Номер 411, страница 113 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

411. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы умножение было вы- полнено верно:

1)

Обозначим неизвестные цифры в примере буквами, чтобы было удобнее рассуждать: $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & A & 7 \\ \times & & 6 & B \\ \hline & 5 & 1 & C \\ + & D & E & \\ \hline & F & G & H & 3 \end{array} $

1. Последняя цифра итоговой суммы ($3$) получается из сложения последней цифры первого промежуточного произведения ($C$) и неявного нуля (так как второе произведение сдвинуто влево). Следовательно, $C = 3$.

2. Теперь мы знаем первое промежуточное произведение: $51C = 513$. Оно является результатом умножения первого множителя ($10A+7$) на последнюю цифру второго множителя ($B$). То есть, $(10A+7) \times B = 513$. Это значит, что произведение $7 \times B$ должно оканчиваться на $3$. Единственная цифра от $0$ до $9$, которая удовлетворяет этому условию, — это $B=9$ (поскольку $7 \times 9 = 63$).

3. Зная, что $B=9$, мы можем найти первый множитель из уравнения $(10A+7) \times 9 = 513$. Разделив $513$ на $9$, получаем $57$. Значит, $A=5$. Первый множитель — это $57$.

4. Итак, мы восстановили оба множителя: $57$ и $69$. Проверим всё умножение:

• Первое промежуточное произведение: $57 \times 9 = 513$. Это совпадает со строкой $51*$.
• Второе промежуточное произведение: $57 \times 6 = 342$.
• Сумма: $513 + 3420 = 3933$. Это четырехзначное число, оканчивающееся на $3$, что совпадает со строкой $***3$.

Ответ: $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} \\ & & & 5 & 7 \\ & \times & & 6 & 9 \\ \hline & & 5 & 1 & 3 \\ & + & 3 & 4 & 2 & \\ \hline & & 3 & 9 & 3 & 3 \end{array} $

2)

Рассмотрим умножение $74$ на двузначное число. Обозначим его $AB$. $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & & 7 & 4 \\ & \times & & A & B \\ \hline & & C & 1 & D \\ + & & E & F & \\ \hline & G & H & I & 8 \end{array} $

1. Последняя цифра итогового произведения равна $8$. Она получается из последней цифры первого промежуточного произведения ($D$). Значит, $D = 8$.

2. Первое промежуточное произведение $C1D = C18$ является результатом умножения $74 \times B$. Произведение $4 \times B$ должно оканчиваться на $8$. Возможные варианты для $B$: $B=2$ ($4 \times 2 = 8$) или $B=7$ ($4 \times 7 = 28$).

3. Проверим оба варианта:

• Если $B=2$, то $74 \times 2 = 148$. Эта строка ($148$) не соответствует шаблону $*1*$, так как на месте единиц десятков стоит $4$, а не $1$.
• Если $B=7$, то $74 \times 7 = 518$. Эта строка ($518$) соответствует шаблону $*1*$. Значит, $B=7$.

4. Второе промежуточное произведение $EF$ является результатом умножения $74 \times A$. В условии оно обозначено как $**$, то есть является двузначным числом. Проверим возможные значения для $A$:

• Если $A=1$, то $74 \times 1 = 74$. Это двузначное число.
• Если $A=2$, то $74 \times 2 = 148$. Это трехзначное число, что не соответствует шаблону $**$.

Следовательно, $A=1$.

5. Мы нашли второй множитель: $17$. Проверим всё умножение: $74 \times 17$.

• $74 \times 7 = 518$ (соответствует $*1*$)
• $74 \times 1 = 74$ (соответствует $**$)
• Сумма: $518 + 740 = 1258$ (соответствует $****8$)

Ответ: $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} \\ & & & 7 & 4 \\ & \times & & 1 & 7 \\ \hline & & 5 & 1 & 8 \\ & + & & 7 & 4 & \\ \hline & & 1 & 2 & 5 & 8 \end{array} $

3)

В этом примере $52$ умножается на двузначное число. Обозначим его $AB$. $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & 5 & 2 \\ \times & A & B \\ \hline & C & D \\ + & E & F \\ \hline & G & H & I \end{array} $

1. Первое промежуточное произведение ($CD = 52 \times B$) в условии обозначено как $**$, то есть это двузначное число. Проверим, при каких $B$ это возможно:

• $52 \times 1 = 52$ (двузначное).
• $52 \times 2 = 104$ (трехзначное).

Таким образом, единственно возможный вариант — $B=1$.

2. Второе промежуточное произведение ($EF = 52 \times A$) также обозначено как $**$ (двузначное число). Аналогично предыдущему пункту, единственно возможный вариант — $A=1$.

3. Мы определили, что второй множитель равен $11$. Выполним умножение $52 \times 11$:

• $52 \times 1 = 52$ (соответствует $**$).
• $52 \times 1 = 52$ (соответствует $**$).
• Сумма $52 + 520 = 572$. Это трехзначное число, что соответствует шаблону $***$.

Все условия выполнены.

Ответ: $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} \\ & & 5 & 2 \\ & \times & 1 & 1 \\ \hline & & 5 & 2 \\ + & 5 & 2 & \\ \hline & 5 & 7 & 2 \end{array} $

4)

Обозначим трехзначный множитель как $ABC$, а двузначный — как $D2$. $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & A & B & C \\ \times & & D & 2 \\ \hline & E & 0 & 8 \\ + & F & 6 & G \\ \hline & H & 1 & 2 & I \end{array} $

1. Рассмотрим сложение в столбик. В разряде единиц итоговой суммы стоит $I$, которое получается сложением $8$ и неявного нуля. Значит, $I=8$.

2. В разряде десятков: $0 + G = 2$. Значит, $G=2$.

3. В разряде сотен: $E + 6 = 1$ (точнее, $11$, так как результат не может быть меньше слагаемого). Значит, $E=5$, и из этого разряда в следующий идет перенос $1$.

4. Теперь мы знаем промежуточные произведения: первое — $E08 = 508$, второе — $F6G = F62$.

5. Первое промежуточное произведение ($508$) — это результат умножения $ABC \times 2$. Отсюда легко найти $ABC$: $508 \div 2 = 254$. Итак, первый множитель — $254$.

6. Второе промежуточное произведение ($F62$) — это результат умножения $254 \times D$. Проверим, при каком $D$ произведение $4 \times D$ будет оканчиваться на $2$:

• $4 \times 3 = 12$ (оканчивается на $2$).
• $4 \times 8 = 32$ (оканчивается на $2$).

7. Проверим оба варианта для $D$:

• Если $D=3$, то $254 \times 3 = 762$. Это число соответствует шаблону $F62$ (здесь $F=7$).
• Если $D=8$, то $254 \times 8 = 2032$. Это четырехзначное число, оно не соответствует трехзначному шаблону $F62$.

Следовательно, $D=3$. Второй множитель — $32$.

8. Проверим всё умножение $254 \times 32$:

• $254 \times 2 = 508$ (соответствует $*08$).
• $254 \times 3 = 762$ (соответствует $*6*$).
• Сумма: $508 + 7620 = 8128$ (соответствует $*12*$).

Ответ: $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} \\ & & 2 & 5 & 4 \\ & \times & & 3 & 2 \\ \hline & & 5 & 0 & 8 \\ + & 7 & 6 & 2 & \\ \hline & 8 & 1 & 2 & 8 \end{array} $