Номер 442, страница 119 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

442. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел:

1) от 1 до 10 включительно;

2) от 15 до 24 включительно;

3) от 10 до 30 включительно;

4) от 1 до 100 включительно?

Количество нулей, на которое оканчивается произведение натуральных чисел, определяется количеством пар простых множителей 2 и 5 в его разложении. Поскольку в любом произведении последовательных натуральных чисел множитель 2 встречается чаще, чем множитель 5, то количество нулей равно количеству множителей 5.

1) от 1 до 10 включительно;

Рассмотрим произведение $1 \times 2 \times \dots \times 10$. В этом диапазоне на 5 делятся числа 5 и 10.
Число 5 ($5^1$) дает один множитель 5.
Число 10 ($2 \times 5$) дает один множитель 5.
Суммарное количество множителей 5 равно $1 + 1 = 2$.
Следовательно, произведение оканчивается двумя нулями.

Ответ: 2.

2) от 15 до 24 включительно;

Рассмотрим произведение $15 \times 16 \times \dots \times 24$. В этом диапазоне на 5 делятся числа 15 и 20.
Число 15 ($3 \times 5$) дает один множитель 5.
Число 20 ($4 \times 5$) дает один множитель 5.
Суммарное количество множителей 5 равно $1 + 1 = 2$.
Следовательно, произведение оканчивается двумя нулями.

Ответ: 2.

3) от 10 до 30 включительно;

Рассмотрим произведение $10 \times 11 \times \dots \times 30$. В этом диапазоне на 5 делятся числа 10, 15, 20, 25, 30.
Числа 10, 15, 20, 30 дают по одному множителю 5.
Число 25 ($5^2$) дает два множителя 5.
Суммарное количество множителей 5 равно $1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 6$.
Следовательно, произведение оканчивается шестью нулями.

Ответ: 6.

4) от 1 до 100 включительно?

Рассмотрим произведение $1 \times 2 \times \dots \times 100 = 100!$. Чтобы найти количество множителей 5, нужно найти сумму количества чисел, делящихся на 5, количества чисел, делящихся на 25 (так как они содержат дополнительный множитель 5), количества чисел, делящихся на 125 ($5^3$), и так далее.
Количество чисел, кратных 5: $k_5 = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$.
Количество чисел, кратных 25: $k_{25} = \lfloor \frac{100}{25} \rfloor = 4$.
Количество чисел, кратных 125: $k_{125} = \lfloor \frac{100}{125} \rfloor = 0$.
Общее количество множителей 5 равно $k_5 + k_{25} + k_{125} + \dots = 20 + 4 = 24$.
Следовательно, произведение оканчивается 24 нулями.

Ответ: 24.