Номер 5, страница 109 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 16. Умножение. Переместительное свойство умножения. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 5, страница 109.

5. Каким свойством обладают множители, произведение которых равно нулю?

Основное свойство, которым обладают множители, произведение которых равно нулю, заключается в следующем: если произведение нескольких множителей равно нулю, то хотя бы один из этих множителей должен быть равен нулю.

Это одно из фундаментальных свойств чисел, которое широко используется в алгебре, особенно при решении уравнений.

Рассмотрим это свойство на примере двух множителей, a и b. Если их произведение равно нулю: $$a \cdot b = 0$$ Это равенство может быть истинным только в одном из следующих случаев:
1. Множитель $a = 0$ (например, $0 \cdot 5 = 0$).
2. Множитель $b = 0$ (например, $12 \cdot 0 = 0$).
3. Оба множителя равны нулю, $a = 0$ и $b = 0$ (например, $0 \cdot 0 = 0$).

Если бы ни один из множителей не был равен нулю, их произведение также не было бы равно нулю.

Данное свойство справедливо для любого количества множителей. Если произведение n множителей равно нулю: $$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n = 0$$ то это с необходимостью означает, что по крайней мере один из множителей ($a_1$, $a_2$, ..., $a_n$) равен нулю.

Пример использования:
При решении уравнения $(x - 5)(x + 3) = 0$ мы применяем именно это свойство. Поскольку произведение двух выражений $(x - 5)$ и $(x + 3)$ равно нулю, то хотя бы одно из них должно быть равно нулю. Это приводит к совокупности двух простых уравнений:
$x - 5 = 0$ или $x + 3 = 0$.
Решая их по отдельности, мы находим корни: $x = 5$ и $x = -3$.

Ответ: Если произведение множителей равно нулю, то как минимум один из этих множителей обязательно равен нулю.