Страница 42 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

174. На какие числа делится нацело любое натуральное число?

Для ответа на этот вопрос давайте разберемся, что такое натуральные числа и что такое делитель.

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее до бесконечности. Множество натуральных чисел обозначается как $N = \{1, 2, 3, ...\}$.

Делителем числа $a$ называется такое число $b$, на которое $a$ делится без остатка (нацело).

Нам нужно найти такое число (или такие числа), которое является делителем для каждого натурального числа. Давайте обозначим это искомое число как $x$.

Чтобы число $x$ было делителем любого натурального числа, оно должно быть делителем, в частности, самого первого и наименьшего натурального числа — единицы.

Найдем все натуральные делители числа 1. Число 1 делится нацело только на само себя: $1 \div 1 = 1$. Таким образом, единственным натуральным делителем числа 1 является число 1.

Отсюда следует, что единственным возможным числом, которое может делить все натуральные числа, является 1.

Теперь проверим, действительно ли 1 является делителем любого натурального числа. Возьмем любое натуральное число $n$. По свойству деления, любое число $n$, разделенное на 1, дает в результате само это число $n$:

$n \div 1 = n$

Например:

• $5 \div 1 = 5$
• $28 \div 1 = 28$
• $346 \div 1 = 346$

Поскольку деление всегда происходит без остатка, число 1 является делителем любого натурального числа. Других таких чисел нет, так как любое другое число (например, 2) не является делителем числа 1.

Ответ: 1.

175. Что получается при делении нуля на любое натуральное число?

При делении нуля на любое натуральное число в результате всегда получается нуль. Это одно из основных правил арифметики. Давайте разберем, почему это так.

Для начала вспомним, что такое натуральные числа. Это числа, которые используются для счета предметов: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Важно отметить, что по стандартному определению, принятому в школьной программе, нуль (0) не является натуральным числом.

Деление является операцией, обратной умножению. Это значит, что результат деления (частное) — это такое число, которое при умножении на делитель дает делимое.
То есть, если $a \div b = c$, то должно быть верным равенство $c \times b = a$.

Теперь применим это правило к нашему вопросу. Нам нужно разделить 0 (делимое) на любое натуральное число, которое мы обозначим буквой $n$ (делитель). Пусть результат этого деления равен $x$ (частное).
Запишем это в виде выражения:
$0 \div n = x$

Исходя из определения деления, мы можем составить проверку умножением:
$x \times n = 0$

Мы знаем, что произведение двух множителей равно нулю только в том случае, если хотя бы один из этих множителей равен нулю. В нашем случае множители — это $x$ и $n$. Так как $n$ — это любое натуральное число (1, 2, 3, ...), то оно точно не равно нулю ($n \ne 0$). Значит, для того чтобы равенство $x \times n = 0$ было верным, необходимо, чтобы второй множитель $x$ был равен нулю.

Таким образом, мы доказали, что при делении нуля на любое натуральное число в результате получается нуль.

Примеры:
$0 \div 5 = 0$, потому что $0 \times 5 = 0$.
$0 \div 175 = 0$, потому что $0 \times 175 = 0$.
$0 \div 1 = 0$, потому что $0 \times 1 = 0$.

Ответ: При делении нуля на любое натуральное число получается нуль (0).

176. Можно ли делить на нуль?

В стандартной арифметике и алгебре делить на нуль нельзя. Эта операция считается неопределенной. Чтобы понять почему, нужно вспомнить, что такое деление.

Связь деления и умножения

Деление — это операция, обратная умножению. Когда мы делим число $a$ на число $b$, мы ищем такое число $c$, для которого будет верным равенство $b \cdot c = a$.

Например, выражение $15 / 3 = 5$ верно, потому что $3 \cdot 5 = 15$.

Теперь давайте применим это правило к делению на ноль.

Случай 1: Деление ненулевого числа на ноль

Попробуем разделить любое число, не равное нулю (например, 5), на 0. Допустим, у нас получилось некое число $c$:

$5 / 0 = c$

Используя обратную операцию, мы должны получить:

$0 \cdot c = 5$

Но мы знаем, что любое число, умноженное на ноль, всегда равно нулю. Таким образом, мы получаем противоречие: $0 = 5$. Это неверно. Следовательно, не существует такого числа $c$, которое могло бы быть результатом деления 5 на 0.

Случай 2: Деление нуля на ноль

Теперь рассмотрим случай деления нуля на ноль. Предположим, что результатом является некое число $c$:

$0 / 0 = c$

Проверяем через умножение:

$0 \cdot c = 0$

Это равенство верно для абсолютно любого числа $c$. Например, $c$ может быть равно 1, 10, -34.5 или любому другому числу. Поскольку результат не является уникальным, операция не имеет смысла. Такая ситуация в математике называется "неопределенностью".

Деление на ноль в высшей математике

В некоторых разделах высшей математики, например, в математическом анализе при изучении пределов, рассматривается поведение функций, когда их знаменатель стремится к нулю. Например, для функции $f(x) = 1/x$, когда $x$ приближается к нулю, значение функции стремится к бесконечности. Это записывается как $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$. Однако важно понимать, что это не само деление на ноль, а анализ поведения функции в окрестности нуля.

Вывод: В рамках стандартной арифметики деление на ноль не определено, так как оно приводит либо к логическому противоречию (в случае деления ненулевого числа на ноль), либо к неопределенности (в случае деления нуля на ноль).

Ответ: Нет, в стандартной арифметике делить на нуль нельзя.

177. Какое число называют частным чисел 8 и 2; 20 и 4?

Частное чисел 8 и 2
Частное — это результат деления одного числа (делимого) на другое (делитель). Чтобы найти частное чисел 8 и 2, необходимо выполнить деление:
$8 \div 2 = 4$
Частным чисел 8 и 2 является число 4.
Ответ: 4

Частное чисел 20 и 4
Аналогично, чтобы найти частное чисел 20 и 4, необходимо выполнить деление:
$20 \div 4 = 5$
Частным чисел 20 и 4 является число 5.
Ответ: 5

178. Докажите, что $18 : 2 = 9$; $12 : 4 = 3$; $0 : 5 = 0$.

18 : 2 = 9

Чтобы доказать истинность этого равенства, необходимо выполнить проверку с помощью обратной математической операции — умножения. По определению деления, если частное (результат деления) умножить на делитель, должно получиться делимое.

В данном случае частное равно $9$, делитель — $2$, а делимое — $18$.

Выполним проверку: $9 \times 2 = 18$.

Поскольку результат умножения ($18$) совпадает с делимым, равенство $18 : 2 = 9$ является верным.

Ответ: Равенство доказано, так как $9 \times 2 = 18$.

12 : 4 = 3

Аналогично, для доказательства этого равенства воспользуемся проверкой через умножение. Умножим частное ($3$) на делитель ($4$).

Выполним проверку: $3 \times 4 = 12$.

Результат умножения ($12$) равен делимому, что доказывает верность равенства $12 : 4 = 3$.

Ответ: Равенство доказано, так как $3 \times 4 = 12$.

0 : 5 = 0

Для доказательства этого равенства применим тот же метод проверки. Умножим частное ($0$) на делитель ($5$).

Выполним проверку: $0 \times 5 = 0$.

Результат умножения ($0$) равен делимому. Это подтверждает общее математическое правило: деление нуля на любое число, не равное нулю, всегда дает в результате ноль.

Ответ: Равенство доказано, так как $0 \times 5 = 0$.

179. Объясните, почему верно равенство:

a) $(42 : 6) \cdot 6 = 42;$

б) $(625 : 25) \cdot 25 = 625.$

а) Данное равенство верно, поскольку деление и умножение на одно и то же число (в данном случае на 6) являются взаимно обратными операциями. Если какое-либо число сначала разделить на другое, а затем результат умножить на то же самое число, то в итоге получится исходное число. Это можно проверить, выполнив вычисления по порядку действий:

1. Сначала выполняем действие в скобках (деление): $42 : 6 = 7$.

2. Затем умножаем полученный результат на 6: $7 \cdot 6 = 42$.

В результате мы получаем $42 = 42$, что подтверждает верность равенства.

Ответ: Равенство верно, так как последовательное выполнение деления и умножения на одно и то же число (6) возвращает исходное число (42).

б) Это равенство также верно по причине того, что деление и умножение являются взаимно обратными действиями. Разделив число 625 на 25, а затем умножив результат снова на 25, мы вернемся к исходному числу. Проверим это с помощью вычислений:

1. Выполним деление в скобках: $625 : 25 = 25$.

2. Умножим полученное частное на 25: $25 \cdot 25 = 625$.

Мы получаем верное равенство $625 = 625$. Общее правило для таких выражений: $(a : b) \cdot b = a$ (при условии, что $b \ne 0$).

Ответ: Равенство верно, так как деление на 25 и последующее умножение на 25 являются взаимно обратными операциями.

180. Заполните пропуски:

а) $(56 : 8) \cdot \ldots = 56;$

б) $(54 : \ldots) \cdot 9 = 54;$

в) $(45 : \ldots) \cdot \ldots = 45;$

г) $(50 : \ldots) \cdot \ldots = 50.$

а) В уравнении $(56 : 8) \cdot \text{...} = 56$ необходимо найти пропущенный множитель. Сначала выполним действие в скобках: $56 : 8 = 7$. Получаем уравнение $7 \cdot \text{...} = 56$. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель: $56 : 7 = 8$.
Также можно использовать свойство взаимообратных операций: если число разделить на делитель, а затем результат умножить на тот же делитель, то получится исходное число. В данном случае мы делим на 8, значит, чтобы получить 56, нужно умножить на 8.
Ответ: $(56 : 8) \cdot 8 = 56$.

б) В уравнении $(54 : \text{...}) \cdot 9 = 54$ необходимо найти пропущенный делитель. Здесь также применяется свойство взаимообратных операций: $(a : b) \cdot b = a$. В нашем случае $a = 54$, а число, на которое умножается результат деления, равно 9. Следовательно, число, на которое нужно разделить 54, также равно 9. Проверим: $(54 : 9) \cdot 9 = 6 \cdot 9 = 54$.
Ответ: $(54 : 9) \cdot 9 = 54$.

в) В уравнении $(45 : \text{...}) \cdot \text{...} = 45$ нужно заполнить два пропуска. Чтобы в результате деления и последующего умножения получилось исходное число, необходимо делить и умножать на одно и то же число (отличное от нуля). Мы можем выбрать любой делитель числа 45. Например, выберем число 5. Тогда уравнение примет вид: $(45 : 5) \cdot 5 = 45$. Проверим: $9 \cdot 5 = 45$. Равенство верно. Можно было выбрать и другие числа, например 3 или 9.
Ответ: $(45 : 5) \cdot 5 = 45$.

г) Уравнение $(50 : \text{...}) \cdot \text{...} = 50$ решается аналогично предыдущему. Чтобы получить исходное число 50, нужно разделить и умножить на одно и то же число. Выберем любой делитель числа 50, например, 10. Получим: $(50 : 10) \cdot 10 = 50$. Проверим: $5 \cdot 10 = 50$. Равенство верно. Можно было выбрать и другие числа, например 2, 5 или 25.
Ответ: $(50 : 10) \cdot 10 = 50$.

181. Вычислите:

а) $(144 : 12) \cdot 12;$

б) $(132 : 11) \cdot 11.$

а) $(144 : 12) \cdot 12$

Для решения этого примера можно воспользоваться свойством, что деление и умножение на одно и то же число (кроме нуля) являются взаимообратными операциями. Если число сначала разделить на другое число, а потом результат умножить на него же, то получится исходное число. Общая формула выглядит так: $(a : b) \cdot b = a$ (при условии, что $b \neq 0$).

В данном случае $a = 144$ и $b = 12$. Применяя это свойство, сразу получаем результат:

$(144 : 12) \cdot 12 = 144$.

Также можно решить пример по действиям:

1. Сначала выполним действие в скобках (деление): $144 : 12 = 12$.

2. Затем выполним умножение: $12 \cdot 12 = 144$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 144

б) $(132 : 11) \cdot 11$

Этот пример решается по тому же принципу, что и предыдущий. Мы делим число 132 на 11 и сразу же умножаем результат на 11. Так как это взаимообратные операции, результат будет равен исходному числу 132.

Используем свойство $(a : b) \cdot b = a$ (при условии, что $b \neq 0$), где $a = 132$ и $b = 11$:

$(132 : 11) \cdot 11 = 132$.

Проверим, выполнив вычисления по действиям:

1. Выполним деление в скобках: $132 : 11 = 12$.

2. Выполним умножение: $12 \cdot 11 = 132$.

Результаты совпадают.

Ответ: 132

182. Запишите следующее число в виде произведения двух множителей различными способами:

a) $12$;

б) $15$;

в) $25$;

г) $20$;

д) $27$;

е) $0$;

ж) $16$;

з) $24$.

а) Представим число 12 в виде произведения двух множителей. Для этого найдем все пары натуральных чисел, произведение которых равно 12. Это пары (1, 12), (2, 6) и (3, 4). Соответствующие произведения:
$1 \cdot 12 = 12$
$2 \cdot 6 = 12$
$3 \cdot 4 = 12$

Ответ: $1 \cdot 12$; $2 \cdot 6$; $3 \cdot 4$.

б) Представим число 15 в виде произведения двух множителей. Для этого найдем все пары натуральных чисел, произведение которых равно 15. Это пары (1, 15) и (3, 5). Соответствующие произведения:
$1 \cdot 15 = 15$
$3 \cdot 5 = 15$

Ответ: $1 \cdot 15$; $3 \cdot 5$.

в) Представим число 25 в виде произведения двух множителей. Для этого найдем все пары натуральных чисел, произведение которых равно 25. Это пары (1, 25) и (5, 5). Соответствующие произведения:
$1 \cdot 25 = 25$
$5 \cdot 5 = 25$

Ответ: $1 \cdot 25$; $5 \cdot 5$.

г) Представим число 20 в виде произведения двух множителей. Для этого найдем все пары натуральных чисел, произведение которых равно 20. Это пары (1, 20), (2, 10) и (4, 5). Соответствующие произведения:
$1 \cdot 20 = 20$
$2 \cdot 10 = 20$
$4 \cdot 5 = 20$

Ответ: $1 \cdot 20$; $2 \cdot 10$; $4 \cdot 5$.

д) Представим число 27 в виде произведения двух множителей. Для этого найдем все пары натуральных чисел, произведение которых равно 27. Это пары (1, 27) и (3, 9). Соответствующие произведения:
$1 \cdot 27 = 27$
$3 \cdot 9 = 27$

Ответ: $1 \cdot 27$; $3 \cdot 9$.

е) Число 0 можно представить в виде произведения двух множителей бесконечным количеством способов, так как произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Один множитель будет 0, а второй может быть любым числом. Приведем несколько примеров:
$0 \cdot 1 = 0$
$0 \cdot 7 = 0$
$0 \cdot 15 = 0$
$0 \cdot 0 = 0$

Ответ: $0 \cdot a$, где $a$ — любое число. Например: $0 \cdot 1$, $0 \cdot 7$, $0 \cdot 15$.

ж) Представим число 16 в виде произведения двух множителей. Для этого найдем все пары натуральных чисел, произведение которых равно 16. Это пары (1, 16), (2, 8) и (4, 4). Соответствующие произведения:
$1 \cdot 16 = 16$
$2 \cdot 8 = 16$
$4 \cdot 4 = 16$

Ответ: $1 \cdot 16$; $2 \cdot 8$; $4 \cdot 4$.

з) Представим число 24 в виде произведения двух множителей. Для этого найдем все пары натуральных чисел, произведение которых равно 24. Это пары (1, 24), (2, 12), (3, 8) и (4, 6). Соответствующие произведения:
$1 \cdot 24 = 24$
$2 \cdot 12 = 24$
$3 \cdot 8 = 24$
$4 \cdot 6 = 24$

Ответ: $1 \cdot 24$; $2 \cdot 12$; $3 \cdot 8$; $4 \cdot 6$.

183. Объясните, как найти неизвестное число $x$:

а) $31 \cdot x = 93;$

б) $x \cdot 4 = 168;$

в) $120 : x = 40;$

г) $x : 42 = 2.$

а) В уравнении $31 \cdot x = 93$ неизвестное число $x$ является одним из множителей. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (93) разделить на известный множитель (31).

$x = 93 : 31$

$x = 3$

Проверка: $31 \cdot 3 = 93$.

Ответ: 3

б) В уравнении $x \cdot 4 = 168$ неизвестное число $x$ также является множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение (168) разделить на известный множитель (4).

$x = 168 : 4$

$x = 42$

Проверка: $42 \cdot 4 = 168$.

Ответ: 42

в) В уравнении $120 : x = 40$ неизвестное число $x$ является делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое (120) разделить на частное (40).

$x = 120 : 40$

$x = 3$

Проверка: $120 : 3 = 40$.

Ответ: 3

г) В уравнении $x : 42 = 2$ неизвестное число $x$ является делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель (42) умножить на частное (2).

$x = 42 \cdot 2$

$x = 84$

Проверка: $84 : 42 = 2$.

Ответ: 84

184. Найдите частное чисел:

а) 40 и 8;

б) 72 и 9;

в) 64 и 8;

г) 560 и 7;

д) 140 и 7;

е) 360 и 6;

ж) 606 и 2;

з) 808 и 4;

и) 909 и 9.

а) Частное чисел 40 и 8 — это результат деления первого числа (делимое) на второе (делитель). Выполним деление: $40 : 8 = 5$.
Ответ: 5

б) Частное чисел 72 и 9 — это результат деления 72 на 9. Выполним деление, используя таблицу умножения: $72 : 9 = 8$.
Ответ: 8

в) Частное чисел 64 и 8 — это результат деления 64 на 8. Выполним деление: $64 : 8 = 8$.
Ответ: 8

г) Чтобы найти частное чисел 560 и 7, нужно разделить 560 на 7. Можно представить 560 как $56 \times 10$. Тогда $560 : 7 = (56 \times 10) : 7 = (56 : 7) \times 10 = 8 \times 10 = 80$.
Ответ: 80

д) Чтобы найти частное чисел 140 и 7, нужно разделить 140 на 7. Можно представить 140 как $14 \times 10$. Тогда $140 : 7 = (14 \times 10) : 7 = (14 : 7) \times 10 = 2 \times 10 = 20$.
Ответ: 20

е) Чтобы найти частное чисел 360 и 6, нужно разделить 360 на 6. Можно представить 360 как $36 \times 10$. Тогда $360 : 6 = (36 \times 10) : 6 = (36 : 6) \times 10 = 6 \times 10 = 60$.
Ответ: 60

ж) Частное чисел 606 и 2 — это результат деления 606 на 2. Можно представить число 606 как сумму разрядных слагаемых $600 + 6$. Тогда $606 : 2 = (600 + 6) : 2 = 600 : 2 + 6 : 2 = 300 + 3 = 303$.
Ответ: 303

з) Частное чисел 808 и 4 — это результат деления 808 на 4. Можно представить число 808 как сумму $800 + 8$. Тогда $808 : 4 = (800 + 8) : 4 = 800 : 4 + 8 : 4 = 200 + 2 = 202$.
Ответ: 202

и) Частное чисел 909 и 9 — это результат деления 909 на 9. Можно представить число 909 как сумму $900 + 9$. Тогда $909 : 9 = (900 + 9) : 9 = 900 : 9 + 9 : 9 = 100 + 1 = 101$.
Ответ: 101

185. Вычислите частное по образцу:

а) $400 : 80 = (400 : 10) : (80 : 10) = 40 : 8 = ...;$

б) $800 : 400;$

в) $16000 : 800;$

г) $300 : 50;$

д) $6400 : 1600;$

е) $20000 : 4000;$

ж) $2000 : 500.$

б) Чтобы найти частное от деления 800 на 400, воспользуемся свойством частного: если делимое и делитель разделить на одно и то же число, частное не изменится. В данном случае удобно разделить оба числа на 100.
$800 : 400 = (800 : 100) : (400 : 100) = 8 : 4 = 2$.
Ответ: 2

в) Для вычисления частного $16000 : 800$, разделим делимое и делитель на 100, чтобы упростить выражение:
$16000 : 800 = (16000 : 100) : (800 : 100) = 160 : 8 = 20$.
Ответ: 20

г) Разделим делимое и делитель на 10, так как оба числа заканчиваются на один ноль:
$300 : 50 = (300 : 10) : (50 : 10) = 30 : 5 = 6$.
Ответ: 6

д) Разделим делимое и делитель на 100, так как оба числа заканчиваются на два ноля:
$6400 : 1600 = (6400 : 100) : (1600 : 100) = 64 : 16 = 4$.
Ответ: 4

е) Разделим делимое и делитель на 1000, так как оба числа заканчиваются на три ноля:
$20000 : 4000 = (20000 : 1000) : (4000 : 1000) = 20 : 4 = 5$.
Ответ: 5

ж) Разделим делимое и делитель на 100:
$2000 : 500 = (2000 : 100) : (500 : 100) = 20 : 5 = 4$.
Ответ: 4

186. При делении на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить делимое и делитель на 2 и выполнить деление на 10 или 100 соответственно. Вычислите частное по образцу:

а) $95 : 5 = (95 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 190 : 10 = ...;$

б) $2400 : 50 = (2400 \cdot 2) : (50 \cdot 2) = 4800 : 100 = ...;$

в) $3200 : 5;$

г) $1320 : 5;$

д) $4320 : 5;$

е) $2350 : 50;$

ж) $7200 : 50;$

з) $9200 : 50.$

а) Завершим вычисление по образцу:
$95 : 5 = (95 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 190 : 10 = 19$.
Ответ: 19

б) Завершим вычисление по образцу:
$2400 : 50 = (2400 \cdot 2) : (50 \cdot 2) = 4800 : 100 = 48$.
Ответ: 48

в) Для вычисления $3200 : 5$ умножим делимое и делитель на 2. Частное от этого не изменится. Затем выполним деление на 10, что является более простой операцией:
$3200 : 5 = (3200 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 6400 : 10 = 640$.
Ответ: 640

г) Для вычисления $1320 : 5$ умножим делимое и делитель на 2 и разделим полученное произведение на 10:
$1320 : 5 = (1320 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 2640 : 10 = 264$.
Ответ: 264

д) Для вычисления $4320 : 5$ умножим делимое и делитель на 2 и разделим полученное произведение на 10:
$4320 : 5 = (4320 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 8640 : 10 = 864$.
Ответ: 864

е) Для вычисления $2350 : 50$ умножим делимое и делитель на 2. Затем выполним деление на 100:
$2350 : 50 = (2350 \cdot 2) : (50 \cdot 2) = 4700 : 100 = 47$.
Ответ: 47

ж) Для вычисления $7200 : 50$ умножим делимое и делитель на 2 и разделим полученное произведение на 100:
$7200 : 50 = (7200 \cdot 2) : (50 \cdot 2) = 14400 : 100 = 144$.
Ответ: 144

з) Для вычисления $9200 : 50$ умножим делимое и делитель на 2 и разделим полученное произведение на 100:
$9200 : 50 = (9200 \cdot 2) : (50 \cdot 2) = 18400 : 100 = 184$.
Ответ: 184