Страница 113 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

411. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы умножение было вы- полнено верно:

1)

Обозначим неизвестные цифры в примере буквами, чтобы было удобнее рассуждать: $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & A & 7 \\ \times & & 6 & B \\ \hline & 5 & 1 & C \\ + & D & E & \\ \hline & F & G & H & 3 \end{array} $

1. Последняя цифра итоговой суммы ($3$) получается из сложения последней цифры первого промежуточного произведения ($C$) и неявного нуля (так как второе произведение сдвинуто влево). Следовательно, $C = 3$.

2. Теперь мы знаем первое промежуточное произведение: $51C = 513$. Оно является результатом умножения первого множителя ($10A+7$) на последнюю цифру второго множителя ($B$). То есть, $(10A+7) \times B = 513$. Это значит, что произведение $7 \times B$ должно оканчиваться на $3$. Единственная цифра от $0$ до $9$, которая удовлетворяет этому условию, — это $B=9$ (поскольку $7 \times 9 = 63$).

3. Зная, что $B=9$, мы можем найти первый множитель из уравнения $(10A+7) \times 9 = 513$. Разделив $513$ на $9$, получаем $57$. Значит, $A=5$. Первый множитель — это $57$.

4. Итак, мы восстановили оба множителя: $57$ и $69$. Проверим всё умножение:

• Первое промежуточное произведение: $57 \times 9 = 513$. Это совпадает со строкой $51*$.
• Второе промежуточное произведение: $57 \times 6 = 342$.
• Сумма: $513 + 3420 = 3933$. Это четырехзначное число, оканчивающееся на $3$, что совпадает со строкой $***3$.

Ответ: $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} \\ & & & 5 & 7 \\ & \times & & 6 & 9 \\ \hline & & 5 & 1 & 3 \\ & + & 3 & 4 & 2 & \\ \hline & & 3 & 9 & 3 & 3 \end{array} $

2)

Рассмотрим умножение $74$ на двузначное число. Обозначим его $AB$. $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & & 7 & 4 \\ & \times & & A & B \\ \hline & & C & 1 & D \\ + & & E & F & \\ \hline & G & H & I & 8 \end{array} $

1. Последняя цифра итогового произведения равна $8$. Она получается из последней цифры первого промежуточного произведения ($D$). Значит, $D = 8$.

2. Первое промежуточное произведение $C1D = C18$ является результатом умножения $74 \times B$. Произведение $4 \times B$ должно оканчиваться на $8$. Возможные варианты для $B$: $B=2$ ($4 \times 2 = 8$) или $B=7$ ($4 \times 7 = 28$).

3. Проверим оба варианта:

• Если $B=2$, то $74 \times 2 = 148$. Эта строка ($148$) не соответствует шаблону $*1*$, так как на месте единиц десятков стоит $4$, а не $1$.
• Если $B=7$, то $74 \times 7 = 518$. Эта строка ($518$) соответствует шаблону $*1*$. Значит, $B=7$.

4. Второе промежуточное произведение $EF$ является результатом умножения $74 \times A$. В условии оно обозначено как $**$, то есть является двузначным числом. Проверим возможные значения для $A$:

• Если $A=1$, то $74 \times 1 = 74$. Это двузначное число.
• Если $A=2$, то $74 \times 2 = 148$. Это трехзначное число, что не соответствует шаблону $**$.

Следовательно, $A=1$.

5. Мы нашли второй множитель: $17$. Проверим всё умножение: $74 \times 17$.

• $74 \times 7 = 518$ (соответствует $*1*$)
• $74 \times 1 = 74$ (соответствует $**$)
• Сумма: $518 + 740 = 1258$ (соответствует $****8$)

Ответ: $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} \\ & & & 7 & 4 \\ & \times & & 1 & 7 \\ \hline & & 5 & 1 & 8 \\ & + & & 7 & 4 & \\ \hline & & 1 & 2 & 5 & 8 \end{array} $

3)

В этом примере $52$ умножается на двузначное число. Обозначим его $AB$. $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & 5 & 2 \\ \times & A & B \\ \hline & C & D \\ + & E & F \\ \hline & G & H & I \end{array} $

1. Первое промежуточное произведение ($CD = 52 \times B$) в условии обозначено как $**$, то есть это двузначное число. Проверим, при каких $B$ это возможно:

• $52 \times 1 = 52$ (двузначное).
• $52 \times 2 = 104$ (трехзначное).

Таким образом, единственно возможный вариант — $B=1$.

2. Второе промежуточное произведение ($EF = 52 \times A$) также обозначено как $**$ (двузначное число). Аналогично предыдущему пункту, единственно возможный вариант — $A=1$.

3. Мы определили, что второй множитель равен $11$. Выполним умножение $52 \times 11$:

• $52 \times 1 = 52$ (соответствует $**$).
• $52 \times 1 = 52$ (соответствует $**$).
• Сумма $52 + 520 = 572$. Это трехзначное число, что соответствует шаблону $***$.

Все условия выполнены.

Ответ: $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} \\ & & 5 & 2 \\ & \times & 1 & 1 \\ \hline & & 5 & 2 \\ + & 5 & 2 & \\ \hline & 5 & 7 & 2 \end{array} $

4)

Обозначим трехзначный множитель как $ABC$, а двузначный — как $D2$. $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & A & B & C \\ \times & & D & 2 \\ \hline & E & 0 & 8 \\ + & F & 6 & G \\ \hline & H & 1 & 2 & I \end{array} $

1. Рассмотрим сложение в столбик. В разряде единиц итоговой суммы стоит $I$, которое получается сложением $8$ и неявного нуля. Значит, $I=8$.

2. В разряде десятков: $0 + G = 2$. Значит, $G=2$.

3. В разряде сотен: $E + 6 = 1$ (точнее, $11$, так как результат не может быть меньше слагаемого). Значит, $E=5$, и из этого разряда в следующий идет перенос $1$.

4. Теперь мы знаем промежуточные произведения: первое — $E08 = 508$, второе — $F6G = F62$.

5. Первое промежуточное произведение ($508$) — это результат умножения $ABC \times 2$. Отсюда легко найти $ABC$: $508 \div 2 = 254$. Итак, первый множитель — $254$.

6. Второе промежуточное произведение ($F62$) — это результат умножения $254 \times D$. Проверим, при каком $D$ произведение $4 \times D$ будет оканчиваться на $2$:

• $4 \times 3 = 12$ (оканчивается на $2$).
• $4 \times 8 = 32$ (оканчивается на $2$).

7. Проверим оба варианта для $D$:

• Если $D=3$, то $254 \times 3 = 762$. Это число соответствует шаблону $F62$ (здесь $F=7$).
• Если $D=8$, то $254 \times 8 = 2032$. Это четырехзначное число, оно не соответствует трехзначному шаблону $F62$.

Следовательно, $D=3$. Второй множитель — $32$.

8. Проверим всё умножение $254 \times 32$:

• $254 \times 2 = 508$ (соответствует $*08$).
• $254 \times 3 = 762$ (соответствует $*6*$).
• Сумма: $508 + 7620 = 8128$ (соответствует $*12*$).

Ответ: $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} \\ & & 2 & 5 & 4 \\ & \times & & 3 & 2 \\ \hline & & 5 & 0 & 8 \\ + & 7 & 6 & 2 & \\ \hline & 8 & 1 & 2 & 8 \end{array} $

412. При каких значениях a верно равенство:

1) $a \cdot 5 = 5$;

2) $a \cdot 5 = 0$;

3) $a \cdot 5 = a$;

4) $a \cdot 1 = 1$;

5) $a \cdot 1 = a$;

6) $a \cdot a = a$;

7) $0 \cdot a = a$;

8) $0 \cdot a = 0$;

9) $a \cdot a = 0?$;

1) Чтобы найти неизвестный множитель $a$, необходимо произведение (5) разделить на известный множитель (5).
$a \cdot 5 = 5$
$a = 5 : 5$
$a = 1$
Проверка: $1 \cdot 5 = 5$. Равенство верно.
Ответ: при $a = 1$.

2) Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поскольку второй множитель равен 5, то равенство будет верным, только если $a = 0$.
$a \cdot 5 = 0$
$a = 0 : 5$
$a = 0$
Проверка: $0 \cdot 5 = 0$. Равенство верно.
Ответ: при $a = 0$.

3) Для решения этого уравнения перенесем $a$ из правой части в левую с противоположным знаком.
$a \cdot 5 = a$
$5a - a = 0$
$4a = 0$
$a = 0 : 4$
$a = 0$
Проверка: $0 \cdot 5 = 0$. Равенство верно.
Ответ: при $a = 0$.

4) Чтобы найти неизвестный множитель $a$, необходимо произведение (1) разделить на известный множитель (1).
$a \cdot 1 = 1$
$a = 1 : 1$
$a = 1$
Проверка: $1 \cdot 1 = 1$. Равенство верно.
Ответ: при $a = 1$.

5) Согласно свойству умножения на единицу, любое число, умноженное на 1, равно самому себе.
$a \cdot 1 = a$
Следовательно, это равенство верно для любого значения $a$.
Ответ: при любом значении $a$.

6) Решим уравнение $a \cdot a = a$.
$a^2 = a$
Перенесем $a$ в левую часть:
$a^2 - a = 0$
Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a(a - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Значит, либо $a = 0$, либо $a - 1 = 0$, откуда $a = 1$.
Проверка: $0 \cdot 0 = 0$ (верно), $1 \cdot 1 = 1$ (верно).
Ответ: при $a = 0$ или $a = 1$.

7) Согласно свойству умножения на ноль, произведение любого числа на 0 равно 0. Таким образом, левая часть уравнения $0 \cdot a$ всегда равна 0.
$0 \cdot a = a$
$0 = a$
Равенство будет верным только при $a = 0$.
Проверка: $0 \cdot 0 = 0$. Равенство верно.
Ответ: при $a = 0$.

8) Согласно свойству умножения на ноль, произведение любого числа на 0 равно 0. Левая часть уравнения $0 \cdot a$ всегда равна 0.
$0 \cdot a = 0$
$0 = 0$
Это равенство является тождеством, то есть оно верно при любом значении $a$.
Ответ: при любом значении $a$.

9) Решим уравнение $a \cdot a = 0$.
$a^2 = 0$
Квадрат числа равен нулю только в том случае, если само число равно нулю.
$a = 0$
Проверка: $0 \cdot 0 = 0$. Равенство верно.
Ответ: при $a = 0$.

413. Сумма и произведение четырёх натуральных чисел равны 8. Найдите эти числа.

Пусть искомые четыре натуральных числа — это $a, b, c$ и $d$. Согласно условию задачи, их сумма и произведение равны 8. Запишем это в виде системы уравнений:

$ \begin{cases} a + b + c + d = 8 \\ a \cdot b \cdot c \cdot d = 8 \end{cases} $

Поскольку числа натуральные ($a, b, c, d \in \mathbb{N}$), каждое из них должно быть не меньше 1. Для решения задачи удобнее всего начать с анализа второго уравнения, так как существует ограниченное количество способов разложить число 8 на четыре натуральных множителя. Рассмотрим все возможные комбинации таких множителей и для каждой из них проверим, выполняется ли первое условие (равенство суммы восьми).

Возможные наборы из четырех натуральных чисел, произведение которых равно 8:

• Вариант 1: числа 1, 1, 1, 8.
  Проверяем произведение: $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 8 = 8$.
  Проверяем сумму: $1 + 1 + 1 + 8 = 11$.
  Так как $11 \neq 8$, этот набор чисел не является решением.
• Вариант 2: числа 1, 1, 2, 4.
  Проверяем произведение: $1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$.
  Проверяем сумму: $1 + 1 + 2 + 4 = 8$.
  Оба условия выполняются. Следовательно, этот набор чисел является решением.
• Вариант 3: числа 1, 2, 2, 2.
  Проверяем произведение: $1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
  Проверяем сумму: $1 + 2 + 2 + 2 = 7$.
  Так как $7 \neq 8$, этот набор чисел не является решением.

Других способов разложить число 8 на четыре натуральных множителя не существует. Таким образом, единственным набором чисел, удовлетворяющим обоим условиям, является {1, 1, 2, 4}.

Ответ: 1, 1, 2, 4.

414. В записи $1 * 2 * 3 * 4 * 5$ замените звёздочки знаками «+» или «·» и расставьте скобки так, чтобы значение полученного выражения равнялось 100.

Для решения этой задачи необходимо найти правильную комбинацию арифметических знаков «+» и «·» и расставить скобки в выражении $1 * 2 * 3 * 4 * 5$, чтобы его значение стало равным 100.

Поскольку итоговое число 100 достаточно большое по сравнению с исходными числами, логично предположить, что в выражении будет преобладать операция умножения. Число 100 можно представить в виде произведения, например, $5 \cdot 20$ или $4 \cdot 25$. Это помогает разбить задачу на части.

Рассмотрим вариант, при котором мы можем разбить исходную последовательность чисел на две группы, результаты которых затем перемножаются. Например, так: $(\text{выражение с 1, 2, 3}) \cdot (\text{выражение с 4, 5})$.

Сначала найдем значение для второй группы, включающей числа 4 и 5. Используя умножение, получаем:
$4 \cdot 5 = 20$.

Теперь, чтобы общее произведение равнялось 100, значение выражения для первой группы (с числами 1, 2, 3) должно быть равно $100 / 20 = 5$. Проверим, можно ли получить 5 из чисел 1, 2, 3, используя доступные операции:

$1 + 2 + 3 = 6$
$1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
$(1 + 2) \cdot 3 = 9$
$1 + 2 \cdot 3 = 7$
$1 \cdot 2 + 3 = 2 + 3 = 5$

Мы нашли подходящую комбинацию: $1 \cdot 2 + 3 = 5$.

Теперь объединим найденные части в одно целое выражение. Знак между 3 и 4 должен быть умножением. Таким образом, мы получаем:

$(1 \cdot 2 + 3) \cdot 4 \cdot 5$

Проведем проверку вычисления:

1. Сначала действие в скобках: $1 \cdot 2 + 3 = 2 + 3 = 5$.
2. Затем выполняем умножение по порядку: $5 \cdot 4 \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100$.

Значение выражения равно 100, что соответствует условию задачи.

Ответ: $(1 \cdot 2 + 3) \cdot 4 \cdot 5 = 100$.

415. Найдите величину угла $ABM$ (рис. 141), если $\angle MBK$ — прямой и $\angle ABM = \angle CBK$.

Рис. 141

Угол $∠ABC$ является развернутым, так как точки A, B и C лежат на одной прямой. Величина развернутого угла составляет 180°.

Развернутый угол $∠ABC$ состоит из трех углов: $∠ABM$, $∠MBK$ и $∠CBK$. Следовательно, сумма их величин равна 180°:

$∠ABM + ∠MBK + ∠CBK = ∠ABC = 180°$

По условию задачи, угол $∠MBK$ — прямой, что означает его величина равна 90°.

$∠MBK = 90°$

Также по условию известно, что $∠ABM = ∠CBK$. Обозначим величину этих равных углов через $x$:

$∠ABM = ∠CBK = x$

Теперь подставим известные значения в исходное уравнение:

$x + 90° + x = 180°$

Упростим уравнение, сложив одинаковые переменные:

$2x + 90° = 180°$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x = 180° - 90°$

$2x = 90°$

$x = \frac{90°}{2}$

$x = 45°$

Так как мы искали величину угла $∠ABM$, которая равна $x$, то $∠ABM = 45°$.

Ответ: 45°

416. Угол $ABC$ равен $72^\circ$, луч $BD$ — биссектриса угла $ABC$, луч $BE$ — биссектриса угла $ABD$. Вычислите величину угла $CBE$.

По условию задачи, величина угла $ABC$ составляет $72°$.
Луч $BD$ является биссектрисой угла $ABC$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Следовательно, мы можем найти величину углов $ABD$ и $DBC$:
$∠ABD = ∠DBC = \frac{∠ABC}{2} = \frac{72°}{2} = 36°$.
Далее, нам известно, что луч $BE$ является биссектрисой угла $ABD$. Это означает, что он также делит угол $ABD$ на два равных угла, $ABE$ и $EBD$:
$∠ABE = ∠EBD = \frac{∠ABD}{2} = \frac{36°}{2} = 18°$.
Искомый угол $CBE$ состоит из двух смежных углов: $CBD$ и $DBE$. Чтобы найти его величину, нужно сложить величины этих двух углов:
$∠CBE = ∠CBD + ∠DBE$
Подставим вычисленные значения:
$∠CBE = 36° + 18° = 54°$.
Ответ: $54°$.

417. По формуле $a = b : 4 - 6$ найдите значение $a$, если:

1) $b = 600$;

2) $b = 64$;

3) $b = 24$;

4) $b = 100$.

Для нахождения значения a необходимо подставить заданные значения b в формулу $a = b : 4 - 6$ и выполнить вычисления, соблюдая порядок действий (сначала деление, затем вычитание).

1) Если $b = 600$, то подставляем это значение в формулу:
$a = 600 : 4 - 6$
Выполняем деление: $600 : 4 = 150$.
Выполняем вычитание: $150 - 6 = 144$.
Получаем: $a = 144$.
Ответ: 144

2) Если $b = 64$, то подставляем это значение в формулу:
$a = 64 : 4 - 6$
Выполняем деление: $64 : 4 = 16$.
Выполняем вычитание: $16 - 6 = 10$.
Получаем: $a = 10$.
Ответ: 10

3) Если $b = 24$, то подставляем это значение в формулу:
$a = 24 : 4 - 6$
Выполняем деление: $24 : 4 = 6$.
Выполняем вычитание: $6 - 6 = 0$.
Получаем: $a = 0$.
Ответ: 0

4) Если $b = 100$, то подставляем это значение в формулу:
$a = 100 : 4 - 6$
Выполняем деление: $100 : 4 = 25$.
Выполняем вычитание: $25 - 6 = 19$.
Получаем: $a = 19$.
Ответ: 19

418. Сумма длин первой и второй сторон треугольника равна 33 см, первой и третьей — 39 см, второй и третьей — 42 см. Найдите периметр треугольника.

Обозначим длины сторон треугольника как $a$, $b$ и $c$.

Исходя из условия задачи, мы можем составить систему уравнений:

1. $a + b = 33$ (сумма длин первой и второй сторон)

2. $a + c = 39$ (сумма длин первой и третьей сторон)

3. $b + c = 42$ (сумма длин второй и третьей сторон)

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон, то есть $P = a + b + c$.

Чтобы найти периметр, можно сложить все три уравнения:

$(a + b) + (a + c) + (b + c) = 33 + 39 + 42$

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$2a + 2b + 2c = 114$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(a + b + c) = 114$

Так как $a + b + c$ это периметр $P$, мы получаем уравнение:

$2P = 114$

Теперь найдем значение периметра $P$, разделив обе части на 2:

$P = \frac{114}{2}$

$P = 57$

Таким образом, периметр треугольника равен 57 см.

Ответ: 57 см.

419. 1) Сложите из десяти спичек три квадрата.

2) Сложите из 19 спичек шесть квадратов.

3) Какие четыре спички надо убрать (рис. 142), чтобы остались пять квадратов?

Рис. 142

1) Чтобы сложить три квадрата из десяти спичек, их нужно расположить в один ряд так, чтобы соседние квадраты имели общую сторону. Первый квадрат потребует 4 спички, а каждый следующий — по 3 дополнительные спички. Таким образом, общее количество спичек составит $4 + 3 + 3 = 10$.

Ответ: Сложить три квадрата в ряд, чтобы они имели общие стороны.

2) Для того чтобы сложить шесть квадратов из девятнадцати спичек, применяется тот же принцип, что и в первой задаче. Квадраты выкладываются в один ряд. На первый квадрат уходит 4 спички, а на каждый из последующих пяти — по 3 спички. В итоге получается $4 + 5 \times 3 = 4 + 15 = 19$ спичек.

Ответ: Сложить шесть квадратов в ряд, чтобы они имели общие стороны.

3) Изначально на рисунке 142 изображена решетка 3x3, состоящая из 24 спичек и образующая 14 квадратов (9 маленьких, 4 средних 2x2 и 1 большой 3x3). Чтобы осталось ровно пять квадратов, нужно убрать четыре спички. Существует несколько решений, вот одно из них.

Нужно убрать по одной центральной спичке с каждой из четырех внешних сторон большого квадрата. В результате останутся четыре угловых квадрата и один центральный квадрат. Все квадраты большего размера (2x2 и 3x3) при этом будут разрушены.

На рисунке ниже показано, какие спички нужно убрать (отмечены красным) и какая фигура получится в итоге.

Ответ: Нужно убрать центральные спички с каждой из четырех сторон большого квадрата.