Страница 51 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

227. а) Календарь дороже общей тетради в 2 раза, а вместе они стоят 36 р. Сколько стоит календарь?

б) Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Всего они сорвали 120 штук. Девочка сорвала в 2 раза меньше мальчика. Сколько орехов было у мальчика и девочки в отдельности?

в) Девочка прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось прочитать. Всего в книге 176 страниц. Сколько страниц прочитала девочка?

а)

Примем стоимость тетради за одну часть. Так как календарь дороже в 2 раза, его стоимость составляет две такие же части.

1) Найдем, сколько всего частей составляет общая стоимость:

$1 + 2 = 3$ (части)

2) Узнаем, сколько рублей приходится на одну часть (стоимость тетради):

$36 / 3 = 12$ (рублей)

3) Найдем стоимость календаря, которая составляет две части:

$12 \cdot 2 = 24$ (рубля)

Проверка: $12 + 24 = 36$.

Ответ: 24 рубля.

б)

Примем количество орехов, которое сорвала девочка, за одну часть. Так как мальчик сорвал в 2 раза больше, его количество орехов составляет две такие же части.

1) Найдем, сколько всего частей составляют все орехи:

$1 + 2 = 3$ (части)

2) Узнаем, сколько орехов приходится на одну часть (сколько сорвала девочка):

$120 / 3 = 40$ (штук)

3) Найдем, сколько орехов сорвал мальчик:

$40 \cdot 2 = 80$ (штук)

Проверка: $40 + 80 = 120$.

Ответ: мальчик сорвал 80 орехов, а девочка — 40 орехов.

в)

Примем количество прочитанных страниц за одну часть. Так как девочка прочитала в 3 раза меньше, чем ей осталось, то количество непрочитанных страниц составляет три такие же части.

1) Найдем, сколько всего частей составляют все страницы в книге:

$1 + 3 = 4$ (части)

2) Узнаем, сколько страниц приходится на одну часть (сколько прочитала девочка):

$176 / 4 = 44$ (страницы)

Проверка: девочка прочитала 44 страницы, осталось прочитать $44 \cdot 3 = 132$ страницы. Всего в книге $44 + 132 = 176$ страниц.

Ответ: девочка прочитала 44 страницы.

228. а) Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадей в линейку, причём их было на 18 больше, чем тетрадей в линейку. Сколько всего тетрадей купил ученик?

б) На первой полке стояло в четыре раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке?

а) Пусть $x$ — это количество тетрадей в линейку. Тогда, согласно условию, количество тетрадей в клетку равно $3x$. Также из условия мы знаем, что разница между количеством тетрадей в клетку и в линейку составляет 18. Составим уравнение:
$3x - x = 18$
Решим это уравнение:
$2x = 18$
$x = 18 / 2$
$x = 9$
Таким образом, тетрадей в линейку было 9 штук.
Теперь найдем количество тетрадей в клетку:
$3 * 9 = 27$
Чтобы найти общее количество тетрадей, сложим количество тетрадей обоих видов:
$9 + 27 = 36$
Ответ: всего ученик купил 36 тетрадей.

б) Пусть $x$ — это количество книг на второй полке. Тогда на первой полке стояло $4x$ книг, так как их было в четыре раза больше. Нам известно, что на первой полке было на 12 книг больше, чем на второй. Это означает, что разница между количеством книг на первой и второй полках равна 12. Составим уравнение:
$4x - x = 12$
Решим уравнение:
$3x = 12$
$x = 12 / 3$
$x = 4$
Следовательно, на второй полке стояло 4 книги.
Теперь найдем количество книг на первой полке:
$4 * 4 = 16$
Ответ: на первой полке стояло 16 книг, а на второй — 4 книги.

229. а) Девочка прочитала в 3 раза больше страниц, чем ей осталось прочитать. Известно также, что она прочитала на 78 страниц больше, чем ей осталось прочитать. Сколько страниц прочитала девочка?

б) Книга дороже тетради в 3 раза, а тетрадь дешевле книги на 12 р. Сколько стоит книга?

а)

Обозначим количество страниц, которое девочке осталось прочитать, как $x$.

Согласно условию, девочка прочитала в 3 раза больше страниц, то есть $3x$.

Также известно, что она прочитала на 78 страниц больше, чем ей осталось прочитать. Это можно записать в виде уравнения:

$3x = x + 78$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$3x - x = 78$

$2x = 78$

$x = \frac{78}{2}$

$x = 39$

Итак, девочке осталось прочитать 39 страниц. Вопрос задачи — сколько страниц девочка уже прочитала. Найдем это значение, умножив $x$ на 3:

$3x = 3 \cdot 39 = 117$ страниц.

Ответ: 117 страниц.

б)

Пусть стоимость тетради равна $x$ рублей.

По условию, книга дороже тетради в 3 раза, значит, её стоимость составляет $3x$ рублей.

Также сказано, что тетрадь дешевле книги на 12 рублей. Составим уравнение на основе разницы в цене:

$3x - x = 12$

Решим уравнение:

$2x = 12$

$x = \frac{12}{2}$

$x = 6$

Таким образом, стоимость тетради — 6 рублей. Нам нужно найти стоимость книги:

$3x = 3 \cdot 6 = 18$ рублей.

Ответ: 18 рублей.

230. Задача С. А. Рачинского. Я провёл год в деревне, в Москве и в дороге — и притом в Москве в 8 раз более времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более, чем в Москве. Сколько дней провёл я в дороге, в Москве и в деревне?

Для решения этой задачи примем, что в году 365 дней (невисокосный год).

Обозначим наименьший промежуток времени — количество дней, проведённых в дороге, — через переменную $x$.

Исходя из условия задачи, выразим остальные промежутки времени через $x$:

• Время, проведённое в дороге: $x$ дней.
• Время, проведённое в Москве: в 8 раз больше, чем в дороге, то есть $8 \cdot x = 8x$ дней.
• Время, проведённое в деревне: в 8 раз больше, чем в Москве, то есть $8 \cdot (8x) = 64x$ дней.

Сумма всех этих периодов составляет один год, или 365 дней. Составим уравнение:

$x + 8x + 64x = 365$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$(1 + 8 + 64)x = 365$

$73x = 365$

$x = \frac{365}{73}$

$x = 5$

Таким образом, время, проведённое в дороге, составляет 5 дней.

Теперь, зная значение $x$, можем рассчитать время, проведённое в Москве и в деревне:

• Время в Москве: $8x = 8 \cdot 5 = 40$ дней.
• Время в деревне: $64x = 64 \cdot 5 = 320$ дней.

Для проверки сложим все полученные значения:

$5 \text{ (в дороге)} + 40 \text{ (в Москве)} + 320 \text{ (в деревне)} = 365$ дней.

Сумма совпадает с количеством дней в году, значит, задача решена верно.

Ответ: в дороге было проведено 5 дней, в Москве — 40 дней, в деревне — 320 дней.

231. Придумайте задачу «на части». Убедитесь, что числовые данные для задачи подобраны хорошо и она имеет решение. Прочитайте задачу классу, и пусть кто-то её решит, а вы оцените это решение.

В соответствии с заданием, я придумал задачу «на части», убедился, что она имеет решение и числовые данные хорошо подобраны, и представляю её развёрнутое решение.

Условие придуманной задачи:

Для приготовления компота из сухофруктов взяли яблоки, груши и сливы. Их массы относятся как 5:4:3 соответственно. Общая масса смеси сухофруктов составила 600 граммов. Найдите массу каждого вида сухофруктов.

Решение задачи:

1. Данная задача относится к задачам «на части». Отношение 5:4:3 показывает, что вся масса смеси условно разделена на части: 5 частей яблок, 4 части груш и 3 части слив.

2. Найдем общее количество частей в смеси, сложив все части из отношения:

$5 + 4 + 3 = 12$ (частей)

3. Общая масса смеси (600 г) приходится на эти 12 равных частей. Чтобы найти массу одной части, разделим общую массу на общее количество частей:

$600 \div 12 = 50$ (граммов) — масса одной части.

4. Теперь, зная массу одной части, можем найти массу каждого вида сухофруктов:

• Масса яблок: $5 \times 50 = 250$ (граммов).
• Масса груш: $4 \times 50 = 200$ (граммов).
• Масса слив: $3 \times 50 = 150$ (граммов).

5. Выполним проверку. Сложим массы всех компонентов:

$250 + 200 + 150 = 600$ (граммов).

Результат совпадает с общей массой, указанной в условии, значит, задача решена правильно.

Ответ: для компота было взято 250 г яблок, 200 г груш и 150 г слив.