Страница 36 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

?-137. Какие законы используют при умножении столбиком?

Умножение столбиком — это пошаговый алгоритм, который является практическим применением фундаментальных законов арифметики в сочетании с позиционной системой счисления. Основные законы, которые лежат в основе этого метода, следующие:

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения

Это ключевой закон, на котором построен весь алгоритм. Он гласит, что для умножения числа на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные произведения. В виде формулы это выглядит так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Именно это мы и делаем при умножении столбиком. Рассмотрим пример: $135 \cdot 24$.

Мы представляем второй множитель $24$ как сумму его разрядных слагаемых: $24 = 20 + 4$.

Тогда всё произведение можно записать как $135 \cdot (20 + 4)$.

По распределительному закону, это выражение равно $135 \cdot 4 + 135 \cdot 20$.

Эти два слагаемых, $135 \cdot 4 = 540$ и $135 \cdot 20 = 2700$, и есть те самые "неполные произведения", которые мы вычисляем и записываем друг под другом в столбик, а затем складываем для получения итогового результата:

135
× 24
540 (это $135 \cdot 4$)
+ 2700 (это $135 \cdot 20$)
3240

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения

Этот закон, описываемый формулой $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$, позволяет произвольно группировать множители. Он используется неявно при работе с разрядами. Например, когда мы вычисляем второе неполное произведение $135 \cdot 20$, мы можем представить $20$ как $2 \cdot 10$. По сочетательному закону, $135 \cdot (2 \cdot 10) = (135 \cdot 2) \cdot 10$. На практике это означает, что мы умножаем $135$ на цифру $2$, получаем $270$, а затем сдвигаем результат на один разряд влево (дописываем в конце ноль), что равносильно умножению на $10$.

Переместительный (коммутативный) закон умножения

Закон гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется: $a \cdot b = b \cdot a$. При умножении столбиком это свойство дает нам удобство: мы можем записать сверху число, в котором больше цифр, чтобы уменьшить количество неполных произведений и, следовательно, упростить вычисления.

Таким образом, умножение столбиком — это не просто набор правил, а наглядный способ последовательного применения базовых законов математики.

Ответ: При умножении столбиком используются распределительный закон умножения относительно сложения, а также сочетательный и переместительный законы умножения.

138. Объясните, как выполнено умножение:

а) $\begin{array}{r} 748 \\ \times 6 \\ \hline 4488\end{array}$

б) $\begin{array}{r} 973 \\ \times 50 \\ \hline 48650\end{array}$

в) $\begin{array}{r} 7050 \\ \times 7 \\ \hline 49350\end{array}$

г) $\begin{array}{r} \phantom{+} 926 \\ \times 38 \\ \hline \phantom{+} 7408 \\ + 2778\phantom{0} \\ \hline \phantom{+} 35188\end{array}$

д) $\begin{array}{r} \phantom{+} 326 \\ \times 502 \\ \hline \phantom{+} 652 \\ + 1630\phantom{00} \\ \hline \phantom{+} 163652\end{array}$

е) $\begin{array}{r} \phantom{+} 4830 \\ \times 4900 \\ \hline \phantom{+0}4347\phantom{0} \\ + \phantom{0}1932\phantom{00} \\ \hline \phantom{+} 23667000\end{array}$

а) Умножение выполняется "в столбик".
1. Умножаем единицы первого множителя на второй множитель: $8 \times 6 = 48$. 8 записываем в разряд единиц результата, а 4 десятка запоминаем (переносим в старший разряд).
2. Умножаем десятки: $4 \times 6 = 24$. К полученному результату прибавляем 4, которые запомнили: $24 + 4 = 28$. 8 записываем в разряд десятков, а 2 сотни запоминаем.
3. Умножаем сотни: $7 \times 6 = 42$. Прибавляем 2, которые запомнили: $42 + 2 = 44$. Записываем 44 в разряды сотен и тысяч.
Ответ: $748 \times 6 = 4488$.

б) При умножении на число, оканчивающееся нулем (в данном случае на 50), можно умножить число на 5, а затем к результату приписать ноль.
1. Умножаем 973 на 5: $973 \times 5 = 4865$.
2. К полученному числу 4865 приписываем справа ноль от числа 50.
В столбик это записывается так, что ноль сразу сносится в ответ, а умножение ведется на 5.
Ответ: $973 \times 50 = 48650$.

в) При умножении числа, оканчивающегося нулем (7050), на другое число (7) можно умножить число без нуля (705) на 7, а затем к результату приписать ноль.
1. Ноль из числа 7050 сразу сносится в разряд единиц ответа.
2. Далее умножается 705 на 7: $705 \times 7 = 4935$.
3. Результат записывается перед нулем.
Ответ: $7050 \times 7 = 49350$.

г) Умножение многозначных чисел "в столбик".
1. Сначала первый множитель (926) умножается на разряд единиц второго множителя (8): $926 \times 8 = 7408$. Это первое неполное произведение.
2. Затем первый множитель (926) умножается на разряд десятков второго множителя (3): $926 \times 3 = 2778$. Результат записывается под первым неполным произведением со сдвигом на один разряд влево (так как мы умножали на десятки). Это второе неполное произведение.
3. Неполные произведения складываются: $7408 + 27780 = 35188$.
Ответ: $926 \times 38 = 35188$.

д) Умножение на трехзначное число с нулем в разряде десятков.
1. Первый множитель (326) умножается на разряд единиц второго множителя (2): $326 \times 2 = 652$.
2. Умножение на разряд десятков (0) даст в результате ноль, поэтому этот шаг пропускают.
3. Первый множитель (326) умножается на разряд сотен второго множителя (5): $326 \times 5 = 1630$. Результат записывается под первым неполным произведением со сдвигом на два разряда влево (так как мы пропустили разряд десятков и умножаем на сотни).
4. Неполные произведения складываются: $652 + 163000 = 163652$.
Ответ: $326 \times 502 = 163652$.

е) Умножение чисел, оканчивающихся нулями.
1. Чтобы перемножить такие числа, нужно перемножить их части без нулей (483 и 49), а затем к результату приписать все нули из обоих множителей.
2. Умножаем 483 на 49 "в столбик":
Первое неполное произведение: $483 \times 9 = 4347$.
Второе неполное произведение: $483 \times 4 = 1932$ (записывается со сдвигом влево).
3. Складываем неполные произведения: $4347 + 19320 = 23667$.
4. В первом множителе (4830) один ноль, во втором (4900) — два нуля. Всего три нуля. Приписываем три нуля к результату.
Ответ: $4830 \times 4900 = 23667000$.

Вычислите произведение чисел (139–143).

139. а) $12 \cdot 10;$

б) $32 \cdot 100;$

в) $65 \cdot 1000;$

г) $20 \cdot 100;$

д) $300 \cdot 1000;$

е) $1500 \cdot 100;$

ж) $10 \cdot 190;$

з) $1000 \cdot 20;$

и) $100 \cdot 380;$

к) $129 \cdot 100;$

л) $1000 \cdot 130;$

м) $2900 \cdot 10.$

а) Чтобы умножить число 12 на 10, нужно к этому числу приписать справа один ноль.
$12 \cdot 10 = 120$.
Ответ: 120.

б) Чтобы умножить число 32 на 100, нужно к этому числу приписать справа два ноля.
$32 \cdot 100 = 3200$.
Ответ: 3200.

в) Чтобы умножить число 65 на 1000, нужно к этому числу приписать справа три ноля.
$65 \cdot 1000 = 65000$.
Ответ: 65000.

г) Чтобы умножить число 20 на 100, нужно к этому числу приписать справа два ноля.
$20 \cdot 100 = 2000$.
Ответ: 2000.

д) Чтобы умножить число 300 на 1000, нужно к этому числу приписать справа три ноля.
$300 \cdot 1000 = 300000$.
Ответ: 300000.

е) Чтобы умножить число 1500 на 100, нужно к этому числу приписать справа два ноля.
$1500 \cdot 100 = 150000$.
Ответ: 150000.

ж) Чтобы найти произведение 10 и 190, можно использовать переместительное свойство умножения ($a \cdot b = b \cdot a$). Умножим 190 на 10. Для этого к числу 190 нужно приписать справа один ноль.
$10 \cdot 190 = 190 \cdot 10 = 1900$.
Ответ: 1900.

з) Чтобы найти произведение 1000 и 20, используем переместительное свойство умножения. Умножим 20 на 1000. Для этого к числу 20 нужно приписать справа три ноля.
$1000 \cdot 20 = 20 \cdot 1000 = 20000$.
Ответ: 20000.

и) Чтобы найти произведение 100 и 380, используем переместительное свойство умножения. Умножим 380 на 100. Для этого к числу 380 нужно приписать справа два ноля.
$100 \cdot 380 = 380 \cdot 100 = 38000$.
Ответ: 38000.

к) Чтобы умножить число 129 на 100, нужно к этому числу приписать справа два ноля.
$129 \cdot 100 = 12900$.
Ответ: 12900.

л) Чтобы найти произведение 1000 и 130, используем переместительное свойство умножения. Умножим 130 на 1000. Для этого к числу 130 нужно приписать справа три ноля.
$1000 \cdot 130 = 130 \cdot 1000 = 130000$.
Ответ: 130000.

м) Чтобы умножить число 2900 на 10, нужно к этому числу приписать справа один ноль.
$2900 \cdot 10 = 29000$.
Ответ: 29000.

140. а) $24 \cdot 2;$

б) $31 \cdot 3;$

в) $52 \cdot 4;$

г) $71 \cdot 9;$

д) $23 \cdot 8;$

е) $9 \cdot 18;$

ж) $65 \cdot 4;$

з) $76 \cdot 5;$

и) $48 \cdot 9;$

к) $8 \cdot 34;$

л) $7 \cdot 85;$

м) $9 \cdot 78.$

а) Для вычисления произведения $24 \cdot 2$ разложим число 24 на сумму разрядных слагаемых (20 и 4) и воспользуемся распределительным свойством умножения:
$24 \cdot 2 = (20 + 4) \cdot 2 = 20 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 40 + 8 = 48$.
Ответ: 48

б) Для вычисления произведения $31 \cdot 3$ разложим число 31 на сумму слагаемых (30 и 1) и умножим каждое из них на 3:
$31 \cdot 3 = (30 + 1) \cdot 3 = 30 \cdot 3 + 1 \cdot 3 = 90 + 3 = 93$.
Ответ: 93

в) Чтобы найти произведение $52 \cdot 4$, представим 52 в виде суммы 50 и 2 и применим распределительное свойство:
$52 \cdot 4 = (50 + 2) \cdot 4 = 50 \cdot 4 + 2 \cdot 4 = 200 + 8 = 208$.
Ответ: 208

г) Для вычисления $71 \cdot 9$ разложим 71 на 70 и 1, после чего умножим каждое слагаемое на 9 и сложим результаты:
$71 \cdot 9 = (70 + 1) \cdot 9 = 70 \cdot 9 + 1 \cdot 9 = 630 + 9 = 639$.
Ответ: 639

д) Для нахождения произведения $23 \cdot 8$ представим 23 как сумму 20 и 3. Затем умножим каждое слагаемое на 8:
$23 \cdot 8 = (20 + 3) \cdot 8 = 20 \cdot 8 + 3 \cdot 8 = 160 + 24 = 184$.
Ответ: 184

е) Чтобы вычислить $9 \cdot 18$, воспользуемся переместительным свойством ($9 \cdot 18 = 18 \cdot 9$) и разложим 18 на 10 и 8:
$18 \cdot 9 = (10 + 8) \cdot 9 = 10 \cdot 9 + 8 \cdot 9 = 90 + 72 = 162$.
Ответ: 162

ж) Для вычисления $65 \cdot 4$ представим 65 в виде суммы 60 и 5 и умножим на 4:
$65 \cdot 4 = (60 + 5) \cdot 4 = 60 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 240 + 20 = 260$.
Ответ: 260

з) Чтобы найти произведение $76 \cdot 5$, разложим 76 на сумму 70 и 6:
$76 \cdot 5 = (70 + 6) \cdot 5 = 70 \cdot 5 + 6 \cdot 5 = 350 + 30 = 380$.
Ответ: 380

и) Для вычисления произведения $48 \cdot 9$ представим 48 как сумму 40 и 8 и умножим каждое слагаемое на 9:
$48 \cdot 9 = (40 + 8) \cdot 9 = 40 \cdot 9 + 8 \cdot 9 = 360 + 72 = 432$.
Ответ: 432

к) Чтобы вычислить $8 \cdot 34$, поменяем множители местами ($8 \cdot 34 = 34 \cdot 8$) и разложим 34 на 30 и 4:
$34 \cdot 8 = (30 + 4) \cdot 8 = 30 \cdot 8 + 4 \cdot 8 = 240 + 32 = 272$.
Ответ: 272

л) Для нахождения произведения $7 \cdot 85$ поменяем множители местами и разложим 85 на сумму 80 и 5:
$85 \cdot 7 = (80 + 5) \cdot 7 = 80 \cdot 7 + 5 \cdot 7 = 560 + 35 = 595$.
Ответ: 595

м) Чтобы вычислить $9 \cdot 78$, поменяем множители местами ($9 \cdot 78 = 78 \cdot 9$) и разложим 78 на 70 и 8:
$78 \cdot 9 = (70 + 8) \cdot 9 = 70 \cdot 9 + 8 \cdot 9 = 630 + 72 = 702$.
Ответ: 702

141. a) $132 \cdot 5$;

б) $645 \cdot 3$;

в) $5 \cdot 418$;

г) $7 \cdot 338$;

д) $106 \cdot 4$;

е) $401 \cdot 6$;

ж) $4381 \cdot 2$;

з) $7713 \cdot 8$;

и) $7 \cdot 6204$;

к) $9 \cdot 5007$;

л) $6 \cdot 5769$;

м) $7 \cdot 777$.

а) Чтобы найти произведение чисел $132$ и $5$, выполним умножение в столбик.
Умножаем единицы: $2 \cdot 5 = 10$. Пишем $0$ в разряд единиц, $1$ десяток запоминаем.
Умножаем десятки: $3 \cdot 5 = 15$. Прибавляем $1$ десяток, который запомнили: $15 + 1 = 16$. Пишем $6$ в разряд десятков, $1$ сотню запоминаем.
Умножаем сотни: $1 \cdot 5 = 5$. Прибавляем $1$ сотню, которую запомнили: $5 + 1 = 6$. Пишем $6$ в разряд сотен.
Получаем число $660$.
$132 \cdot 5 = 660$.
Ответ: $660$.

б) Чтобы найти произведение чисел $645$ и $3$, выполним умножение в столбик.
Умножаем единицы: $5 \cdot 3 = 15$. Пишем $5$, $1$ запоминаем.
Умножаем десятки: $4 \cdot 3 = 12$. Прибавляем $1$ десяток, который запомнили: $12 + 1 = 13$. Пишем $3$, $1$ запоминаем.
Умножаем сотни: $6 \cdot 3 = 18$. Прибавляем $1$ сотню, которую запомнили: $18 + 1 = 19$. Пишем $19$.
Получаем число $1935$.
$645 \cdot 3 = 1935$.
Ответ: $1935$.

в) Чтобы найти произведение $5 \cdot 418$, воспользуемся переместительным свойством умножения: $5 \cdot 418 = 418 \cdot 5$. Выполним умножение в столбик.
Умножаем единицы: $8 \cdot 5 = 40$. Пишем $0$, $4$ запоминаем.
Умножаем десятки: $1 \cdot 5 = 5$. Прибавляем $4$ десятка, которые запомнили: $5 + 4 = 9$. Пишем $9$.
Умножаем сотни: $4 \cdot 5 = 20$. Пишем $20$.
Получаем число $2090$.
$5 \cdot 418 = 2090$.
Ответ: $2090$.

г) Чтобы найти произведение $7 \cdot 338$, воспользуемся переместительным свойством умножения: $7 \cdot 338 = 338 \cdot 7$. Выполним умножение в столбик.
Умножаем единицы: $8 \cdot 7 = 56$. Пишем $6$, $5$ запоминаем.
Умножаем десятки: $3 \cdot 7 = 21$. Прибавляем $5$ десятков, которые запомнили: $21 + 5 = 26$. Пишем $6$, $2$ запоминаем.
Умножаем сотни: $3 \cdot 7 = 21$. Прибавляем $2$ сотни, которые запомнили: $21 + 2 = 23$. Пишем $23$.
Получаем число $2366$.
$7 \cdot 338 = 2366$.
Ответ: $2366$.

д) Чтобы найти произведение чисел $106$ и $4$, выполним умножение в столбик.
Умножаем единицы: $6 \cdot 4 = 24$. Пишем $4$, $2$ запоминаем.
Умножаем десятки: $0 \cdot 4 = 0$. Прибавляем $2$ десятка, которые запомнили: $0 + 2 = 2$. Пишем $2$.
Умножаем сотни: $1 \cdot 4 = 4$. Пишем $4$.
Получаем число $424$.
$106 \cdot 4 = 424$.
Ответ: $424$.

е) Чтобы найти произведение чисел $401$ и $6$, выполним умножение в столбик.
Умножаем единицы: $1 \cdot 6 = 6$. Пишем $6$.
Умножаем десятки: $0 \cdot 6 = 0$. Пишем $0$.
Умножаем сотни: $4 \cdot 6 = 24$. Пишем $24$.
Получаем число $2406$.
$401 \cdot 6 = 2406$.
Ответ: $2406$.

ж) Чтобы найти произведение чисел $4381$ и $2$, выполним умножение в столбик.
Умножаем единицы: $1 \cdot 2 = 2$. Пишем $2$.
Умножаем десятки: $8 \cdot 2 = 16$. Пишем $6$, $1$ запоминаем.
Умножаем сотни: $3 \cdot 2 = 6$. Прибавляем $1$ сотню, которую запомнили: $6 + 1 = 7$. Пишем $7$.
Умножаем тысячи: $4 \cdot 2 = 8$. Пишем $8$.
Получаем число $8762$.
$4381 \cdot 2 = 8762$.
Ответ: $8762$.

з) Чтобы найти произведение чисел $7713$ и $8$, выполним умножение в столбик.
Умножаем единицы: $3 \cdot 8 = 24$. Пишем $4$, $2$ запоминаем.
Умножаем десятки: $1 \cdot 8 = 8$. Прибавляем $2$ десятка, которые запомнили: $8 + 2 = 10$. Пишем $0$, $1$ запоминаем.
Умножаем сотни: $7 \cdot 8 = 56$. Прибавляем $1$ сотню, которую запомнили: $56 + 1 = 57$. Пишем $7$, $5$ запоминаем.
Умножаем тысячи: $7 \cdot 8 = 56$. Прибавляем $5$ тысяч, которые запомнили: $56 + 5 = 61$. Пишем $61$.
Получаем число $61704$.
$7713 \cdot 8 = 61704$.
Ответ: $61704$.

и) Чтобы найти произведение $7 \cdot 6204$, воспользуемся переместительным свойством умножения: $7 \cdot 6204 = 6204 \cdot 7$. Выполним умножение в столбик.
Умножаем единицы: $4 \cdot 7 = 28$. Пишем $8$, $2$ запоминаем.
Умножаем десятки: $0 \cdot 7 = 0$. Прибавляем $2$ десятка, которые запомнили: $0 + 2 = 2$. Пишем $2$.
Умножаем сотни: $2 \cdot 7 = 14$. Пишем $4$, $1$ запоминаем.
Умножаем тысячи: $6 \cdot 7 = 42$. Прибавляем $1$ тысячу, которую запомнили: $42 + 1 = 43$. Пишем $43$.
Получаем число $43428$.
$7 \cdot 6204 = 43428$.
Ответ: $43428$.

к) Чтобы найти произведение $9 \cdot 5007$, воспользуемся переместительным свойством умножения: $9 \cdot 5007 = 5007 \cdot 9$. Выполним умножение в столбик.
Умножаем единицы: $7 \cdot 9 = 63$. Пишем $3$, $6$ запоминаем.
Умножаем десятки: $0 \cdot 9 = 0$. Прибавляем $6$ десятков, которые запомнили: $0 + 6 = 6$. Пишем $6$.
Умножаем сотни: $0 \cdot 9 = 0$. Пишем $0$.
Умножаем тысячи: $5 \cdot 9 = 45$. Пишем $45$.
Получаем число $45063$.
$9 \cdot 5007 = 45063$.
Ответ: $45063$.

л) Чтобы найти произведение $6 \cdot 5769$, воспользуемся переместительным свойством умножения: $6 \cdot 5769 = 5769 \cdot 6$. Выполним умножение в столбик.
Умножаем единицы: $9 \cdot 6 = 54$. Пишем $4$, $5$ запоминаем.
Умножаем десятки: $6 \cdot 6 = 36$. Прибавляем $5$ десятков, которые запомнили: $36 + 5 = 41$. Пишем $1$, $4$ запоминаем.
Умножаем сотни: $7 \cdot 6 = 42$. Прибавляем $4$ сотни, которые запомнили: $42 + 4 = 46$. Пишем $6$, $4$ запоминаем.
Умножаем тысячи: $5 \cdot 6 = 30$. Прибавляем $4$ тысячи, которые запомнили: $30 + 4 = 34$. Пишем $34$.
Получаем число $34614$.
$6 \cdot 5769 = 34614$.
Ответ: $34614$.

м) Чтобы найти произведение $7 \cdot 777$, воспользуемся переместительным свойством умножения: $7 \cdot 777 = 777 \cdot 7$. Выполним умножение в столбик.
Умножаем единицы: $7 \cdot 7 = 49$. Пишем $9$, $4$ запоминаем.
Умножаем десятки: $7 \cdot 7 = 49$. Прибавляем $4$ десятка, которые запомнили: $49 + 4 = 53$. Пишем $3$, $5$ запоминаем.
Умножаем сотни: $7 \cdot 7 = 49$. Прибавляем $5$ сотен, которые запомнили: $49 + 5 = 54$. Пишем $54$.
Получаем число $5439$.
$7 \cdot 777 = 5439$.
Ответ: $5439$.

142. a) $23 \cdot 11$;

б) $42 \cdot 12$;

В) $22 \cdot 33$;

г) $53 \cdot 31$;

Д) $68 \cdot 61$;

е) $64 \cdot 24$;

ж) $79 \cdot 23$;

З) $72 \cdot 25$;

и) $42 \cdot 68$;

к) $37 \cdot 33$;

л) $74 \cdot 15$;

М) $37 \cdot 66$;

н) $48 \cdot 37$;

о) $54 \cdot 29$;

п) $63 \cdot 36$.

а) $23 \cdot 11$

Для вычисления произведения $23 \cdot 11$ можно представить число 11 в виде суммы $(10 + 1)$ и применить распределительное свойство умножения: $23 \cdot 11 = 23 \cdot (10 + 1) = 23 \cdot 10 + 23 \cdot 1 = 230 + 23 = 253$.

Ответ: 253

б) $42 \cdot 12$

Представим число 12 в виде суммы $(10 + 2)$ и раскроем скобки: $42 \cdot 12 = 42 \cdot (10 + 2) = 42 \cdot 10 + 42 \cdot 2 = 420 + 84 = 504$.

Ответ: 504

в) $22 \cdot 33$

Представим число 33 в виде суммы $(30 + 3)$: $22 \cdot 33 = 22 \cdot (30 + 3) = 22 \cdot 30 + 22 \cdot 3 = 660 + 66 = 726$.

Ответ: 726

г) $53 \cdot 31$

Представим число 31 в виде суммы $(30 + 1)$: $53 \cdot 31 = 53 \cdot (30 + 1) = 53 \cdot 30 + 53 \cdot 1 = 1590 + 53 = 1643$.

Ответ: 1643

д) $68 \cdot 61$

Представим число 61 в виде суммы $(60 + 1)$: $68 \cdot 61 = 68 \cdot (60 + 1) = 68 \cdot 60 + 68 \cdot 1 = 4080 + 68 = 4148$.

Ответ: 4148

е) $64 \cdot 24$

Представим число 24 в виде суммы $(20 + 4)$: $64 \cdot 24 = 64 \cdot (20 + 4) = 64 \cdot 20 + 64 \cdot 4 = 1280 + 256 = 1536$.

Ответ: 1536

ж) $79 \cdot 23$

Представим число 23 в виде суммы $(20 + 3)$: $79 \cdot 23 = 79 \cdot (20 + 3) = 79 \cdot 20 + 79 \cdot 3 = 1580 + 237 = 1817$.

Ответ: 1817

з) $72 \cdot 25$

Умножение на 25 удобно заменить умножением на 100 и делением на 4: $72 \cdot 25 = 72 \cdot \frac{100}{4} = \frac{7200}{4} = 1800$. Другой способ — представить 25 как $(20+5)$: $72 \cdot (20+5) = 72 \cdot 20 + 72 \cdot 5 = 1440 + 360 = 1800$.

Ответ: 1800

и) $42 \cdot 68$

Представим число 68 в виде суммы $(60 + 8)$: $42 \cdot 68 = 42 \cdot (60 + 8) = 42 \cdot 60 + 42 \cdot 8 = 2520 + 336 = 2856$.

Ответ: 2856

к) $37 \cdot 33$

Можно использовать формулу разности квадратов, представив множители как $(35+2)$ и $(35-2)$: $37 \cdot 33 = (35+2)(35-2) = 35^2 - 2^2 = 1225 - 4 = 1221$. Либо представим 33 как $(30+3)$: $37 \cdot 33 = 37 \cdot (30 + 3) = 37 \cdot 30 + 37 \cdot 3 = 1110 + 111 = 1221$.

Ответ: 1221

л) $74 \cdot 15$

Представим число 15 в виде суммы $(10 + 5)$: $74 \cdot 15 = 74 \cdot (10 + 5) = 74 \cdot 10 + 74 \cdot 5 = 740 + 370 = 1110$.

Ответ: 1110

м) $37 \cdot 66$

Представим число 66 в виде суммы $(60 + 6)$: $37 \cdot 66 = 37 \cdot (60 + 6) = 37 \cdot 60 + 37 \cdot 6 = 2220 + 222 = 2442$.

Ответ: 2442

н) $48 \cdot 37$

Представим число 37 в виде суммы $(30 + 7)$: $48 \cdot 37 = 48 \cdot (30 + 7) = 48 \cdot 30 + 48 \cdot 7 = 1440 + 336 = 1776$.

Ответ: 1776

о) $54 \cdot 29$

Для удобства вычислений представим число 29 в виде разности $(30 - 1)$: $54 \cdot 29 = 54 \cdot (30 - 1) = 54 \cdot 30 - 54 \cdot 1 = 1620 - 54 = 1566$.

Ответ: 1566

п) $63 \cdot 36$

Представим число 36 в виде суммы $(30 + 6)$: $63 \cdot 36 = 63 \cdot (30 + 6) = 63 \cdot 30 + 63 \cdot 6 = 1890 + 378 = 2268$.

Ответ: 2268

143. а) $86 \cdot 49$;

б) $92 \cdot 16$;

в) $88 \cdot 97$;

г) $951 \cdot 18$;

д) $663 \cdot 26$;

е) $847 \cdot 64$;

ж) $101 \cdot 332$;

з) $302 \cdot 648$;

и) $321 \cdot 562$;

к) $955 \cdot 317$;

л) $861 \cdot 242$;

м) $999 \cdot 732$;

н) $679 \cdot 679$;

о) $125 \cdot 125$;

п) $420 \cdot 450$.

а) Чтобы найти произведение чисел 86 и 49, умножим их по частям, используя метод умножения в столбик.

1. Умножаем 86 на 9 (единицы): $86 \cdot 9 = 774$.

2. Умножаем 86 на 40 (десятки): $86 \cdot 40 = 3440$.

3. Складываем результаты: $774 + 3440 = 4214$.

Ответ: 4214

б) Найдем произведение чисел 92 и 16.

1. Умножаем 92 на 6: $92 \cdot 6 = 552$.

2. Умножаем 92 на 10: $92 \cdot 10 = 920$.

3. Складываем полученные произведения: $552 + 920 = 1472$.

Ответ: 1472

в) Вычислим произведение 88 и 97.

1. $88 \cdot 7 = 616$.

2. $88 \cdot 90 = 7920$.

3. $616 + 7920 = 8536$.

Ответ: 8536

г) Найдем произведение чисел 951 и 18.

1. Умножаем 951 на 8: $951 \cdot 8 = 7608$.

2. Умножаем 951 на 10: $951 \cdot 10 = 9510$.

3. Складываем результаты: $7608 + 9510 = 17118$.

Ответ: 17118

д) Вычислим произведение 663 и 26.

1. $663 \cdot 6 = 3978$.

2. $663 \cdot 20 = 13260$.

3. $3978 + 13260 = 17238$.

Ответ: 17238

е) Найдем произведение 847 и 64.

1. $847 \cdot 4 = 3388$.

2. $847 \cdot 60 = 50820$.

3. $3388 + 50820 = 54208$.

Ответ: 54208

ж) Вычислим произведение 101 и 332. Для удобства можно представить 101 как $(100 + 1)$.

$101 \cdot 332 = (100 + 1) \cdot 332 = 100 \cdot 332 + 1 \cdot 332 = 33200 + 332 = 33532$.

Ответ: 33532

з) Найдем произведение 302 и 648. Представим 302 как $(300 + 2)$.

$302 \cdot 648 = (300 + 2) \cdot 648 = 300 \cdot 648 + 2 \cdot 648$.

1. $2 \cdot 648 = 1296$.

2. $300 \cdot 648 = 194400$.

3. $1296 + 194400 = 195696$.

Ответ: 195696

и) Вычислим произведение 321 и 562.

1. Умножаем 321 на 2: $321 \cdot 2 = 642$.

2. Умножаем 321 на 60: $321 \cdot 60 = 19260$.

3. Умножаем 321 на 500: $321 \cdot 500 = 160500$.

4. Складываем все результаты: $642 + 19260 + 160500 = 180402$.

Ответ: 180402

к) Найдем произведение 955 и 317.

1. $955 \cdot 7 = 6685$.

2. $955 \cdot 10 = 9550$.

3. $955 \cdot 300 = 286500$.

4. $6685 + 9550 + 286500 = 302735$.

Ответ: 302735

л) Вычислим произведение 861 и 242.

1. $861 \cdot 2 = 1722$.

2. $861 \cdot 40 = 34440$.

3. $861 \cdot 200 = 172200$.

4. $1722 + 34440 + 172200 = 208362$.

Ответ: 208362

м) Найдем произведение 999 и 732. Удобно представить 999 как $(1000 - 1)$.

$999 \cdot 732 = (1000 - 1) \cdot 732 = 1000 \cdot 732 - 1 \cdot 732 = 732000 - 732 = 731268$.

Ответ: 731268

н) Вычислим произведение 679 и 679 (возведем число в квадрат).

1. $679 \cdot 9 = 6111$.

2. $679 \cdot 70 = 47530$.

3. $679 \cdot 600 = 407400$.

4. $6111 + 47530 + 407400 = 461041$.

Ответ: 461041

о) Найдем произведение 125 и 125.

1. $125 \cdot 5 = 625$.

2. $125 \cdot 20 = 2500$.

3. $125 \cdot 100 = 12500$.

4. $625 + 2500 + 12500 = 15625$.

Ответ: 15625

п) Вычислим произведение 420 и 450.

Можно представить это как $42 \cdot 10 \cdot 45 \cdot 10 = (42 \cdot 45) \cdot 100$.

1. Найдем произведение $42 \cdot 45$: $42 \cdot 5 = 210$, $42 \cdot 40 = 1680$. $210 + 1680 = 1890$.

2. Умножим результат на 100: $1890 \cdot 100 = 189000$.

Ответ: 189000

144. Вычислите наиболее простым способом:

а) $24 \cdot 98 + 24 \cdot 2;$

б) $305 \cdot 199 + 305 \cdot 1;$

в) $49 \cdot 18 + 18;$

г) $153 \cdot 598 + 306.$

а) В выражении $24 \cdot 98 + 24 \cdot 2$ вынесем общий множитель 24 за скобки, используя распределительное свойство умножения: $c \cdot a + c \cdot b = c \cdot (a + b)$. Получим: $24 \cdot (98 + 2)$. Сначала выполним сложение в скобках: $98 + 2 = 100$. Затем умножим: $24 \cdot 100 = 2400$.
Ответ: 2400

б) В выражении $305 \cdot 199 + 305 \cdot 1$ общим множителем является 305. Вынесем его за скобки: $305 \cdot (199 + 1)$. Вычислим сумму в скобках: $199 + 1 = 200$. Теперь выполним умножение: $305 \cdot 200 = 61000$.
Ответ: 61000

в) В выражении $49 \cdot 18 + 18$ представим второе слагаемое 18 как $1 \cdot 18$. Тогда выражение примет вид: $49 \cdot 18 + 1 \cdot 18$. Теперь можно вынести общий множитель 18 за скобки: $(49 + 1) \cdot 18$. Выполним сложение в скобках: $49 + 1 = 50$. Затем умножим: $50 \cdot 18 = 900$.
Ответ: 900

г) В выражении $153 \cdot 598 + 306$ заметим, что $306 = 2 \cdot 153$. Заменим 306 на это произведение, чтобы получить общий множитель: $153 \cdot 598 + 2 \cdot 153$. Теперь вынесем общий множитель 153 за скобки: $153 \cdot (598 + 2)$. Вычислим сумму в скобках: $598 + 2 = 600$. Наконец, умножим: $153 \cdot 600 = 91800$.
Ответ: 91800

145. Выполните действие:

а) $325 \cdot 40;$

б) $3508 \cdot 250;$

в) $7380 \cdot 420;$

г) $3800 \cdot 550;$

д) $48 \cdot 9;$

е) $789 \cdot 1020.$

а) 325 · 40

Чтобы найти произведение $325 \cdot 40$, можно умножить 325 на 4, а затем полученный результат умножить на 10. Это упрощает вычисления.

1. Умножим 325 на 4:

$325 \cdot 4 = 1300$

2. Теперь умножим результат на 10:

$1300 \cdot 10 = 13000$

Таким образом, $325 \cdot 40 = 13000$.

Ответ: 13000.

б) 3508 · 250

Для вычисления произведения $3508 \cdot 250$ удобно представить число 250 как $1000 / 4$.

1. Сначала разделим 3508 на 4:

$3508 : 4 = 877$

2. Теперь умножим полученный результат на 1000:

$877 \cdot 1000 = 877000$

Таким образом, $3508 \cdot 250 = 877000$.

Ответ: 877000.

в) 7380 · 420

Чтобы перемножить числа, оканчивающиеся на нули, можно сначала перемножить числа без этих нулей, а затем к результату приписать общее количество нулей.

$7380 \cdot 420 = (738 \cdot 10) \cdot (42 \cdot 10) = (738 \cdot 42) \cdot 100$.

1. Умножим 738 на 42:

$738 \cdot 42 = 738 \cdot (40 + 2) = 738 \cdot 40 + 738 \cdot 2 = 29520 + 1476 = 30996$.

2. Теперь умножим результат на 100 (припишем два нуля):

$30996 \cdot 100 = 3099600$.

Ответ: 3099600.

г) 3800 · 550

Воспользуемся тем же методом, что и в предыдущем примере. В числах 3800 и 550 всего три нуля.

$3800 \cdot 550 = (38 \cdot 100) \cdot (55 \cdot 10) = (38 \cdot 55) \cdot 1000$.

1. Умножим 38 на 55:

$38 \cdot 55 = 38 \cdot (50 + 5) = 38 \cdot 50 + 38 \cdot 5 = 1900 + 190 = 2090$.

2. Теперь умножим результат на 1000:

$2090 \cdot 1000 = 2090000$.

Ответ: 2090000.

д) 48 · 9

Выполним умножение, используя распределительное свойство.

$48 \cdot 9 = (40 + 8) \cdot 9 = 40 \cdot 9 + 8 \cdot 9 = 360 + 72 = 432$.

Ответ: 432.

е) 789 · 1020

Чтобы умножить 789 на 1020, можно представить 1020 как $1000 + 20$ или как $102 \cdot 10$.

Используем второй способ: $789 \cdot 1020 = 789 \cdot (102 \cdot 10) = (789 \cdot 102) \cdot 10$.

1. Умножим 789 на 102:

$789 \cdot 102 = 789 \cdot (100 + 2) = 789 \cdot 100 + 789 \cdot 2 = 78900 + 1578 = 80478$.

2. Теперь умножим результат на 10:

$80478 \cdot 10 = 804780$.

Ответ: 804780.