Страница 57 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

258. Что называют числовым выражением?

Что называют числовым выражением?

Числовым выражением называют запись, которая состоит из чисел, соединенных знаками арифметических действий ($+, -, \cdot, :$) и, возможно, скобок. Важным условием является то, что такая запись должна иметь математический смысл.

Примеры числовых выражений:

• $7 + 12$
• $36 - 10 \cdot 2$
• $(45 + 5) : 10$
• $8 \cdot (2 + 3) - (14 : 7)$

Если выполнить все действия, указанные в числовом выражении, соблюдая правильный порядок (сначала действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце сложение и вычитание слева направо), то в результате получится число. Это число называют значением выражения.

Например, для выражения $(45 + 5) : 10$ значением будет число 5, так как:
1. $45 + 5 = 50$
2. $50 : 10 = 5$

Следует отметить, что не каждое числовое выражение имеет значение. Например, выражение $9 : (4 - 4)$ не имеет значения, так как оно предполагает деление на ноль, что является невыполнимой операцией в арифметике.

Ответ: Числовым выражением называют запись, состоящую из чисел, знаков арифметических действий и скобок.

259. По каким правилам упрощают числовые выражения, записанные без скобок?

Числовые выражения, записанные без скобок, упрощают (находят их значение) в соответствии с установленным порядком выполнения арифметических действий. Этот порядок определяет приоритет, или «ступени», операций.

Правила следующие:

1. Приоритет операций (ступени действий). Сначала выполняются действия «второй ступени» (умножение и деление), и только после них — действия «первой ступени» (сложение и вычитание).

2. Порядок выполнения одноуровневых операций. Если в выражении есть несколько действий одной ступени (например, и умножение, и деление), их выполняют по порядку слева направо, в той последовательности, в которой они записаны.

Пример:
Рассмотрим выражение: $50 - 8 \cdot 2 + 12 : 4$

1. Находим действия второй ступени: это умножение ($8 \cdot 2$) и деление ($12 : 4$). Выполняем их слева направо. Первым идет умножение:
$8 \cdot 2 = 16$.
Выражение принимает вид: $50 - 16 + 12 : 4$.

2. Теперь выполняем оставшееся действие второй ступени — деление:
$12 : 4 = 3$.
Выражение принимает вид: $50 - 16 + 3$.

3. Все действия второй ступени выполнены. Переходим к действиям первой ступени: вычитание ($50 - 16$) и сложение ($+ 3$). Выполняем их также слева направо. Первым идет вычитание:
$50 - 16 = 34$.
Выражение принимает вид: $34 + 3$.

4. Выполняем последнее действие — сложение:
$34 + 3 = 37$.
Итоговый результат: 37.

Ответ: Числовые выражения без скобок упрощают, соблюдая следующий порядок действий: сначала по порядку слева направо выполняют умножение и деление, а затем, также по порядку слева направо, выполняют сложение и вычитание.

260. Про какие числовые выражения говорят, что они не имеют смысла?

Говорят, что числовое выражение не имеет смысла, если оно содержит математическую операцию, которую невозможно выполнить. В рамках арифметических действий таким основным примером является деление на ноль.

Чтобы понять, почему на ноль делить нельзя, давайте вспомним определение деления. Разделить число $a$ на число $b$ — это значит найти такое число $c$, которое при умножении на $b$ даст в результате $a$. Математически это записывается так: $a : b = c$ равносильно $c \cdot b = a$.

Рассмотрим, что произойдет, если в качестве делителя $b$ взять ноль ($b=0$):

• Случай 1: Деление числа, не равного нулю, на ноль.
  Например, рассмотрим выражение $15 : 0$. Мы должны найти такое число $c$, чтобы выполнялось равенство $c \cdot 0 = 15$. Однако из правил умножения мы знаем, что любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Следовательно, не существует такого числа $c$, которое бы удовлетворяло этому равенству. Операция невыполнима.

• Случай 2: Деление нуля на ноль.
  Рассмотрим выражение $0 : 0$. Мы должны найти такое число $c$, для которого верно равенство $c \cdot 0 = 0$. Этому равенству удовлетворяет абсолютно любое число (например, $5 \cdot 0 = 0$, $-12 \cdot 0 = 0$, и так далее). Поскольку результат не является единственным и однозначно определенным, такая операция также считается невыполнимой в рамках арифметики.

Таким образом, любое числовое выражение, в котором встречается деление на ноль, не имеет смысла. Это может быть как явное деление на 0, так и деление на выражение, значение которого равно нулю.

Примеры выражений, не имеющих смысла:

• $21 : 0$
• $\frac{100}{25-25}$
• $(45+5):(5 \cdot 2 - 10)$

В каждом из этих примеров делитель равен нулю, поэтому эти выражения не имеют смысла.

Ответ: Говорят, что числовые выражения не имеют смысла, если они содержат деление на ноль.