Страница 47 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

210. a) В двух корзинах лежало 86 яблок. Когда из первой во вторую переложили 3 яблока, то яблок в корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?

б) На двух полках лежало 196 пачек печенья. Когда с первой полки на вторую переложили 28 пачек, то на двух полках печенья стало поровну. Сколько пачек печенья было на каждой полке первоначально?

а)

Решим задачу по действиям, идя от конечного условия к начальному.

1. Сначала определим, сколько яблок стало в каждой корзине, когда их количество сравнялось. Общее количество яблок (86) при этом не изменилось, поэтому нужно разделить его на 2:
$86 : 2 = 43$ (яблока) — стало в каждой корзине.

2. Теперь найдем, сколько яблок было в каждой корзине первоначально. Мы знаем, что из первой корзины переложили 3 яблока, а во вторую их добавили. Чтобы найти исходное количество, нужно выполнить обратные действия: к количеству яблок в первой корзине прибавить 3, а от количества во второй — отнять 3.
В первой корзине было: $43 + 3 = 46$ (яблок).
Во второй корзине было: $43 - 3 = 40$ (яблок).

Проверим: $46 + 40 = 86$ — общее количество совпадает. После перемещения: $46 - 3 = 43$ и $40 + 3 = 43$ — количество стало равным.

Ответ: первоначально в первой корзине было 46 яблок, а во второй — 40 яблок.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей.

1. Найдем, сколько пачек печенья стало на каждой полке после того, как их количество стало одинаковым. Общее количество пачек (196) осталось прежним:
$196 : 2 = 98$ (пачек) — стало на каждой полке.

2. Вычислим, сколько пачек было на каждой полке изначально. С первой полки переложили на вторую 28 пачек. Чтобы вернуться к первоначальному состоянию, нужно к количеству на первой полке прибавить 28, а от количества на второй — отнять 28.
На первой полке было: $98 + 28 = 126$ (пачек).
На второй полке было: $98 - 28 = 70$ (пачек).

Проверим: $126 + 70 = 196$ — общее количество совпадает. После перемещения: $126 - 28 = 98$ и $70 + 28 = 98$ — количество стало равным.

Ответ: первоначально на первой полке было 126 пачек печенья, а на второй — 70 пачек.

211. а) У брата и сестры вместе 28 открыток. Сестра отдала брату 4 открытки, и открыток у них стало поровну. Сколько открыток было у каждого из них сначала?

б) У брата и сестры вместе было 46 марок. Брат отдал сестре 3 марки, и марок у них стало поровну. Сколько марок было у каждого из них первоначально?

а) Общее количество открыток у брата и сестры — 28. Это количество не меняется. После того, как сестра отдала брату 4 открытки, у них стало поровну. Найдем, сколько открыток стало у каждого:
$28 \div 2 = 14$ открыток.
Это значит, что у сестры стало 14 открыток, и у брата стало 14 открыток.
Чтобы найти, сколько открыток было у сестры изначально, нужно вернуть ей те 4 открытки, которые она отдала:
$14 + 4 = 18$ открыток.
Чтобы найти, сколько открыток было у брата изначально, нужно забрать у него те 4 открытки, которые он получил:
$14 - 4 = 10$ открыток.
Проверим: $18 + 10 = 28$.
Ответ: сначала у сестры было 18 открыток, а у брата — 10 открыток.

б) Общее количество марок у брата и сестры — 46. После того, как брат отдал сестре 3 марки, у них стало поровну. Найдем, сколько марок стало у каждого:
$46 \div 2 = 23$ марки.
Это значит, что у брата стало 23 марки, и у сестры стало 23 марки.
Чтобы найти, сколько марок было у брата первоначально, нужно вернуть ему те 3 марки, которые он отдал:
$23 + 3 = 26$ марок.
Чтобы найти, сколько марок было у сестры первоначально, нужно забрать у нее те 3 марки, которые она получила:
$23 - 3 = 20$ марок.
Проверим: $26 + 20 = 46$.
Ответ: первоначально у брата было 26 марок, а у сестры — 20 марок.

212. a) В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли ещё 12 человек, а во вторую – 8 человек, то в комнатах людей стало поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?

б) В двух комнатах 45 человек. Из первой вышли 9, а из второй – 14, и людей в комнатах стало поровну. Сколько человек было в комнатах сначала?

а)

Пусть $x$ — первоначальное количество человек в первой комнате, а $y$ — первоначальное количество человек во второй комнате.

Из условия известно, что всего в двух комнатах было 56 человек. Составим первое уравнение:
$x + y = 56$

Когда в первую комнату пришли 12 человек, в ней стало $(x + 12)$ человек. Когда из второй комнаты вышли 8 человек, в ней стало $(y - 8)$ человек. После этого количество людей в комнатах стало равным. Составим второе уравнение:
$x + 12 = y - 8$

Получаем систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 56 \\ x + 12 = y - 8 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 56 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $x$:
$x + 12 = (56 - x) - 8$
$x + 12 = 48 - x$
$2x = 48 - 12$
$2x = 36$
$x = 18$

Таким образом, в первой комнате первоначально было 18 человек. Теперь найдем количество человек во второй комнате:
$y = 56 - 18 = 38$

Проверка: после изменений в первой комнате стало $18 + 12 = 30$ человек, а во второй $38 - 8 = 30$ человек. Количество людей равно, что соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально в первой комнате было 18 человек, а во второй — 38 человек.

б)

Пусть $x$ — начальное количество человек в первой комнате, а $y$ — начальное количество человек во второй комнате.

Всего в двух комнатах было 45 человек. Это можно записать как первое уравнение:
$x + y = 45$

После того как из первой комнаты вышли 9 человек, в ней осталось $(x - 9)$ человек. После того как из второй вышли 14 человек, в ней осталось $(y - 14)$ человек. В результате количество людей в комнатах стало одинаковым. Составим второе уравнение:
$x - 9 = y - 14$

Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 45 \\ x - 9 = y - 14 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 45 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$x - 9 = (45 - x) - 14$
$x - 9 = 31 - x$
$2x = 31 + 9$
$2x = 40$
$x = 20$

Итак, в первой комнате сначала было 20 человек. Найдем, сколько человек было во второй комнате:
$y = 45 - 20 = 25$

Проверка: после ухода людей в первой комнате осталось $20 - 9 = 11$ человек, а во второй $25 - 14 = 11$ человек. Количество людей стало равным.

Ответ: сначала в первой комнате было 20 человек, а во второй — 25 человек.

213. a) В магазин привезли 420 мужских и женских часов. Когда продали 150 мужских и 140 женских часов, то тех и других осталось поровну. Сколько мужских часов привезли в магазин?

б) На заправочную станцию привезли 540 т бензина и дизельного топлива. Когда того и другого продали поровну, то осталось 120 т бензина и 130 т дизельного топлива. Сколько бензина привезли на станцию?

а)

Решим задачу по действиям:

1. Сначала найдем, сколько всего часов продали в магазине. Для этого сложим количество проданных мужских и женских часов:

$150 + 140 = 290$ (часов)

2. Теперь узнаем, сколько всего часов осталось в магазине. Для этого из общего количества привезенных часов вычтем общее количество проданных:

$420 - 290 = 130$ (часов)

3. В условии сказано, что мужских и женских часов осталось поровну. Значит, мы можем разделить общее количество оставшихся часов на 2, чтобы узнать, сколько осталось часов каждого вида:

$130 : 2 = 65$ (часов)

4. Чтобы найти, сколько мужских часов привезли в магазин изначально, нужно сложить количество оставшихся мужских часов и количество проданных мужских часов:

$65 + 150 = 215$ (часов)

Ответ: в магазин привезли 215 мужских часов.

б)

Решим задачу по действиям:

1. Найдем общее количество топлива, которое осталось на заправочной станции. Для этого сложим остаток бензина и остаток дизельного топлива:

$120 + 130 = 250$ (т)

2. Теперь узнаем, сколько всего тонн топлива было продано. Для этого из общего количества привезенного топлива вычтем общее количество оставшегося:

$540 - 250 = 290$ (т)

3. По условию, бензина и дизельного топлива продали поровну. Чтобы найти, сколько тонн каждого вида топлива продали, разделим общее количество проданного топлива на 2:

$290 : 2 = 145$ (т)

4. Чтобы найти, сколько бензина привезли на станцию, нужно сложить количество оставшегося бензина и количество проданного бензина:

$120 + 145 = 265$ (т)

Ответ: на станцию привезли 265 т бензина.

214. На четырёх полках стояло 164 книги. Когда с первой полки сняли 16, со второй переставили на третью 15, а на четвёртую поставили 12 новых книг, то на всех полках книг оказалось поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

Для решения задачи будем действовать в обратном порядке. Сначала найдем, сколько книг стало на полках в конце, а затем, отталкиваясь от этого, вычислим, сколько было на каждой полке изначально.

1. Найдем общее количество книг на полках после всех изменений. Изначально было 164 книги. С первой полки сняли 16 книг (убрали совсем), а на четвертую добавили 12 новых книг. Перемещение книг между второй и третьей полками не меняет их общего количества.

Новое общее количество книг: $164 - 16 + 12 = 148 + 12 = 160$ книг.

2. По условию, после всех изменений на четырех полках книг оказалось поровну. Найдем, сколько книг стало на каждой полке:

$160 \div 4 = 40$ книг.

3. Теперь, зная, что на каждой полке в итоге оказалось по 40 книг, найдем, сколько книг было на каждой из них первоначально.

Первая полка

На ней стало 40 книг после того, как с нее сняли 16. Значит, первоначально на ней было:

$40 + 16 = 56$ книг.

Ответ: 56 книг.

Вторая полка

На ней стало 40 книг после того, как с нее переставили на третью 15 книг. Значит, первоначально на ней было:

$40 + 15 = 55$ книг.

Ответ: 55 книг.

Третья полка

На ней стало 40 книг после того, как на нее поставили 15 книг со второй. Значит, первоначально на ней было:

$40 - 15 = 25$ книг.

Ответ: 25 книг.

Четвертая полка

На ней стало 40 книг после того, как на нее поставили 12 новых книг. Значит, первоначально на ней было:

$40 - 12 = 28$ книг.

Ответ: 28 книг.

Проверка

Сложим первоначальное количество книг на всех полках, чтобы убедиться в правильности решения:

$56 + 55 + 25 + 28 = 164$ книги.

Сумма совпадает с первоначальным условием, значит, задача решена верно.

215. За задание, выполненное двумя рабочими, заплатили 5100 р. Сколько денег получит каждый, если первый сделал 48 деталей, а второй — 54 детали?

Для решения этой задачи необходимо распределить общую сумму оплаты пропорционально количеству деталей, изготовленных каждым рабочим. Сначала нужно определить общую производительность, а затем стоимость одной детали.

1. Найдем общее количество деталей, которые сделали оба рабочих вместе. Для этого сложим количество деталей первого и второго рабочего:
$48 + 54 = 102$ (детали).

2. Теперь вычислим, сколько стоит изготовление одной детали. Для этого общую сумму оплаты разделим на общее количество деталей:
$5100 \div 102 = 50$ (рублей).

3. Зная стоимость одной детали, мы можем рассчитать, какую сумму получит каждый рабочий. Умножим стоимость одной детали на количество деталей, сделанных каждым из них.
Сумма для первого рабочего: $48 \times 50 = 2400$ (рублей).
Сумма для второго рабочего: $54 \times 50 = 2700$ (рублей).

Для проверки можно сложить полученные суммы: $2400 + 2700 = 5100$ рублей, что соответствует общей сумме, выплаченной за задание.

Ответ: первый рабочий получит 2400 рублей, а второй — 2700 рублей.

216. На лугу паслось несколько коров.

У них ног на 54 больше, чем голов.

Сколько коров паслось на лугу?

Способ 1: Логический

У каждой коровы есть 1 голова и 4 ноги. Вычислим, на сколько ног у одной коровы больше, чем голов:

$4 - 1 = 3$

Разница в количестве ног и голов для одной коровы составляет 3. По условию задачи, общая разница для всех коров равна 54. Чтобы найти общее количество коров, необходимо общую разницу разделить на разницу для одной коровы:

$54 / 3 = 18$

Ответ: на лугу паслось 18 коров.

Способ 2: Алгебраический (с помощью уравнения)

Пусть $x$ — это количество коров, которые паслись на лугу.

Поскольку у каждой коровы 1 голова, то общее количество голов равно $x$.

Поскольку у каждой коровы 4 ноги, то общее количество ног равно $4x$.

В условии сказано, что ног на 54 больше, чем голов. Это означает, что если из количества ног вычесть количество голов, получится 54. Составим уравнение:

$4x - x = 54$

Теперь решим это уравнение:

$3x = 54$

$x = 54 / 3$

$x = 18$

Ответ: на лугу паслось 18 коров.