Страница 153 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

610. Прямоугольный параллелепипед и куб имеют равные площади поверхностей. Длина параллелепипеда равна 18 м, что в 2 раза больше, чем его ширина, и на 8 м больше, чем его высота. Найдите ребро куба.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем размеры прямоугольного параллелепипеда.

Пусть $a$ – длина, $b$ – ширина, а $c$ – высота параллелепипеда.

По условию, длина $a = 18$ м.

Длина в 2 раза больше ширины, значит, ширина $b$ в 2 раза меньше длины:

$b = a / 2 = 18 / 2 = 9$ м.

Длина на 8 м больше высоты, значит, высота $c$ на 8 м меньше длины:

$c = a - 8 = 18 - 8 = 10$ м.

Таким образом, размеры параллелепипеда: 18 м, 9 м и 10 м.

2. Вычислим площадь поверхности параллелепипеда.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S_п$) вычисляется по формуле:

$S_п = 2(ab + bc + ac)$

Подставим найденные значения:

$S_п = 2 \cdot (18 \cdot 9 + 9 \cdot 10 + 18 \cdot 10) = 2 \cdot (162 + 90 + 180) = 2 \cdot 432 = 864$ м$^2$.

3. Найдем ребро куба.

По условию задачи, площади поверхностей параллелепипеда и куба равны. Следовательно, площадь поверхности куба ($S_к$) также равна 864 м$^2$.

Площадь поверхности куба с ребром $x$ вычисляется по формуле:

$S_к = 6x^2$

Приравняем площадь поверхности куба к найденному значению:

$6x^2 = 864$

Найдем $x^2$:

$x^2 = 864 / 6$

$x^2 = 144$

Теперь найдем длину ребра $x$:

$x = \sqrt{144}$

$x = 12$ м.

Ответ: 12 м.

611. Брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4 см, 5 см и 6 см, покрасили со всех сторон и разрезали на кубики с ребром 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых окрашено:

1) три грани;

2) две грани;

3) одна грань?

Для решения задачи представим брусок, составленный из маленьких кубиков с ребром 1 см. Размеры бруска 4 см, 5 см и 6 см означают, что он состоит из $4 \times 5 \times 6$ маленьких кубиков. Общее число кубиков: $4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$ штук.

1) три грани
Кубики с тремя окрашенными гранями — это угловые кубики. Прямоугольный параллелепипед имеет 8 вершин, следовательно, таких кубиков всегда 8 (при условии, что размеры бруска больше чем $2 \times 2 \times 2$).
Ответ: 8

2) две грани
Кубики с двумя окрашенными гранями находятся на ребрах бруска, за исключением угловых кубиков. У параллелепипеда 12 ребер: 4 ребра длиной 4 см, 4 ребра длиной 5 см и 4 ребра длиной 6 см.
- На каждом из 4 ребер длиной 4 см находится $4 - 2 = 2$ кубика с двумя окрашенными гранями. Всего: $4 \cdot 2 = 8$ кубиков.
- На каждом из 4 ребер длиной 5 см находится $5 - 2 = 3$ кубика. Всего: $4 \cdot 3 = 12$ кубиков.
- На каждом из 4 ребер длиной 6 см находится $6 - 2 = 4$ кубика. Всего: $4 \cdot 4 = 16$ кубиков.
Общее число кубиков с двумя окрашенными гранями: $8 + 12 + 16 = 36$.
Ответ: 36

3) одна грань
Кубики с одной окрашенной гранью расположены на гранях бруска, но не касаются ребер. У параллелепипеда 6 граней (три пары одинаковых).
- Две грани размером $4 \times 5$ см. На каждой такой грани число кубиков с одной окрашенной стороной равно $(4-2) \cdot (5-2) = 2 \cdot 3 = 6$. Всего на двух таких гранях: $2 \cdot 6 = 12$ кубиков.
- Две грани размером $4 \times 6$ см. На каждой: $(4-2) \cdot (6-2) = 2 \cdot 4 = 8$. Всего: $2 \cdot 8 = 16$ кубиков.
- Две грани размером $5 \times 6$ см. На каждой: $(5-2) \cdot (6-2) = 3 \cdot 4 = 12$. Всего: $2 \cdot 12 = 24$ кубика.
Общее число кубиков с одной окрашенной гранью: $12 + 16 + 24 = 52$.
Ответ: 52

612. Скорость космического корабля «Восток», на котором Юрий Гагарин совершил свой полёт, равна $8 \text{ км/с}$.

1) За сколько минут он пролетел $960 \text{ км}$?

2) Какое расстояние он пролетал за $1 \text{ ч}$?

1) За сколько минут он пролетал 960 км?

Чтобы найти время ($t$), необходимо расстояние ($S$) разделить на скорость ($v$). Используем формулу $t = S/v$.

По данным из условия:

$S = 960$ км

$v = 8$ км/с

Сначала вычислим время в секундах:

$t = 960 \text{ км} / 8 \text{ км/с} = 120$ с

Так как в вопросе требуется указать время в минутах, переведём секунды в минуты. В одной минуте 60 секунд.

$120 \text{ с} / 60 \text{ с/мин} = 2$ мин

Ответ: за 2 минуты.

2) Какое расстояние он пролетал за 1 ч?

Чтобы найти расстояние ($S$), необходимо скорость ($v$) умножить на время ($t$). Используем формулу $S = v \cdot t$.

По данным из условия:

$v = 8$ км/с

$t = 1$ ч

Для проведения расчёта необходимо согласовать единицы измерения. Переведём время полёта из часов в секунды. В одном часе 60 минут, а в одной минуте 60 секунд.

$1 \text{ ч} = 60 \text{ мин} \cdot 60 \text{ с/мин} = 3600$ с

Теперь вычислим расстояние:

$S = 8 \text{ км/с} \cdot 3600 \text{ с} = 28800$ км

Ответ: 28800 км.

613. Из листа картона можно вырезать шесть одинаковых квадратов. Сколько листов картона надо для того, чтобы вырезать 50 таких квадратов?

Чтобы определить, сколько листов картона необходимо для вырезания 50 квадратов, нужно общее желаемое количество квадратов разделить на количество квадратов, которое можно вырезать из одного листа.

По условию, из одного листа картона можно вырезать 6 квадратов. Нам нужно получить 50 квадратов.

Выполним деление общего числа квадратов на число квадратов с одного листа:

$50 \div 6$

При делении 50 на 6 получаем 8 и остаток 2:

$50 = 6 \times 8 + 2$

Это означает, что из 8 листов картона можно вырезать $8 \times 6 = 48$ квадратов. Однако, нам нужно 50 квадратов, то есть не хватает еще $50 - 48 = 2$ квадрата.

Чтобы вырезать эти оставшиеся 2 квадрата, потребуется взять еще один, девятый, лист картона.

Таким образом, общее количество необходимых листов равно $8 + 1 = 9$.

Ответ: 9 листов.

614. Поезд отправился со станции в 16 ч со скоростью $54 \text{ км/ч}$. В 19 ч с этой же станции в противоположном направлении отправился второй поезд. В 24 ч расстояние между ними было равно 642 км. С какой скоростью двигался второй поезд?

Для решения этой задачи выполним последовательно несколько действий.

1. Сначала найдём, сколько времени был в пути первый поезд до момента замера расстояния (24 ч). Он отправился в 16 ч.

$t_1 = 24 \text{ ч} - 16 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$

2. Теперь вычислим расстояние, которое проехал первый поезд за это время. Его скорость была 54 км/ч.

$S_1 = v_1 \times t_1 = 54 \text{ км/ч} \times 8 \text{ ч} = 432 \text{ км}$

3. Далее найдём, сколько времени был в пути второй поезд. Он отправился в 19 ч, а замер был в 24 ч.

$t_2 = 24 \text{ ч} - 19 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$

4. Поезда двигались в противоположных направлениях от одной и той же станции. Это значит, что общее расстояние между ними равно сумме расстояний, которое проехал каждый из них. Зная общее расстояние (642 км) и расстояние, пройденное первым поездом (432 км), найдём расстояние, которое проехал второй поезд.

$S_2 = S_{общ} - S_1 = 642 \text{ км} - 432 \text{ км} = 210 \text{ км}$

5. Наконец, зная расстояние (210 км) и время (5 ч), которое второй поезд был в пути, мы можем найти его скорость.

$v_2 = S_2 / t_2 = 210 \text{ км} / 5 \text{ ч} = 42 \text{ км/ч}$

Ответ: 42 км/ч.

615. Решите уравнение:

1) $6x + 8x - 7x = 714;$

2) $11x - 6x + 17 = 2042.$

1) $6x + 8x - 7x = 714$

Сначала упростим левую часть уравнения, выполнив действия с коэффициентами при переменной $x$. Это называется приведением подобных слагаемых.

$(6 + 8 - 7)x = 714$

$7x = 714$

Теперь, чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (714) разделить на известный множитель (7).

$x = 714 : 7$

$x = 102$

Ответ: $102$

2) $11x - 6x + 17 = 2042$

Сначала приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.

$(11 - 6)x + 17 = 2042$

$5x + 17 = 2042$

В этом уравнении $5x$ — неизвестное слагаемое, 17 — известное слагаемое, а 2042 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Перенесем 17 в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$5x = 2042 - 17$

$5x = 2025$

Теперь, чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение (2025) на известный множитель (5).

$x = 2025 : 5$

$x = 405$

Ответ: $405$

616. Как с помощью линейки измерить диагональ кирпича, имея ещё несколько таких кирпичей? (Диагональ параллелепипеда — это отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани.)

Измерить диагональ кирпича (прямоугольного параллелепипеда) с помощью линейки напрямую невозможно, так как диагональ проходит внутри него. Однако, имея несколько одинаковых кирпичей и линейку, можно выполнить геометрическое построение, которое позволит измерить эту длину.

В основе решения лежит теорема Пифагора для трех измерений. Если стороны кирпича равны $a$, $b$ и $c$, то квадрат его диагонали $D$ равен сумме квадратов его измерений:

$D^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Отсюда, $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Наша задача — построить отрезок такой длины в пространстве и измерить его. Это можно сделать следующим образом:

1. Сначала построим на ровной горизонтальной поверхности (например, на полу) прямоугольный треугольник с катетами, равными длине ($a$) и ширине ($b$) кирпича. Для этого возьмем один кирпич и положим его на пол. Отметим одну из его вершин — точку A. Вдоль одного ребра отложим длину $a$ до точки B. Затем, используя другой кирпич для создания прямого угла, отложим от точки B перпендикулярный отрезок длиной $b$ до точки C. В результате мы получим на полу прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине B.

2. Длина гипотенузы AC этого треугольника, согласно теореме Пифагора, будет равна диагонали основания кирпича: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2+b^2}$.

3. Теперь в точке C установим один из кирпичей вертикально (например, на торец), чтобы его высота $c$ была перпендикулярна горизонтальной поверхности. Верхнюю вершину этого кирпича обозначим точкой E. Таким образом, мы получим отрезок CE, перпендикулярный отрезку AC, с длиной, равной высоте кирпича $c$.

4. В итоге мы имеем второй прямоугольный треугольник, на этот раз в пространстве — треугольник ACE с прямым углом в вершине C. Его катеты — это построенный нами отрезок $AC = \sqrt{a^2+b^2}$ и высота кирпича $CE = c$.

5. Гипотенуза этого нового треугольника, отрезок AE, и является искомой диагональю кирпича. Ее длина по теореме Пифагора равна: $AE = \sqrt{AC^2 + CE^2} = \sqrt{(\sqrt{a^2+b^2})^2 + c^2} = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Теперь можно взять линейку и измерить расстояние между начальной точкой A и конечной точкой E. Это и будет длина диагонали кирпича.

Ответ: Нужно на ровной поверхности построить из кирпичей (используя их как меру длины и прямого угла) прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Затем из вершины этого треугольника, не принадлежащей прямому углу, восстановить перпендикуляр высотой $c$. Расстояние от начальной вершины первого катета до вершины перпендикуляра и будет равно диагонали кирпича, которую можно измерить линейкой.