Страница 37 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

146. Произведение четырёх последовательных натуральных чисел равно 3024. Найдите эти числа.

Пусть искомые четыре последовательных натуральных числа это $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$. Согласно условию, их произведение равно 3024. Запишем это в виде уравнения:
$n(n+1)(n+2)(n+3) = 3024$

Эту задачу можно решить подбором, предварительно оценив результат. Поскольку $7^4 = 2401$ и $8^4 = 4096$, искомые числа находятся в районе 7-8. Проверка последовательности $6, 7, 8, 9$ дает верный результат: $6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 = 3024$.
Приведем также полное алгебраическое решение. Перегруппируем множители в уравнении:
$[n(n+3)] \cdot [(n+1)(n+2)] = 3024$
$(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) = 3024$
Сделаем замену переменной: пусть $y = n^2 + 3n$. Уравнение примет вид:
$y(y+2) = 3024$
$y^2 + 2y - 3024 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3024) = 4 + 12096 = 12100 = 110^2$.
Корни для $y$:
$y_1 = \frac{-2 + 110}{2} = 54$
$y_2 = \frac{-2 - 110}{2} = -56$
Теперь вернемся к переменной $n$, рассмотрев два случая.
1) $n^2 + 3n = 54 \Rightarrow n^2 + 3n - 54 = 0$.
Дискриминант $D_n = 3^2 - 4(1)(-54) = 9 + 216 = 225 = 15^2$.
$n_1 = \frac{-3 + 15}{2} = 6$.
$n_2 = \frac{-3 - 15}{2} = -9$.
По условию числа натуральные, поэтому подходит только $n=6$.
2) $n^2 + 3n = -56 \Rightarrow n^2 + 3n + 56 = 0$.
Дискриминант $D_n = 3^2 - 4(1)(56) = 9 - 224 = -215 < 0$, действительных корней нет.
Единственное решение, удовлетворяющее условию, это $n=6$.
Следовательно, искомые числа: 6, 7, 8, 9.

Ответ: 6, 7, 8, 9.

147. На доске записали несколько примеров на умножение натуральных чисел, потом некоторые цифры стёрли и вместо них поставили звёздочки. Восстановите стёртые цифры.

$ \begin{array}{r} 72 \\ \times \text{**} \\ \rule{3em}{0.4pt} \\ 21* \\ + \hspace{0.5em} \text{**} \\ \rule{3em}{0.4pt} \\ \text{***} \end{array} $

$ \begin{array}{r} 45 \\ \times \text{**} \\ \rule{3em}{0.4pt} \\ \text{**} \\ + \hspace{0.5em} 135 \\ \rule{3em}{0.4pt} \\ \text{***0} \end{array} $

$ \begin{array}{r} 52 \\ \times \text{**} \\ \rule{3em}{0.4pt} \\ \text{**} \\ + \hspace{0.5em} 2*8 \\ \rule{3em}{0.4pt} \\ \text{****} \end{array} $

Первый пример (72 x **). В этом примере мы умножаем $72$ на двузначное число. Обозначим это число как $AB$, где $A$ - цифра десятков, а $B$ - цифра единиц.
$72$
× $AB$
$21*$ (это $72 \times B$)
+ $**$ (это $72 \times A$)
$***$

1. Найдем цифру $B$. Первое неполное произведение равно $72 \times B = 21*$. Начнем подбирать цифру $B$:

• Если $B=1$, $72 \times 1 = 72$ (не подходит).
• Если $B=2$, $72 \times 2 = 144$ (не подходит).
• Если $B=3$, $72 \times 3 = 216$. Это соответствует шаблону $21*$. Значит, цифра единиц второго множителя - это $3$.

2. Найдем цифру $A$. Второе неполное произведение равно $72 \times A$ и является двузначным числом ($**$).

• Если $A=1$, $72 \times 1 = 72$. Это двузначное число, что соответствует условию.
• Если $A=2$, $72 \times 2 = 144$. Это трехзначное число, что не соответствует условию.

Значит, цифра десятков второго множителя - это $1$.

Искомое число - $13$. Проверим вычисление полностью:
$72$
× $13$
$216$
+ $72$
$936$
Все сходится.

Ответ: $72 \times 13 = 936$.

Второй пример (45 x **).Обозначим второй множитель как $AB$.
$45$
× $AB$
$**$ (это $45 \times B$)
+ $135$ (это $45 \times A$)
$***0$

1. Найдем цифру $A$. Второе неполное произведение равно $45 \times A = 135$. Отсюда $A = 135 \div 45 = 3$. Значит, цифра десятков второго множителя - это $3$.2. Найдем цифру $B$. Итоговый результат оканчивается на $0$. В умножении столбиком последняя цифра результата совпадает с последней цифрой первого неполного произведения. Значит, $45 \times B$ должно оканчиваться на $0$. Это возможно, если $B$ - четное число.

• Если $B=2$, $45 \times 2 = 90$. Это двузначное число, что соответствует шаблону $**$.
• Если $B=4$, $45 \times 4 = 180$. Это трехзначное число, что не соответствует шаблону.

Следовательно, цифра единиц второго множителя - это $2$.

Искомое число - $32$. Проверим вычисление полностью:
$45$
× $32$
$90$
+ $135$
$1440$
Все сходится.

Ответ: $45 \times 32 = 1440$.

Третий пример (52 x **).Обозначим второй множитель как $AB$.
$52$
× $AB$
$**$ (это $52 \times B$)
+ $2*8$ (это $52 \times A$)
$****$

1. Найдем цифру $A$. Второе неполное произведение равно $52 \times A = 2*8$. Произведение $2 \times A$ должно оканчиваться на $8$. Это возможно, если $A=4$ ($2 \times 4 = 8$) или $A=9$ ($2 \times 9 = 18$).

• Проверим $A=4$: $52 \times 4 = 208$. Это соответствует шаблону $2*8$.
• Проверим $A=9$: $52 \times 9 = 468$. Это не соответствует шаблону, так как начинается с цифры $4$, а не $2$.

Значит, цифра десятков второго множителя - это $4$.2. Найдем цифру $B$. Первое неполное произведение $52 \times B$ является двузначным числом ($**$).

• Если $B=1$, $52 \times 1 = 52$. Это двузначное число, что соответствует условию.
• Если $B=2$, $52 \times 2 = 104$. Это трехзначное число, что не соответствует условию.

Следовательно, цифра единиц второго множителя - это $1$.

Искомое число - $41$. Проверим вычисление полностью:
$52$
× $41$
$52$
+ $208$
$2132$
Все сходится.

Ответ: $52 \times 41 = 2132$.

148. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий человек купил ладану 137 пудов. За каждый пуд заплатил по 6 р. и захотел узнать, сколько стоит покупка.

Для того чтобы найти общую стоимость покупки, необходимо умножить количество купленного товара на цену за одну единицу этого товара.

Согласно условию задачи, некий человек купил 137 пудов ладана. Цена за каждый пуд составляла 6 рублей.

Выполним умножение, чтобы найти итоговую сумму:
$137 \times 6 = 822$ (р.)

Таким образом, вся покупка стоит 822 рубля.

Ответ: 822 р.

149. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некто купил зерна 2359 четвертей, за четверть платил по 65 коп. и отдал всех денег 153 335 коп. Проверьте вычисления.

Чтобы проверить вычисления из задачи, необходимо умножить количество купленного зерна на его цену за одну четверть и сравнить результат с указанной общей суммой.

По условию было куплено 2359 четвертей зерна по цене 65 копеек за четверть.
Вычислим общую стоимость:
$2359 \times 65$

Произведем умножение:
$2359 \times 65 = 2359 \times (60 + 5) = 2359 \times 60 + 2359 \times 5 = 141540 + 11795 = 153335$

Полученная сумма, 153 335 копеек, в точности совпадает с суммой, указанной в условии задачи.
Следовательно, вычисления в задаче из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого выполнены правильно.

Ответ: Вычисления верны.

150. а) Купили дюжину (12 штук) носовых платков по 1 р. за штуку, 4 пары носков по 4 р. за пару и 2 майки по 10 р. за штуку. Сколько денег заплатили?

б) С завода отправили 9 подвод с посудой, на каждой по 2 ящика, и в каждом ящике по 45 дюжин тарелок. Сколько тарелок отправлено с завода?

а)

Для того чтобы рассчитать общую сумму покупки, необходимо найти стоимость каждой группы товаров и сложить их.

1. Находим стоимость носовых платков.
В одной дюжине 12 штук. Стоимость одного платка — 1 рубль.
$12 \text{ шт.} \times 1 \text{ р.} = 12 \text{ р.}$

2. Находим стоимость носков.
Купили 4 пары носков по 4 рубля за пару.
$4 \text{ пары} \times 4 \text{ р.} = 16 \text{ р.}$

3. Находим стоимость маек.
Купили 2 майки по 10 рублей за штуку.
$2 \text{ шт.} \times 10 \text{ р.} = 20 \text{ р.}$

4. Складываем полученные суммы, чтобы найти общую стоимость покупки.
$12 \text{ р.} + 16 \text{ р.} + 20 \text{ р.} = 48 \text{ р.}$

Ответ: заплатили 48 рублей.

б)

Чтобы найти общее количество тарелок, нужно последовательно выполнить умножение: количество подвод на количество ящиков на подводе, затем на количество дюжин в ящике и, наконец, на количество штук в дюжине.

1. Сначала рассчитаем общее количество ящиков.
Было отправлено 9 подвод, на каждой из которых по 2 ящика.
$9 \times 2 = 18 \text{ ящиков}$

2. Затем рассчитаем, сколько тарелок в одном ящике.
В каждом ящике 45 дюжин, а в одной дюжине 12 тарелок.
$45 \times 12 = 540 \text{ тарелок}$

3. Теперь найдем общее количество отправленных тарелок, умножив общее количество ящиков на количество тарелок в одном ящике.
$18 \times 540 = 9720 \text{ тарелок}$

Ответ: с завода отправлено 9720 тарелок.