Номер 410, страница 112 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

410. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы умножение было вы-полнено верно:

1) $\begin{array}{r}*43 \\\times 2* \\\hline3*4 \\+ 8* \phantom{0} \\\hline12*4\end{array}$

2) $\begin{array}{r}*52 \\\times ** \\\hline*** \\+ 1*** \phantom{0} \\\hline***8*\end{array}$

3) $\begin{array}{r}*8 \\\times * \\\hline\phantom{00}* \\\hline8**\end{array}$

4) $\begin{array}{r}*6* \\\times ** \\\hline*** \\+ *** \phantom{0} \\\hline***6\end{array}$

1)

Давайте разберем пример столбиком. Пусть первый множитель — это $A43$, а второй — $2B$. Однако, если бы первый множитель был трехзначным числом, то второй частичный результат ($A43 \times 2$) был бы как минимум $143 \times 2 = 286$, то есть трехзначным числом. В условии же на месте второго частичного результата стоит двузначное число $8*$. Это означает, что первая звездочка в числе $*43$ — это просто пустое место, и первый множитель на самом деле двузначное число 43.

Итак, у нас есть умножение $43 \times 2*$.
Второй частичный результат — это $43 \times 2 = 86$. Это совпадает с шаблоном $8*$.
Сумма выглядит так:

 (43 × *)+ 860---------- 12*4

Проверим всё умножение: $43 \times 28$.
Первое частичное произведение: $43 \times 8 = 344$. Это соответствует шаблону $3*4$.
Второе частичное произведение: $43 \times 2 = 86$. Это соответствует шаблону $8*$.
Сумма:

 344+ 860------ 1204

Ответ:

 43× 28----- 344+ 86----- 1204

2)

Пусть второй множитель — это двузначное число $AB$. Умножение выглядит так: $52 \times AB$.
Первое частичное произведение — $52 \times B$ — это трехзначное число, начинающееся с 1 ($1**$).
$52 \times 2 = 104$.
$52 \times 3 = 156$.
$52 \times 4 = 208$ (уже не начинается с 1).
Значит, $B$ может быть 2 или 3.

Второе частичное произведение — $52 \times A$ — это число, оканчивающееся на 8 ($**8$).
Это значит, что последняя цифра произведения $2 \times A$ равна 8.
$2 \times 4 = 8$.
$2 \times 9 = 18$.
Значит, $A$ может быть 4 или 9.

Теперь рассмотрим сложение в столбик. Пусть первое произведение $P_1 = p_2 p_1 p_0$, а второе $P_2 = s_2 s_1 s_0$. Сумма выглядит так:

 p₂ p₁ p₀+s₂ s₁ s₀ 0---------- r₃ r₂ r₁ r₀

Проверим 4 комбинации для $A$ и $B$:
1. $A=4, B=2$: $52 \times 2 = 104$ ($p_1=0$), $52 \times 4 = 208$ ($s_1=0$). Сумма десятков $0+8=8$, переноса нет. Сумма сотен: $1+0+0 = 1 \ne 8$. Неверно.
2. $A=9, B=2$: $52 \times 2 = 104$ ($p_1=0$), $52 \times 9 = 468$ ($s_1=6$). Сумма десятков $0+8=8$, переноса нет. Сумма сотен: $1+6+0 = 7 \ne 8$. Неверно.
3. $A=4, B=3$: $52 \times 3 = 156$ ($p_1=5$), $52 \times 4 = 208$ ($s_1=0$). Сумма десятков $5+8=13$, перенос 1. Сумма сотен: $1+0+1 = 2 \ne 8$. Неверно.
4. $A=9, B=3$: $52 \times 3 = 156$ ($p_1=5$), $52 \times 9 = 468$ ($s_1=6$). Сумма десятков $5+8=13$, перенос 1. Сумма сотен: $1+6+1 = 8$. Верно!

Значит, второй множитель равен 93.

Ответ:

 52× 93----- 156+ 468----- 4836

3)

В этом примере двузначное число вида $*8$ умножается на однозначное число $*$, и в результате получается трехзначное число, начинающееся с 8 ($8**$).
Пусть множители — $A8$ и $B$. Их произведение $A8 \times B$ находится в диапазоне от 800 до 899.
$800 \le A8 \times B \le 899$.
Поскольку максимальное значение для $B$ равно 9, мы можем оценить $A$. Если $A=8$, то максимальное произведение $88 \times 9 = 792$, что меньше 800. Следовательно, $A$ должно быть больше 8. Единственный вариант — $A=9$.

Итак, первый множитель — 98.
Теперь найдем $B$:
$800 \le 98 \times B \le 899$.
Разделим неравенство на 98:
$\frac{800}{98} \le B \le \frac{899}{98}$
$8.16... \le B \le 9.17...$
Единственное целое число в этом диапазоне — это 9. Значит, $B=9$.
Проверяем: $98 \times 9 = 882$. Результат начинается с 8.

Ответ:

 98× 9---- 882

4)

Пусть множители — $6A$ и $BCD$.
Первые два частичных произведения ($6A \times D$ и $6A \times C$) являются двузначными числами. Число $6A$ не меньше 60. Если бы $D$ или $C$ были равны 2 или больше, то произведение было бы не меньше $60 \times 2 = 120$ (трехзначное число). Следовательно, $C=1$ и $D=1$.

Последняя цифра итогового результата равна 6. Она определяется последней цифрой первого частичного произведения ($6A \times D$). Так как $D=1$, то $6A \times 1 = 6A$. Последняя цифра этого числа — $A$. Значит, $A=6$.
Таким образом, первый множитель — 66, а второй — $B11$.

Третье частичное произведение ($66 \times B$) является трехзначным числом. $100 \le 66 \times B \le 999$.
Из этого неравенства следует, что $B \ge \frac{100}{66} \approx 1.51$. Значит, $B$ может быть любой цифрой от 2 до 9.

Итоговый результат ($****6$) должен быть пятизначным. Давайте проверим произведение для любого возможного $B$, например, для $B=2$:
$66 \times 211 = 66 \times (200 + 11) = 13200 + 726 = 13926$.
Это пятизначное число, оканчивающееся на 6. Условия выполнены.
Любая другая цифра для $B$ от 2 до 9 также даст верное решение. Например, для $B=9$:
$66 \times 911 = 59400 + 726 = 60126$.

Поскольку задача не предполагает единственного решения, мы можем привести любое из возможных. Возьмем $B=2$.

Ответ: (один из возможных вариантов)

 66× 211----- 66+ 66 132----- 13926