Номер 188, страница 43 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.12. Деление нацело. Глава 1. Натуральные числа и нуль - номер 188, страница 43.

Условие.

188. Докажите, что если каждое из натуральных чисел $a$ и $b$ делится на натуральное число $c$, то верно равенство

$(a+b) : c = a : c + b : c.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства воспользуемся определением делимости. По условию задачи, натуральные числа $a$ и $b$ делятся на натуральное число $c$.

Если число $a$ делится нацело на число $c$, это означает, что существует такое натуральное число $k$, что выполняется равенство: $a = c \cdot k$. Из этого равенства следует, что частное от деления $a$ на $c$ равно $k$, то есть $a : c = k$.

Аналогично, если число $b$ делится нацело на число $c$, то существует такое натуральное число $m$, что $b = c \cdot m$. Из этого равенства следует, что $b : c = m$.

Теперь преобразуем левую часть доказываемого равенства $(a + b) : c$. Подставим в это выражение $a = c \cdot k$ и $b = c \cdot m$:

$(a + b) : c = (c \cdot k + c \cdot m) : c$

Используя распределительное свойство умножения, вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$(c \cdot (k + m)) : c$

Выполнив деление, получим:

$k + m$

Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства $a : c + b : c$. Подставим в нее значения частных, которые мы определили выше:

$a : c + b : c = k + m$

Мы видим, что левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению $k + m$. Следовательно, исходное равенство $(a + b) : c = a : c + b : c$ является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано. Так как по условию $a$ и $b$ делятся на $c$, их можно представить в виде $a = c \cdot k$ и $b = c \cdot m$, где $k$ и $m$ — натуральные числа. Тогда левая часть равенства $(a + b) : c$ преобразуется к $(c \cdot k + c \cdot m) : c = c \cdot (k + m) : c = k + m$. Правая часть $a : c + b : c$ равна $k + m$. Поскольку обе части равны $k + m$, равенство верно.