Номер 611, страница 153 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

611. Брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4 см, 5 см и 6 см, покрасили со всех сторон и разрезали на кубики с ребром 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых окрашено:

1) три грани;

2) две грани;

3) одна грань?

Для решения задачи представим брусок, составленный из маленьких кубиков с ребром 1 см. Размеры бруска 4 см, 5 см и 6 см означают, что он состоит из $4 \times 5 \times 6$ маленьких кубиков. Общее число кубиков: $4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$ штук.

1) три грани
Кубики с тремя окрашенными гранями — это угловые кубики. Прямоугольный параллелепипед имеет 8 вершин, следовательно, таких кубиков всегда 8 (при условии, что размеры бруска больше чем $2 \times 2 \times 2$).
Ответ: 8

2) две грани
Кубики с двумя окрашенными гранями находятся на ребрах бруска, за исключением угловых кубиков. У параллелепипеда 12 ребер: 4 ребра длиной 4 см, 4 ребра длиной 5 см и 4 ребра длиной 6 см.
- На каждом из 4 ребер длиной 4 см находится $4 - 2 = 2$ кубика с двумя окрашенными гранями. Всего: $4 \cdot 2 = 8$ кубиков.
- На каждом из 4 ребер длиной 5 см находится $5 - 2 = 3$ кубика. Всего: $4 \cdot 3 = 12$ кубиков.
- На каждом из 4 ребер длиной 6 см находится $6 - 2 = 4$ кубика. Всего: $4 \cdot 4 = 16$ кубиков.
Общее число кубиков с двумя окрашенными гранями: $8 + 12 + 16 = 36$.
Ответ: 36

3) одна грань
Кубики с одной окрашенной гранью расположены на гранях бруска, но не касаются ребер. У параллелепипеда 6 граней (три пары одинаковых).
- Две грани размером $4 \times 5$ см. На каждой такой грани число кубиков с одной окрашенной стороной равно $(4-2) \cdot (5-2) = 2 \cdot 3 = 6$. Всего на двух таких гранях: $2 \cdot 6 = 12$ кубиков.
- Две грани размером $4 \times 6$ см. На каждой: $(4-2) \cdot (6-2) = 2 \cdot 4 = 8$. Всего: $2 \cdot 8 = 16$ кубиков.
- Две грани размером $5 \times 6$ см. На каждой: $(5-2) \cdot (6-2) = 3 \cdot 4 = 12$. Всего: $2 \cdot 12 = 24$ кубика.
Общее число кубиков с одной окрашенной гранью: $12 + 16 + 24 = 52$.
Ответ: 52