит из двух элементов: футболки и шорт.

1. Определим количество вариантов для выбора футболки.
По условию, футболки могут быть трёх цветов: красного, зелёного и синего. Следовательно, у нас есть 3 варианта выбора футболки.

2. Определим количество вариантов для выбора шорт.
По условию, шорты могут быть двух цветов: белого и жёлтого. Следовательно, у нас есть 2 варианта выбора шорт.

Теперь, чтобы найти общее количество вариантов формы, перемножим количество вариантов для футболок и количество вариантов для шорт:

$3 \times 2 = 6$

Таким образом, у спортивной команды есть 6 различных вариантов для составления формы.

Ответ: 6

664. У Тани есть четыре платья и две пары туфель. Сколько у Тани есть вариантов выбора наряда?

Чтобы найти общее количество вариантов наряда, необходимо перемножить количество вариантов для каждого элемента одежды, так как выбор платья и выбор туфель являются независимыми событиями. Этот метод является основным правилом комбинаторики, известным как правило умножения.

У Тани есть 4 варианта выбора платья.

К каждому из этих четырех платьев она может выбрать одну из 2 пар туфель.

Таким образом, чтобы рассчитать общее количество возможных комбинаций (нарядов), нужно умножить количество платьев на количество пар туфель.

Выполним вычисление:

$4 \text{ (платья)} \times 2 \text{ (пары туфель)} = 8 \text{ (вариантов наряда)}$

Следовательно, у Тани есть 8 различных способов составить наряд.

Ответ: 8.

665. В отряде космонавтов есть три пилота и два инженера. Сколько существует способов составить экипаж, состоящий из одного пилота и одного инженера?

Чтобы найти общее количество способов составить экипаж, состоящий из одного пилота и одного инженера, нужно использовать правило умножения в комбинаторике. Сначала определим количество вариантов для каждой должности отдельно.

Выбор пилота

По условию, в отряде есть 3 пилота. Следовательно, выбрать одного пилота можно тремя различными способами.

Выбор инженера

В отряде есть 2 инженера. Значит, выбрать одного инженера можно двумя различными способами.

Поскольку выбор пилота не зависит от выбора инженера, общее количество способов формирования экипажа равно произведению числа способов выбора пилота на число способов выбора инженера.

Пусть $N_п$ — количество способов выбрать пилота, а $N_и$ — количество способов выбрать инженера. Тогда общее количество способов $N$ равно:

$N = N_п \times N_и$

Подставим наши значения:

$N = 3 \times 2 = 6$

Таким образом, существует 6 различных способов составить экипаж.

Ответ: 6

666. На рисунке 185 изображён план одного района города. Отрезками изображены улицы. Сколько существует маршрутов из точки $A$ в точку $B$, если передвигаться разрешено по улицам, идущими вверх или вправо?

Рис. 185

Чтобы найти количество маршрутов из точки А в точку В, двигаясь только вверх или вправо, можно рассматривать план города как координатную сетку.

Определим, сколько перемещений в каждом направлении необходимо совершить. Пусть длина одного квартала равна одному шагу. Чтобы добраться из точки А в точку В, необходимо сделать:

• 4 перемещения (шага) вправо.
• 3 перемещения (шага) вверх.

Общее количество шагов в любом маршруте будет постоянным и равным $4 + 3 = 7$.

Задача сводится к тому, чтобы найти количество уникальных последовательностей, состоящих из 4 шагов вправо и 3 шагов вверх. Это является классической комбинаторной задачей на нахождение числа сочетаний. Нам нужно выбрать 3 позиции для шагов "вверх" из 7 общих позиций (оставшиеся 4 позиции автоматически будут заняты шагами "вправо").

Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество шагов $n = 7$, а количество шагов вверх $k = 3$. Подставим эти значения в формулу:

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!}$

Теперь выполним вычисления:

$C_7^3 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3 \times 2 \times 1 \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{6} = 7 \times 5 = 35$

Таким образом, существует 35 различных маршрутов из точки А в точку В.

Ответ: 35

667. В записи $1 * 2 * 3 * 4$ вместо каждой звёздочки можно поставить один из знаков «$+$» или «$\cdot$». Чему равно наибольшее значение выражения, которое можно получить?

Для того чтобы найти наибольшее значение выражения $1 * 2 * 3 * 4$, необходимо подставить вместо каждой звёздочки знаки «+» или «·» и вычислить результат. Всего существует $2^3 = 8$ возможных комбинаций знаков, так как есть три места для знаков и два варианта для каждого. Переберём все эти комбинации, учитывая, что операция умножения имеет приоритет над операцией сложения.

1. $1 + 2 + 3 + 4 = 10$
2. $1 + 2 + 3 \cdot 4 = 1 + 2 + 12 = 15$
3. $1 + 2 \cdot 3 + 4 = 1 + 6 + 4 = 11$
4. $1 \cdot 2 + 3 + 4 = 2 + 3 + 4 = 9$
5. $1 + 2 \cdot 3 \cdot 4 = 1 + 24 = 25$
6. $1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 = 2 + 12 = 14$
7. $1 \cdot 2 \cdot 3 + 4 = 6 + 4 = 10$
8. $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

Сравнив все полученные результаты (10, 15, 11, 9, 25, 14, 10, 24), мы видим, что наибольшим является значение 25. Оно получается при следующей расстановке знаков: $1 + 2 \cdot 3 \cdot 4$.

Ответ: 25

668. Расстояние между двумя сёлами равно $28\text{ км}$. Из этих сёл одновременно в одном направлении выехали мотоциклист и автобус. Автобус ехал впереди со скоростью $42\text{ км/ч}$, а мотоциклист ехал со скоростью $56\text{ км/ч}$. Через сколько часов после начала движения мотоциклист догонит автобус?

Это задача на движение вдогонку. Чтобы найти время, через которое мотоциклист догонит автобус, нужно определить скорость, с которой он приближается к автобусу (скорость сближения), и разделить на это значение начальное расстояние между ними.

Скорость сближения при движении в одном направлении находится как разность скоростей, при условии, что догоняющий объект (мотоциклист) движется быстрее.
Скорость мотоциклиста $v_м = 56$ км/ч.
Скорость автобуса $v_а = 42$ км/ч.
Скорость сближения $v_{сбл}$ вычисляется по формуле:
$v_{сбл} = v_м - v_а = 56 \text{ км/ч} - 42 \text{ км/ч} = 14 \text{ км/ч}$.
Это означает, что каждый час расстояние между мотоциклистом и автобусом сокращается на 14 км.

Начальное расстояние между ними составляет $S = 28$ км. Чтобы найти время $t$, через которое произойдет встреча, необходимо начальное расстояние разделить на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сбл}}$
$t = \frac{28 \text{ км}}{14 \text{ км/ч}} = 2$ ч.

Ответ: 2 ч.