Страница 111 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

394. Кот Матроскин продал 42 л молока по 64 р. за 1 литр и 16 кг творога по 320 р. за 1 килограмм. Сколько денег выручил Матроскин за свой товар?

Чтобы найти общую сумму, которую выручил Матроскин, нужно сначала рассчитать, сколько денег он получил за молоко и за творог по отдельности, а затем сложить эти два значения.

1. Стоимость молока
Матроскин продал 42 литра молока по цене 64 рубля за литр. Умножим количество литров на цену за один литр, чтобы найти выручку от продажи молока:
$42 \times 64 = 2688$ рублей.

2. Стоимость творога
Он продал 16 кг творога по цене 320 рублей за килограмм. Умножим массу творога на цену за один килограмм, чтобы найти выручку от продажи творога:
$16 \times 320 = 5120$ рублей.

3. Общая выручка
Теперь сложим деньги, полученные за молоко и за творог, чтобы найти общую сумму:
$2688 + 5120 = 7808$ рублей.
Ответ: Матроскин выручил за свой товар 7808 рублей.

395. В походе, длившемся несколько дней, турист $14 \text{ ч}$ плыл по реке на лодке со скоростью $8 \text{ км/ч}$ и шёл пешком $23 \text{ ч}$ со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Какой путь, по реке или по суше, был длиннее и на сколько километров?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо вычислить два расстояния: путь, пройденный по реке, и путь, пройденный по суше. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ – расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время.

1. Сначала вычислим расстояние, которое турист проплыл по реке на лодке.
Дано: время $t_{река} = 14$ ч, скорость $v_{река} = 8$ км/ч.
Расстояние: $S_{река} = 14 \text{ ч} \cdot 8 \text{ км/ч} = 112 \text{ км}$.

2. Затем вычислим расстояние, которое турист прошёл пешком по суше.
Дано: время $t_{суша} = 23$ ч, скорость $v_{суша} = 4$ км/ч.
Расстояние: $S_{суша} = 23 \text{ ч} \cdot 4 \text{ км/ч} = 92 \text{ км}$.

3. Теперь сравним два полученных расстояния, чтобы определить, какой путь был длиннее.
$112 \text{ км} > 92 \text{ км}$.
Следовательно, путь по реке был длиннее, чем путь по суше.

4. Наконец, найдём, на сколько километров путь по реке был длиннее. Для этого вычтем из большего расстояния меньшее.
Разница = $S_{река} - S_{суша} = 112 \text{ км} - 92 \text{ км} = 20 \text{ км}$.

Ответ: Путь по реке был длиннее на 20 километров.

396. Путешественник плыл на моторной лодке 5 ч по реке со скоростью 27 км/ч и 7 ч по озеру со скоростью 21 км/ч. Какой путь, по реке или по озеру, был длиннее и на сколько километров?

Для решения задачи необходимо сперва вычислить расстояние, которое путешественник проплыл по реке, и расстояние, которое он проплыл по озеру. Для этого воспользуемся формулой пути: $S = v \times t$, где $S$ – это расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время.

1. Вычислим путь, пройденный по реке. Скорость лодки была 27 км/ч, время в пути – 5 часов.

$S_{река} = 27 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 135 \text{ км}$

2. Вычислим путь, пройденный по озеру. Скорость лодки была 21 км/ч, время в пути – 7 часов.

$S_{озеро} = 21 \text{ км/ч} \times 7 \text{ ч} = 147 \text{ км}$

Теперь, зная оба расстояния, можно ответить на вопросы задачи.

Какой путь, по реке или по озеру, был длиннее?

Сравним два полученных значения: путь по реке равен 135 км, а путь по озеру – 147 км.

$147 \text{ км} > 135 \text{ км}$

Следовательно, путь по озеру был длиннее.

... и на сколько километров?

Чтобы найти разницу в расстоянии, необходимо из большего значения вычесть меньшее.

$147 \text{ км} - 135 \text{ км} = 12 \text{ км}$

Ответ: путь по озеру был длиннее на 12 километров.

397. В школу завезли апельсины, мандарины и лимоны. Апельсинов было 94 кг, что в 7 раз меньше, чем мандаринов, и на 16 кг больше, чем лимонов. Сколько всего килограммов фруктов завезли в школу?

Для того чтобы найти, сколько всего килограммов фруктов завезли в школу, необходимо последовательно вычислить массу мандаринов и лимонов, а затем сложить все значения.

1. Найдем массу мандаринов

В условии сказано, что масса апельсинов (94 кг) в 7 раз меньше, чем масса мандаринов. Это означает, что масса мандаринов в 7 раз больше массы апельсинов. Умножим массу апельсинов на 7:

$94 \text{ кг} \cdot 7 = 658 \text{ кг}$

2. Найдем массу лимонов

Также известно, что масса апельсинов на 16 кг больше, чем масса лимонов. Следовательно, масса лимонов на 16 кг меньше массы апельсинов. Вычтем 16 кг из массы апельсинов:

$94 \text{ кг} - 16 \text{ кг} = 78 \text{ кг}$

3. Найдем общую массу всех фруктов

Теперь сложим массу апельсинов, мандаринов и лимонов, чтобы найти общую массу всех фруктов:

$94 \text{ кг} (\text{апельсины}) + 658 \text{ кг} (\text{мандарины}) + 78 \text{ кг} (\text{лимоны}) = 830 \text{ кг}$

Ответ: всего в школу завезли 830 кг фруктов.

398. Школе для кабинета музыки выделили 50 000 р. на покупку компьютера, музыкального центра и мультимедиапроектора. Музыкальный центр стоит 3 600 р., что в 4 раза меньше стоимости компьютера и на 28 200 р. меньше стоимости мультимедиапроектора.

Хватит ли выделенных денег на покупку?

Для того чтобы ответить на вопрос, хватит ли выделенных денег, необходимо последовательно выполнить несколько шагов: найти стоимость компьютера, затем стоимость мультимедиапроектора, рассчитать общую сумму покупки и сравнить её с выделенным бюджетом.

1. Находим стоимость компьютера.
Стоимость музыкального центра составляет $3\,600$ р. В условии сказано, что это в 4 раза меньше стоимости компьютера. Следовательно, чтобы найти стоимость компьютера, нужно цену музыкального центра умножить на 4.
$3\,600 \times 4 = 14\,400$ р. – стоимость компьютера.

2. Находим стоимость мультимедиапроектора.
Также по условию, музыкальный центр стоит на $28\,200$ р. меньше, чем мультимедиапроектор. Значит, мультимедиапроектор стоит на $28\,200$ р. дороже. Чтобы найти его стоимость, нужно к цене музыкального центра прибавить эту разницу.
$3\,600 + 28\,200 = 31\,800$ р. – стоимость мультимедиапроектора.

3. Находим общую стоимость покупки.
Теперь сложим стоимость всех трех предметов: компьютера, музыкального центра и мультимедиапроектора.
$14\,400 + 3\,600 + 31\,800 = 18\,000 + 31\,800 = 49\,800$ р.

4. Сравниваем общую стоимость с бюджетом.
Школе выделили $50\,000$ р. Общая стоимость покупки составила $49\,800$ р. Сравним эти два числа:
$49\,800 < 50\,000$
Общая стоимость покупки меньше выделенной суммы.

Ответ: да, выделенных денег хватит на покупку.

399. Найдите значение выражения:

1) $ (318 \cdot 207 - 64 934) \cdot 276 + 604 \cdot 88; $

2) $ 869 \cdot (61 124 - 488 \cdot 125) - 509 \cdot 74. $

1) $(318 \cdot 207 - 64934) \cdot 276 + 604 \cdot 88$

Для решения этого выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках (умножение, затем вычитание), после чего выполняются действия за скобками (умножение и сложение).

1. Выполним умножение в скобках:
$318 \cdot 207 = 65826$.

2. Выполним вычитание в скобках:
$65826 - 64934 = 892$.

3. Теперь исходное выражение можно записать в виде:
$892 \cdot 276 + 604 \cdot 88$.

4. Выполним оставшиеся операции умножения:
$892 \cdot 276 = 246192$.
$604 \cdot 88 = 53152$.

5. Наконец, выполним сложение:
$246192 + 53152 = 299344$.

Ответ: $299344$.

2) $869 \cdot (61124 - 488 \cdot 125) - 509 \cdot 74$

В этом выражении порядок действий следующий: сначала выполняются действия в скобках (сначала умножение, потом вычитание), затем умножение за скобками и в конце — вычитание.

1. Выполним умножение в скобках:
$488 \cdot 125 = 61000$.

2. Выполним вычитание в скобках:
$61124 - 61000 = 124$.

3. Теперь выражение принимает вид:
$869 \cdot 124 - 509 \cdot 74$.

4. Выполним операции умножения:
$869 \cdot 124 = 107756$.
$509 \cdot 74 = 37666$.

5. Выполним вычитание:
$107756 - 37666 = 70090$.

Ответ: $70090$.

400. Найдите значение выражения:

1) $(214 \cdot 104 + 7544) \cdot 35 - 508 \cdot 722;$

2) $647 \cdot (36900 - 255 \cdot 144) - 318 \cdot 92.$

1) $(214 \cdot 104 + 7 544) \cdot 35 - 508 \cdot 722$

Для решения данного выражения необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий: сначала выполняются операции в скобках, затем умножение и деление, и в последнюю очередь — сложение и вычитание.

1. Выполним умножение в скобках:
$214 \cdot 104 = 22 256$.

2. Выполним сложение в скобках:
$22 256 + 7 544 = 29 800$.

3. Теперь выражение приняло вид: $29 800 \cdot 35 - 508 \cdot 722$. Выполним умножения слева направо.

4. Первое умножение:
$29 800 \cdot 35 = 1 043 000$.

5. Второе умножение:
$508 \cdot 722 = 366 776$.

6. Выполним последнее действие — вычитание:
$1 043 000 - 366 776 = 676 224$.

Ответ: $676 224$.

2) $647 \cdot (36 900 - 255 \cdot 144) - 318 \cdot 92$

Решим это выражение по действиям, следуя правилам порядка операций.

1. Начнем с действий в скобках. Первым делом выполним умножение:
$255 \cdot 144 = 36 720$.

2. Теперь выполним вычитание в скобках:
$36 900 - 36 720 = 180$.

3. Выражение упростилось до: $647 \cdot 180 - 318 \cdot 92$. Далее выполняем умножения.

4. Первое умножение:
$647 \cdot 180 = 116 460$.

5. Второе умножение:
$318 \cdot 92 = 29 256$.

6. Последнее действие — вычитание:
$116 460 - 29 256 = 87 204$.

Ответ: $87 204$.

401. Из одного порта в другой одновременно отправились теплоход и катер. Скорость теплохода составляет 28 км/ч, а скорость катера — 36 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 5 ч после начала движения?

Для решения этой задачи можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1: Через скорость удаления

Поскольку теплоход и катер отправляются одновременно из одного порта и движутся в одном направлении, расстояние между ними будет увеличиваться. Скорость, с которой они удаляются друг от друга (скорость удаления), равна разности их скоростей.

1. Найдем скорость удаления. Для этого из большей скорости (скорости катера) вычтем меньшую (скорость теплохода):

$v_{удаления} = v_{катера} - v_{теплохода} = 36 \text{ км/ч} - 28 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час катер "обгоняет" теплоход на 8 километров.

2. Теперь найдем, какое расстояние будет между ними через 5 часов. Для этого умножим скорость удаления на время в пути:

$S = v_{удаления} \times t = 8 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 40 \text{ км}$

Ответ: через 5 часов расстояние между ними будет 40 км.

Способ 2: Через вычисление пройденного пути каждым судном

Можно поочередно рассчитать, какой путь пройдет каждое судно за 5 часов, а затем найти разницу этих расстояний.

1. Вычислим расстояние, которое пройдет теплоход за 5 часов:

$S_{теплохода} = v_{теплохода} \times t = 28 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 140 \text{ км}$

2. Вычислим расстояние, которое пройдет катер за 5 часов:

$S_{катера} = v_{катера} \times t = 36 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 180 \text{ км}$

3. Найдем расстояние между ними, вычтя из большего пройденного пути меньший:

$S = S_{катера} - S_{теплохода} = 180 \text{ км} - 140 \text{ км} = 40 \text{ км}$

Ответ: через 5 часов расстояние между ними будет 40 км.

402. Из одного села в одном направлении одновременно выехали два велосипедиста. Один из них ехал со скоростью $12 \text{ км/ч}$, а второй — $9 \text{ км/ч}$. Какое расстояние будет между ними через $6 \text{ ч}$ после начала движения?

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1

1. Вычислим расстояние, которое проехал первый велосипедист за 6 часов. Для этого умножим его скорость на время:

$12 \text{ км/ч} \times 6 \text{ ч} = 72 \text{ км}$

2. Вычислим расстояние, которое проехал второй велосипедист за то же время:

$9 \text{ км/ч} \times 6 \text{ ч} = 54 \text{ км}$

3. Поскольку велосипедисты ехали из одного села в одном направлении, расстояние между ними будет равно разности пройденных ими путей:

$72 \text{ км} - 54 \text{ км} = 18 \text{ км}$

Способ 2

1. Найдем скорость удаления велосипедистов. Так как они движутся в одном направлении, скорость, с которой один удаляется от другого, равна разности их скоростей:

$v_{уд} = 12 \text{ км/ч} - 9 \text{ км/ч} = 3 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между ними увеличивается на 3 километра.

2. Чтобы найти расстояние между велосипедистами через 6 часов, нужно скорость удаления умножить на время:

$3 \text{ км/ч} \times 6 \text{ ч} = 18 \text{ км}$

Ответ: 18 км.

403. С одной станции в противоположных направлениях одновременно отправились два поезда. Один из них двигался со скоростью $64 \text{ км/ч}$, а второй — $57 \text{ км/ч}$. Какое расстояние будет между ними через $9 \text{ ч}$ после начала движения?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Вычисление расстояния для каждого поезда по отдельности

1. Сначала найдем расстояние, которое проехал первый поезд за 9 часов. Для этого умножим его скорость на время в пути. Формула расстояния: $S = v \cdot t$.
$S_1 = 64 \, \text{км/ч} \cdot 9 \, \text{ч} = 576 \, \text{км}$

2. Затем найдем расстояние, которое проехал второй поезд за это же время.
$S_2 = 57 \, \text{км/ч} \cdot 9 \, \text{ч} = 513 \, \text{км}$

3. Так как поезда двигались от одной станции в противоположных направлениях, расстояние между ними будет равно сумме расстояний, которые проехал каждый поезд.
$S_{общ} = S_1 + S_2 = 576 \, \text{км} + 513 \, \text{км} = 1089 \, \text{км}$

Способ 2: Использование скорости удаления

1. Найдем скорость, с которой поезда удаляются друг от друга. Поскольку они движутся в противоположных направлениях, их скорости складываются. Эта величина называется скоростью удаления.
$v_{удал} = v_1 + v_2 = 64 \, \text{км/ч} + 57 \, \text{км/ч} = 121 \, \text{км/ч}$

2. Теперь, зная скорость удаления и время движения, найдем итоговое расстояние между поездами, умножив скорость удаления на время.
$S_{общ} = v_{удал} \cdot t = 121 \, \text{км/ч} \cdot 9 \, \text{ч} = 1089 \, \text{км}$

Ответ: через 9 ч после начала движения расстояние между ними будет 1089 км.

404. Из одного города в противоположных направлениях одновременно выехали два автомобиля. Скорость одного из них была 74 км/ч, что на 8 км/ч больше, чем скорость другого. Какое расстояние будет между ними через 7 ч после начала движения?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько действий.

1. Найдём скорость второго автомобиля.

Из условия известно, что скорость первого автомобиля ($v_1$) равна $74$ км/ч, и это на $8$ км/ч больше, чем скорость второго автомобиля ($v_2$). Следовательно, чтобы найти скорость второго автомобиля, нужно из скорости первого вычесть $8$ км/ч:

$v_2 = 74 \text{ км/ч} - 8 \text{ км/ч} = 66 \text{ км/ч}$

2. Найдём общую скорость удаления автомобилей.

Поскольку автомобили движутся в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается. Скорость, с которой они удаляются друг от друга, равна сумме их скоростей:

$v_{уд} = v_1 + v_2 = 74 \text{ км/ч} + 66 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$

3. Найдём расстояние между автомобилями через 7 часов.

Чтобы найти расстояние ($S$), которое будет между автомобилями через определённое время ($t$), нужно скорость удаления умножить на это время. В данном случае $t = 7$ ч.

$S = v_{уд} \times t = 140 \text{ км/ч} \times 7 \text{ ч} = 980 \text{ км}$

Ответ: через 7 часов после начала движения расстояние между автомобилями будет 980 км.