Номер 661, страница 165 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

661. На прямой отметили четыре точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Сколько отрезков с концами в отмеченных точках можно провести? Какой из рисунков $\S 24$ помогает решить эту задачу?

Сколько отрезков с концами в отмеченных точках можно провести?

Для нахождения количества отрезков можно использовать два способа.

Способ 1: Систематический перебор.

На прямой отмечены четыре точки: A, B, C и D. Отрезок определяется двумя точками, которые являются его концами. Перечислим все уникальные отрезки, последовательно выбирая начальную точку:

• Из точки A можно провести отрезки к точкам B, C и D. Получаем 3 отрезка: AB, AC, AD.
• Из точки B можно провести отрезки к точкам C и D. Отрезок BA уже учтен как AB. Получаем 2 новых отрезка: BC, BD.
• Из точки C можно провести отрезок к точке D. Отрезки CA и CB уже учтены как AC и BC. Получаем 1 новый отрезок: CD.
• Для точки D все возможные отрезки (DA, DB, DC) уже учтены.

Чтобы найти общее количество отрезков, сложим количество отрезков, найденных на каждом шаге: $3 + 2 + 1 = 6$.

Способ 2: Использование формулы сочетаний.

Задача сводится к нахождению числа способов выбрать 2 точки из 4 имеющихся, причем порядок выбора не важен (отрезок AB и отрезок BA — это один и тот же отрезок). Это классическая задача на нахождение числа сочетаний.

Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число точек $n=4$, а для построения одного отрезка нужно выбрать $k=2$ точки. Подставляем значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \cdot (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: можно провести 6 отрезков.

Какой из рисунков § 24 помогает решить эту задачу?

Поскольку содержание конкретного учебника и рисунки из § 24 недоступны, невозможно указать точный номер рисунка. Однако можно описать, какой тип изображения помогает решить подобные задачи.

Для решения этой задачи был бы полезен рисунок, который визуализирует все возможные соединения между четырьмя точками. Это может быть:

• Изображение четырех точек, соединенных всеми возможными отрезками. В геометрии и теории графов такая фигура называется полным графом на четырех вершинах ($K_4$). Подсчет количества линий (ребер) на этом графе сразу дает ответ.
• Схематический рисунок, иллюстрирующий метод перебора. Например, от первой точки нарисованы дуги ко всем остальным, затем от второй — к оставшимся, и так далее. Это наглядно демонстрирует, почему для получения ответа нужно сложить числа $3 + 2 + 1$.

Такой рисунок помогает не пропустить ни один из возможных отрезков и лучше понять структуру задачи.

Ответ: Помогает рисунок, на котором наглядно изображены четыре точки и все возможные отрезки, которые можно провести между парами этих точек.