Номер 407, страница 112 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 16. Умножение. Переместительное свойство умножения. Упражнения - номер 407, страница 112.

Условие.

407. Всегда ли произведение двух натуральных чисел больше, чем их сумма?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Нет, это утверждение не всегда верно. Чтобы опровергнуть его, достаточно привести хотя бы один пример (контрпример), в котором произведение двух натуральных чисел не будет больше их суммы.

Пример 1: одно из чисел равно 1.
Возьмем натуральные числа $1$ и $4$.
Их сумма: $1 + 4 = 5$.
Их произведение: $1 \cdot 4 = 4$.
В этом случае произведение ($4$) оказывается меньше суммы ($5$), то есть $4 < 5$.

Пример 2: оба числа равны 2.
Возьмем натуральные числа $2$ и $2$.
Их сумма: $2 + 2 = 4$.
Их произведение: $2 \cdot 2 = 4$.
В этом случае произведение ($4$) равно сумме ($4$), но не больше неё.

Общее объяснение.
Рассмотрим неравенство $a \cdot b > a + b$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. Преобразуем его:
$ab - a - b > 0$
Прибавим $1$ к обеим частям, чтобы выделить полный квадрат:
$ab - a - b + 1 > 1$
Свернем левую часть в произведение:
$(a-1)(b-1) > 1$
Это неравенство справедливо не для всех натуральных чисел.

• Если хотя бы одно из чисел равно $1$ (например, $a=1$), то левая часть становится $(1-1)(b-1) = 0$. Неравенство $0 > 1$ ложно.
• Если $a=2$ и $b=2$, то левая часть становится $(2-1)(2-1) = 1$. Неравенство $1 > 1$ также ложно.

Таким образом, утверждение, что произведение двух натуральных чисел всегда больше их суммы, является ложным.

Ответ: нет, не всегда.