Номер 616, страница 153 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

616. Как с помощью линейки измерить диагональ кирпича, имея ещё несколько таких кирпичей? (Диагональ параллелепипеда — это отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани.)

Измерить диагональ кирпича (прямоугольного параллелепипеда) с помощью линейки напрямую невозможно, так как диагональ проходит внутри него. Однако, имея несколько одинаковых кирпичей и линейку, можно выполнить геометрическое построение, которое позволит измерить эту длину.

В основе решения лежит теорема Пифагора для трех измерений. Если стороны кирпича равны $a$, $b$ и $c$, то квадрат его диагонали $D$ равен сумме квадратов его измерений:

$D^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Отсюда, $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Наша задача — построить отрезок такой длины в пространстве и измерить его. Это можно сделать следующим образом:

1. Сначала построим на ровной горизонтальной поверхности (например, на полу) прямоугольный треугольник с катетами, равными длине ($a$) и ширине ($b$) кирпича. Для этого возьмем один кирпич и положим его на пол. Отметим одну из его вершин — точку A. Вдоль одного ребра отложим длину $a$ до точки B. Затем, используя другой кирпич для создания прямого угла, отложим от точки B перпендикулярный отрезок длиной $b$ до точки C. В результате мы получим на полу прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине B.

2. Длина гипотенузы AC этого треугольника, согласно теореме Пифагора, будет равна диагонали основания кирпича: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2+b^2}$.

3. Теперь в точке C установим один из кирпичей вертикально (например, на торец), чтобы его высота $c$ была перпендикулярна горизонтальной поверхности. Верхнюю вершину этого кирпича обозначим точкой E. Таким образом, мы получим отрезок CE, перпендикулярный отрезку AC, с длиной, равной высоте кирпича $c$.

4. В итоге мы имеем второй прямоугольный треугольник, на этот раз в пространстве — треугольник ACE с прямым углом в вершине C. Его катеты — это построенный нами отрезок $AC = \sqrt{a^2+b^2}$ и высота кирпича $CE = c$.

5. Гипотенуза этого нового треугольника, отрезок AE, и является искомой диагональю кирпича. Ее длина по теореме Пифагора равна: $AE = \sqrt{AC^2 + CE^2} = \sqrt{(\sqrt{a^2+b^2})^2 + c^2} = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Теперь можно взять линейку и измерить расстояние между начальной точкой A и конечной точкой E. Это и будет длина диагонали кирпича.

Ответ: Нужно на ровной поверхности построить из кирпичей (используя их как меру длины и прямого угла) прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Затем из вершины этого треугольника, не принадлежащей прямому углу, восстановить перпендикуляр высотой $c$. Расстояние от начальной вершины первого катета до вершины перпендикуляра и будет равно диагонали кирпича, которую можно измерить линейкой.