Номер 660, страница 165 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

660. У Ани есть 30 одинаковых кубиков. Сколько различных прямоугольных параллелепипедов она может из них составить, если для построения одного параллелепипеда надо использовать все имеющиеся 30 кубиков?

Задача состоит в том, чтобы найти количество различных прямоугольных параллелепипедов, которые можно составить из 30 одинаковых кубиков. Это эквивалентно нахождению количества способов представить число 30 в виде произведения трех натуральных чисел.

Пусть размеры параллелепипеда — его длина, ширина и высота — равны $a$, $b$ и $c$ кубиков соответственно. Общий объем, равный количеству использованных кубиков, вычисляется по формуле $V = a \times b \times c$. По условию, $V=30$, следовательно, нам нужно найти целочисленные решения уравнения:

$a \times b \times c = 30$

Поскольку форма параллелепипеда не меняется при перестановке его размеров (например, параллелепипед $1 \times 2 \times 15$ и $2 \times 15 \times 1$ — это одна и та же фигура), нам нужно найти количество уникальных наборов множителей $\{a, b, c\}$.

Чтобы найти все комбинации и избежать повторов, будем искать упорядоченные наборы, где $a \le b \le c$.

Найдем все возможные тройки таких чисел, перебирая значения для наименьшего размера $a$.

• Пусть $a = 1$.
  Тогда уравнение принимает вид $b \times c = 30$. Нам нужно найти пары целых чисел $(b, c)$ такие, что $1 \le b \le c$.
  • Если $b = 1$, то $c = 30$. Получаем набор размеров: (1, 1, 30).
  • Если $b = 2$, то $c = 15$. Получаем набор размеров: (1, 2, 15).
  • Если $b = 3$, то $c = 10$. Получаем набор размеров: (1, 3, 10).
  • Если $b = 5$, то $c = 6$. Получаем набор размеров: (1, 5, 6).
• Пусть $a = 2$.
  Тогда $b \times c = 15$. Ищем пары $(b, c)$ такие, что $2 \le b \le c$.
  • Делители числа 15: 1, 3, 5, 15. Условию $b \ge 2$ удовлетворяют 3, 5, 15.
  • Если $b = 3$, то $c = 5$. Это удовлетворяет условию $b \le c$. Получаем набор размеров: (2, 3, 5).
• Пусть $a = 3$.
  Тогда $b \times c = 10$. Ищем пары $(b, c)$ такие, что $3 \le b \le c$.
  • Делители числа 10: 1, 2, 5, 10. Условию $b \ge 3$ удовлетворяют 5 и 10. Если $b=5$, то $c=2$, что нарушает условие $b \le c$. Других вариантов нет.

Мы рассмотрели все возможные случаи, так как если $a \ge 4$, то $a \times b \times c$ будет больше 30 (поскольку $a \le b \le c$, то $a \times b \times c \ge 4 \times 4 \times 4 = 64$).

Таким образом, все уникальные наборы размеров (длина, ширина, высота) для параллелепипеда:

1. 1, 1, 30
2. 1, 2, 15
3. 1, 3, 10
4. 1, 5, 6
5. 2, 3, 5

Всего существует 5 таких наборов, а значит, можно составить 5 различных прямоугольных параллелепипедов.

Ответ: 5