Номер 212, страница 47 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

212. a) В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли ещё 12 человек, а во вторую – 8 человек, то в комнатах людей стало поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?

б) В двух комнатах 45 человек. Из первой вышли 9, а из второй – 14, и людей в комнатах стало поровну. Сколько человек было в комнатах сначала?

а)

Пусть $x$ — первоначальное количество человек в первой комнате, а $y$ — первоначальное количество человек во второй комнате.

Из условия известно, что всего в двух комнатах было 56 человек. Составим первое уравнение:
$x + y = 56$

Когда в первую комнату пришли 12 человек, в ней стало $(x + 12)$ человек. Когда из второй комнаты вышли 8 человек, в ней стало $(y - 8)$ человек. После этого количество людей в комнатах стало равным. Составим второе уравнение:
$x + 12 = y - 8$

Получаем систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 56 \\ x + 12 = y - 8 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 56 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $x$:
$x + 12 = (56 - x) - 8$
$x + 12 = 48 - x$
$2x = 48 - 12$
$2x = 36$
$x = 18$

Таким образом, в первой комнате первоначально было 18 человек. Теперь найдем количество человек во второй комнате:
$y = 56 - 18 = 38$

Проверка: после изменений в первой комнате стало $18 + 12 = 30$ человек, а во второй $38 - 8 = 30$ человек. Количество людей равно, что соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально в первой комнате было 18 человек, а во второй — 38 человек.

б)

Пусть $x$ — начальное количество человек в первой комнате, а $y$ — начальное количество человек во второй комнате.

Всего в двух комнатах было 45 человек. Это можно записать как первое уравнение:
$x + y = 45$

После того как из первой комнаты вышли 9 человек, в ней осталось $(x - 9)$ человек. После того как из второй вышли 14 человек, в ней осталось $(y - 14)$ человек. В результате количество людей в комнатах стало одинаковым. Составим второе уравнение:
$x - 9 = y - 14$

Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 45 \\ x - 9 = y - 14 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 45 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$x - 9 = (45 - x) - 14$
$x - 9 = 31 - x$
$2x = 31 + 9$
$2x = 40$
$x = 20$

Итак, в первой комнате сначала было 20 человек. Найдем, сколько человек было во второй комнате:
$y = 45 - 20 = 25$

Проверка: после ухода людей в первой комнате осталось $20 - 9 = 11$ человек, а во второй $25 - 14 = 11$ человек. Количество людей стало равным.

Ответ: сначала в первой комнате было 20 человек, а во второй — 25 человек.