Страница 43 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

187. Вычислите:

а) $120 : 5;$

б) $320 : 5;$

в) $440 : 5;$

г) $2100 : 50;$

д) $2020 : 5;$

е) $2130 : 5;$

ж) $700 : 50;$

з) $800 : 50;$

и) $3100 : 50;$

к) $170 : 5;$

л) $1800 : 50;$

м) $600 : 50.$

а) Чтобы разделить 120 на 5, можно представить 120 в виде суммы удобных слагаемых: $100 + 20$.
$120 : 5 = (100 + 20) : 5 = 100:5 + 20:5 = 20 + 4 = 24$.
Ответ: 24

б) Для вычисления $320 : 5$ можно умножить 320 на 2, а затем разделить результат на 10.
$320 \times 2 = 640$
$640 : 10 = 64$
Следовательно, $320 : 5 = 64$.
Ответ: 64

в) Выполним деление $440$ на $5$. Разложим $440$ на удобные слагаемые, которые делятся на 5: $400$ и $40$.
$440 : 5 = (400 + 40) : 5 = 400:5 + 40:5 = 80 + 8 = 88$.
Ответ: 88

г) Чтобы разделить 2100 на 50, можно сначала разделить оба числа на 10 (сократить по одному нулю).
$2100 : 50 = 210 : 5$
Далее, чтобы разделить 210 на 5, можно умножить 210 на 2 и разделить на 10.
$210 \times 2 = 420$
$420 : 10 = 42$
Таким образом, $2100 : 50 = 42$.
Ответ: 42

д) Для вычисления $2020 : 5$ разложим $2020$ на сумму $2000$ и $20$.
$2020 : 5 = (2000 + 20) : 5 = 2000:5 + 20:5 = 400 + 4 = 404$.
Ответ: 404

е) Выполним деление $2130 : 5$. Можно умножить делимое на 2, а затем разделить на 10.
$2130 \times 2 = 4260$
$4260 : 10 = 426$
Таким образом, $2130 : 5 = 426$.
Ответ: 426

ж) Деление на 50 эквивалентно делению на 100 и последующему умножению на 2.
$700 : 100 = 7$
$7 \times 2 = 14$
Таким образом, $700 : 50 = 14$.
Ответ: 14

з) Вычислим $800 : 50$. Сначала разделим оба числа на 10:
$800 : 50 = 80 : 5$
Теперь разделим 80 на 5: $80 : 5 = 16$.
Ответ: 16

и) Чтобы разделить 3100 на 50, можно сначала сократить нули.
$3100 : 50 = 310 : 5$
Далее разложим 310 на $300 + 10$.
$310 : 5 = (300 + 10) : 5 = 300:5 + 10:5 = 60 + 2 = 62$.
Ответ: 62

к) Для вычисления $170 : 5$ разложим $170$ на $150$ и $20$.
$170 : 5 = (150 + 20) : 5 = 150:5 + 20:5 = 30 + 4 = 34$.
Ответ: 34

л) Вычислим $1800 : 50$. Сначала разделим оба числа на 10:
$1800 : 50 = 180 : 5$
Теперь разделим 180 на 5: $180 : 5 = 36$.
Ответ: 36

м) Чтобы разделить 600 на 50, можно сократить нули.
$600 : 50 = 60 : 5$
Результат деления $60$ на $5$ равен $12$.
Ответ: 12

188. Докажите, что если каждое из натуральных чисел $a$ и $b$ делится на натуральное число $c$, то верно равенство

$(a+b) : c = a : c + b : c.$

Для доказательства воспользуемся определением делимости. По условию задачи, натуральные числа $a$ и $b$ делятся на натуральное число $c$.

Если число $a$ делится нацело на число $c$, это означает, что существует такое натуральное число $k$, что выполняется равенство: $a = c \cdot k$. Из этого равенства следует, что частное от деления $a$ на $c$ равно $k$, то есть $a : c = k$.

Аналогично, если число $b$ делится нацело на число $c$, то существует такое натуральное число $m$, что $b = c \cdot m$. Из этого равенства следует, что $b : c = m$.

Теперь преобразуем левую часть доказываемого равенства $(a + b) : c$. Подставим в это выражение $a = c \cdot k$ и $b = c \cdot m$:

$(a + b) : c = (c \cdot k + c \cdot m) : c$

Используя распределительное свойство умножения, вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$(c \cdot (k + m)) : c$

Выполнив деление, получим:

$k + m$

Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства $a : c + b : c$. Подставим в нее значения частных, которые мы определили выше:

$a : c + b : c = k + m$

Мы видим, что левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению $k + m$. Следовательно, исходное равенство $(a + b) : c = a : c + b : c$ является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано. Так как по условию $a$ и $b$ делятся на $c$, их можно представить в виде $a = c \cdot k$ и $b = c \cdot m$, где $k$ и $m$ — натуральные числа. Тогда левая часть равенства $(a + b) : c$ преобразуется к $(c \cdot k + c \cdot m) : c = c \cdot (k + m) : c = k + m$. Правая часть $a : c + b : c$ равна $k + m$. Поскольку обе части равны $k + m$, равенство верно.

189. Выполните деление по образцу:

а) $(48 + 88) : 8 = 48 : 8 + 88 : 8 = 6 + 11 = 17;$

б) $(99 + 810) : 9;$

в) $(150 + 55) : 5;$

г) $(33 + 99) : 3;$

д) $(44 + 88) : 2.$

б) $(99 + 810) : 9 = 99 : 9 + 810 : 9 = 11 + 90 = 101$

Ответ: 101

в) $(150 + 55) : 5 = 150 : 5 + 55 : 5 = 30 + 11 = 41$

Ответ: 41

г) $(33 + 99) : 3 = 33 : 3 + 99 : 3 = 11 + 33 = 44$

Ответ: 44

д) $(44 + 88) : 2 = 44 : 2 + 88 : 2 = 22 + 44 = 66$

Ответ: 66

190. Вычислите, записав делимое в виде суммы, по образцу:

а) $84 : 4 = (80 + 4) : 4 = 80 : 4 + 4 : 4 = 20 + 1 = 21;$
б) $92 : 4 = (80 + 12) : 4 = ...;$
в) $96 : 3;$
г) $56 : 4;$
д) $81 : 3;$
е) $51 : 3;$
ж) $132 : 11;$
з) $264 : 12.$

б) Чтобы вычислить $92 : 4$, представим делимое 92 в виде суммы слагаемых, которые легко делятся на 4. Завершим решение, начатое в образце, используя разложение $92 = 80 + 12$.

$92 : 4 = (80 + 12) : 4 = 80 : 4 + 12 : 4 = 20 + 3 = 23$.

Ответ: $23$.

в) Чтобы вычислить $96 : 3$, представим делимое 96 в виде суммы слагаемых, которые делятся на 3. Удобно разложить 96 на 90 и 6.

$96 : 3 = (90 + 6) : 3 = 90 : 3 + 6 : 3 = 30 + 2 = 32$.

Ответ: $32$.

г) Чтобы вычислить $56 : 4$, представим делимое 56 в виде суммы слагаемых, которые делятся на 4. Разложим 56 на 40 и 16.

$56 : 4 = (40 + 16) : 4 = 40 : 4 + 16 : 4 = 10 + 4 = 14$.

Ответ: $14$.

д) Чтобы вычислить $81 : 3$, представим делимое 81 в виде суммы слагаемых, которые делятся на 3. Разложим 81 на 60 и 21.

$81 : 3 = (60 + 21) : 3 = 60 : 3 + 21 : 3 = 20 + 7 = 27$.

Ответ: $27$.

е) Чтобы вычислить $51 : 3$, представим делимое 51 в виде суммы слагаемых, которые делятся на 3. Разложим 51 на 30 и 21.

$51 : 3 = (30 + 21) : 3 = 30 : 3 + 21 : 3 = 10 + 7 = 17$.

Ответ: $17$.

ж) Чтобы вычислить $132 : 11$, представим делимое 132 в виде суммы слагаемых, которые делятся на 11. Разложим 132 на 110 и 22.

$132 : 11 = (110 + 22) : 11 = 110 : 11 + 22 : 11 = 10 + 2 = 12$.

Ответ: $12$.

з) Чтобы вычислить $264 : 12$, представим делимое 264 в виде суммы слагаемых, которые делятся на 12. Разложим 264 на 240 и 24.

$264 : 12 = (240 + 24) : 12 = 240 : 12 + 24 : 12 = 20 + 2 = 22$.

Ответ: $22$.